高中数学人教A版2019必修第二册 7.1.1数系的扩充和复数的概念导学案-1（有答案）

7.1.1 数系的扩充和复数的概念
1.了解数系的扩展过程以及i的引入；
2、理解复数的概念、表示法及相关概念；
3、掌握复数的分类及复数相等的条件。
1.教学重点：对i的规定以及复数的有关概念。
2.教学难点：复数概念的理解。
1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)
全体复数所构成的集合C＝ ，叫做复数集．
2．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di .
3．复数的分类z＝a＋bi(a，b∈R），
当 时，复数z＝a＋bi(a，b∈R）为虚数；
当 时，复数z＝a＋bi(a，b∈R）为纯虚数；
当 时，复数z＝a＋bi(a，b∈R）为实数；
当 时，复数z＝a＋bi(a，b∈R）为0.
一、探索新知
思考：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
【分析】 引入新数，并规定：
（1）；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
叫做虚数单位。
（一）复数的概念
形如a+bi(a、b∈R)的数叫做复数，全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示 。
（二）复数的代数形式
复数通常用字母 z 表示，即z=a+bi（a、bR）
其中a叫复数z的 ，b叫复数z的 。
练一练：
把下列式子化为 a+bi（a、bR）的形式，并分别指出它们的实部和虚部
（1）2 -i = ；（2）-2i = ；
（3）5= ；（4）0= 。
思考：根据上述几个例子，复数z= a+bi可以是实数吗？满足什么条件？
（三）、复数的分类
试一试：
下列数中， 、 、 、0 、 、 、 、
实数有 ；
虚数有 ；
其中纯虚数是 。
2、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数。
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数。
（3）若a为实数，则Z=a 一定不是虚数。
例1、实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数。
练习：当m为何实数时，复数
是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数 ；（4）零。
（四）、复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
若a、b、c、d∈R，a+bi=c+di 。
注意：两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。但两个实数可以比较大小。
例2 已知，其中x、yR，求x与y的值。
1．判断正误
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)复数i的实部不存在，虚部为0.( )
(3)bi是纯虚数．( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )
2．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
A.，1 B.，5
C．±，5 D．±，1
3．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为 ．
4．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)是0？
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参考答案：
实部 虚部
练一练 （1）2 -i =2+（ -i ），实部2，虚部-1；
-2i =0+（-2）i ，实部0，虚部-2；
5=5+0i ，实部5，虚部0；
（4）0=0+0i ，实部0，虚部0。
思考：b=0时，复数为实数。
试一试：1.实数：，0，；虚数：；纯虚数：
（1）错 （2） 错 （3）对
例1.【解析】
练习：（1）当时，复数Z为实数；
（2）当时，复数Z为虚数；
（3）当即时，复数Z为纯虚数；
（4）当即时，复数Z为零。
例2.由已知得，解得。
达标检测
1.【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.【答案】C
【解析】 令－2＋b＝3， (a2＝2，)得a＝±，b＝5.
3.【答案】或
【解析】∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴解得或
4.【解析】 由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.
(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或－3.
(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.
(3)当时，复数z是纯虚数，∴m＝－2.
(4)当时，复数z是0，∴m＝－3.
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