高中数学人教A版2019必修第二册 7.1.1　数系的扩充和复数的概念课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
一
二
三
一、复数的概念及其表示
1.思考
(1)为解方程x2=2,数系从有理数扩充到实数;那么怎样解决方程x2+1=0在实数系中无根的问题呢
提示引入新数i,使i是方程x2+1=0的根,
即i2+1=0.
(2)把实数a与实数b和i相乘的结果相加可以记作什么呢
提示a+bi(a,b∈R).
(3)复数a+bi(a,b∈R)中,虚部是指b还是bi
提示b
一
二
三
2.填空
(1)复数的定义
我们把集合C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,全体复数所构成的集合C叫做复数集.规定i·i=i2=-1.
(2)复数的表示
复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做 复数的代数形式,a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
一
二
三
3.做一做
(1)复数z=2+5i的实部等于　　　　,虚部等于　　　　.
(2)若复数z=(2a-1)+(3+a)i(a∈R)的实部与虚部相等,则a=　　　　.
(3)判断:若复数z=x+yi,则复数z的实部与虚部分别为x,y. (　　)
答案:(1)2　5　(2)4　(3)×
解析:(1)复数z=2+5i的实部等于2,虚部等于5.
(2)由已知得2a-1=3+a,所以a=4.
一
二
三
二、复数相等
1.思考
(1)两个复数能否比较大小
提示如果两个复数不全是实数,那么它们不能比较大小.
(2)两个复数相等需满足什么条件
提示两复数相等,需两个复数的实部相等,虚部也相等.
2.填空
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.
一
二
三
3.做一做
已知x,y∈R,若x+3i=(y-2)i,则x+y=　.
答案:5
一
二
三
三、复数的分类
1.思考
(1)对于复数a+bi(a,b∈R),
①当a,b满足什么条件时,它等于0
②当a,b满足什么条件时,它表示实数 表示虚数 表示纯虚数
提示①当且仅当a=b=0时,它是实数0;
②当且仅当b=0时,它表示实数;当b≠0时,它表示虚数;当a=0且b≠0时,它表示纯虚数.
(2)复数集C与实数集R之间有什么关系
提示实数集R是复数集C的真子集,即R C.
一
二
三
2.填空
(1)复数的分类情况如下:
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系:
一
二
三
3.做一做
(2)若复数z=(m-2)+(m+1)i是纯虚数,则实数m=　　　　.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
对复数相关概念的理解
例1(多选题)下列命题中,错误的是(　　)
A.复数由实数、虚数、纯虚数构成
B.若复数z=3m+2ni,则其实部与虚部分别为3m,2n
C.在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,则复数z一定不是纯虚数
D.若a∈R,a≠0,则(a+3)i是纯虚数
分析根据复数及其相关概念进行分析判断,注意列举反例.
答案:ABD
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
解析:A错,复数由实数与虚数构成,在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数.
B错,只有当m,n∈R时,才能说复数z=3m+2ni的实部与虚部分别为3m,2n.
C正确,复数z=x+yi(x,y∈R)为纯虚数的条件是x=0且y≠0,只要x≠0,则复数z一定不是纯虚数.
D错,只有当a∈R,且a≠-3时,(a+3)i才是纯虚数.
反思感悟 判断复数概念方面的命题真假的注意点
1.正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念,注意它们之间的区别与联系;
2.注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同;
3.注意通过列举反例来说明一些命题的真假.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
变式训练1下列命题中,正确的是(　　)
A.1-ai(a∈R)是一个复数
B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数
C.两个复数一定不能比较大小
D.若a>b,则a+i>b+i
答案:A
解析:由复数的定义知A正确;当a∈R,b=0时a+bi(b∈R)表示实数,故B项错误;如果两个复数同时是实数时,可以比较大小,故C项错误;a+i与b+i不能比较大小,故D项错误.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
复数分类及其应用
(1)z是实数 (2)z是虚数 (3)z是纯虚数
分析根据复数分类的标准及条件,建立关于实数m的方程或不等式(组),求解m满足的条件.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 利用复数的分类求参数的方法及注意事项
1.利用复数的分类求参数时,首先应将复数化为标准的代数形式z=a+bi(a,b∈R),若不是这种形式,应先化为这种形式,得到实部与虚部,再求解;
2.要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件,再结合实部与虚部的取值求解;
3.要特别注意复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0,且b≠0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
变式训练2已知m∈R,复数z=lg m+(m2-1)i,当m为何值时,
(1)z为实数 (2)z为虚数 (3)z为纯虚数
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
复数相等的充要条件及应用
例3求解下列各题;
(1)若(4x-2y)i=x+1,求实数x,y的值;
分析对于(1),可直接根据两个复数相等的充要条件建立关于x,y的方程组求解;对于(2),应先根据两个复数能够比较大小,确定它们都是实数,再根据大小关系建立不等式组求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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反思感悟 1.解决复数相等问题的基本步骤
(1)等号两侧都写成复数的代数形式;
(2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组);
(3)解方程(组).
2.复数比较大小问题的求解方法
一般地,两个复数是不一定能够比较大小的,若给出的两个复数有大小关系,则说明这两个复数首先已经是实数,然后才有相应的大小关系.例如:如果a,b,c,d∈R,且a+bi>c+di,那么必有
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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变式训练3(1)若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a的值为(　　)
A.1　　　　　　　　 B.1或-4
C.-4 D.0或-4
(2)已知复数z=(a+1)-(a2-1)i,若z=0,则实数a的值为　　　　.
答案:(1)C　(2)-1
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
对复数相关概念的理解不清致误
典例给出下列命题:(1)若x+yi=0,则x=y=0;(2)若a+bi=3+8i,则a=3,b=8;(3)若x为实数,且(x2-4)+(x2+2x)i是纯虚数,则x=±2;(4)若3x+mi<0,则有x<0.其中正确命题的序号是　　　　.
答案:(4)
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探究三
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易错分析 复数中的许多结论,都是建立在复数为标准的代数形式这一条件下的,在复数z=a+bi中,a,b∈R是复数代数形式定义中必不可少的条件,如果没有这一条件,相应结论不一定能够成立.例如:a+bi=0 a=b=0成立的条件是a,b∈R;a+bi=c+di a=c,b=d成立的条件是a,b,c,d∈R.另外,复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的条件是a=0,且b≠0,切记不能丢掉“b≠0”这一条件.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
变式训练若k∈R,且(2k2-5k-3)+(2k2-k-1)i为纯虚数,则实数k等于　　　　.
答案:3
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随堂演练
答案:D
2.“a=-2”是“复数z=(a2-4)+(a+1)i(a,b∈R)为纯虚数”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
答案:A
解析:a=-2时,z=(22-4)+(-2+1)i=-i是纯虚数;z为纯虚数时,a2-4=0,且a+1≠0,即a=±2.
∴“a=2”可以推出“z为纯虚数”,反之不成立.故选A.
探究一
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探究三
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3.设C={复数},A={实数},B={纯虚数},全集U=C,则下面结论正确的是(　　)
A.A∪B=C B. UA=B
C.A∩( UB)= D.B∪( UB)=C
答案:D
解析:由复数的分类可知D项正确.
4.若x,y∈R,且3x+y+3=(x-y-3)i,则x=　　　　,y=　　　　.
答案:0　-3
探究一
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探究三
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随堂演练
5.如果(m2-1)+(m2-2m)i>0,求实数m的值.