高中数学人教A版2019必修第二册 7.1.1数系的扩充和复数的概念导学案-2（有答案）

7.1.1 数系的扩充和复数的概念
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．
2.理解复数的概念、表示法及相关概念．
3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件．
1.数学抽象：复数及相关概念；
2.逻辑推理：复数的分类；
3.数学运算：复数相等求参.
重点：复数的分类及复数相等的充要条件．
难点：复数的概念.
预习导入
阅读课本68-69页，填写。
1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集．
2．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di _____________________.
3．复数的分类
z＝a＋bi(a，b∈R)
思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？
_______________________________________________________.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． (　　)
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数． (　　)
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等． (　　)
2．在2＋，i,8＋5i，(1－)i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为 (　　)
A．0　　　B．1 C．2 D．3
3．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.
4．设m∈R，复数z＝－1－m＋(2m－3)i.
(1)若z为实数，则m＝________；
(2)若z为纯虚数，则m＝________.
题型一 复数的概念
例1下列命题中，正确命题的个数是 (　　)
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
⑤－1没有平方根；
⑥若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．
A．0 B．1 C．2 D．3
跟踪训练一
1．下列命题正确的是________．
①复数－i＋1的虚部为－1.
②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2.
③任意两个复数都不能比较大小．
题型二 复数的分类
例2实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
跟踪训练二
1．实数m为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
题型三 复数相等的充要条件
例3 根据下列条件，分别求实数x，y的值．
(1)x2－y2＋2xyi＝2i；
(2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i.
跟踪训练三
1．已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值．
1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(　　)
A．，1　　　　　　 B．，5
C．±，5 D．±，1
2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．0
3．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x＝________，y＝________.
4．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为________．
5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
答案
小试牛刀
1. (1)×(2) √(3)√
2．C.
3．5.
4.(1)　(2)－1
自主探究
例1【答案】A
【解析】①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①错．
②由于两个虚数不能比较大小，所以②错．
③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0也成立，所以③错．
④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，所以④错．
⑤－1的平方根为±i，所以⑤错．
⑥当a＝－1时，(a＋1)i＝0是实数，所以⑥错．故选A.
跟踪训练一
1．【答案】①．
【解析】①复数－i＋1＝1－i，虚部为－1，正确；②若z1，z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．
例2【答案】(1) x＝5时，z是实数．(2) x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
【解析】(1)当x满足即x＝5时，z是实数．
(2)当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．
(3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
跟踪训练二
1．【答案】(1)m＝－2时，z为实数．(2)m≠－2且m≠－1时，z为虚数．(3)m＝0时，z为纯虚数．
【解析】　(1)若z为实数，则即
解得m＝－2.∴当m＝－2时，z为实数．
(2)若z是虚数，则即
解得m≠－2且m≠－1. ∴当m≠－2且m≠－1时，z为虚数．
(3)若z为纯虚数，则即即
解得m＝0.∴当m＝0时，z为纯虚数．
例3 【答案】　(1)或(2)
【解析】(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，且x，y∈R，
∴解得或
(2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且x，y∈R，
∴解得
跟踪训练三
1．【答案】1或2.
【解析】因为M∪N＝N，所以M N，
所以m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i.
由复数相等的充要条件得
或
解得m＝1或m＝2.
所以实数m的值是1或2.
当堂检测
1-2.CA　
3. -1 -1
4. 2
5. 【答案】(1) m＝5或－3；(2)m≠5且m≠－3.(3)m＝－2.(4)m＝－3.
【解析】　由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.
(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，
∴m＝5或－3；
(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，
∴m≠5且m≠－3.
(3)当时，复数z是纯虚数，
∴m＝－2.
(4)当时，复数z是0，∴m＝－3.
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