2022-2023人教版初中七年级数学第三章---一元二次方程期末复习精品教案（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023人教版初中七年级数学第三章---一元二次方程期末复习精品教案（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 377.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-25 21:07:07 | ||
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文档简介
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第三章 一元一次方程
一、本章思维导图
二、本章考点复习
知识点一、从算式到方程
等式
（1）等式的概念:像m+n=n+m，x+2x=3x,3×3+1=5×2,3x+1=5y这样的式子，都是等式.我们可以用a=b表示一般的等式.
注意：用“=”连接的式子叫做等式.但是等式不一定表示相等关系.
（2）等式的类型：
①恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总成立.例如， 3x=3x这样，无论字母的取值如何变化，或2=2这样，等式两边恒相等.
②条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立.例如，2x==2这样，只有当x=1时等式两边才相等.
③矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立.例如，x-2=x+2这样，无论字母取什么值，或者2=3这样，等式两边恒不相等.
（3）等式的性质：
①等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.
如果a=b，那么a±c=b±c.
②等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么.
③对称性：等式左、右两边互换，所得结果仍是等式，即：如果 a=b，那么b = a.
④传递性：如果a=b，b=c，那么a=c.
2.方程
（1）定义：含有未知数的等式叫做方程.
注意： ①方程必须具备两个条件：一含有未知数；二是等式.
②方程是包含已知数和未知数，方程中的已知数可以是一个数，也可以是一个字母，包含多个字母的方程必须说明是关于哪个未知数的方程.
（2）方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.
注意： ①方程的解一定要写成x=2这样的形式，2=x不是方程的解的形式.
②方程可能无解，可能只有一个解，也可能有多个解.
（3）解方程：求方程解的过程叫做解方程.
注意：解方程是对原方程进行同解变形的过程.
（4）方程解的检验：将待检验的解代入方程，如果等号左、右两边的值相等，则这个数是方程的解；否则就不是.
（5）列方程：
①列方程就是将已知量和未知量建立一种相等关系．
②步骤：分析已知量和未知量、找出相等关系、设未知数、列出方程.
3.一元一次方程
（1）一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
（2）一元一次方程的形式：
标准形式：，其中是已知数，且.
最简形式：，其中是已知数，且.
注意：①“元”是指未知数的个数.
②“次”是指方程中含有未知项的最高次数.
知识点二、解一元一次方程
1.一元一次方程的基本解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、项系数化为1.
2.解一元一次方程的一般步骤：
⑴去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数（最简公分母）．
注意：不要漏乘分母为1的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．
⑵去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．
⑶移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边．
注意：①移项要变号；②不要丢项．
⑷合并同类项：把方程化成的形式．
注意：字母和其指数不变．
⑸系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数（），得到方程的解．
注意：不要把分子、分母位置颠倒．
3.解一元一次方程的技巧：小数化为整数、整体思想、裂项、凑项.
4.含绝对值的一元方程：利用绝对值的意义，先去绝对值，把方程化为一元一次标准形式.
5.求含参方程的解的情况：对原方程整理后，可化为 的形式.求此类方程的解时需要对的取值分类讨论.
6.同解方程：两个方程的解相同的方程.
7.整数解方程：解为整数的方程.
知识点三、一元一次方程的实际应用
1.列方程解应用题的步骤
（1）审：找出题目中的已知量和未知量，判断题目的类型，明确所求的量和其他数量之间
的关系.
注：①常见类型的数量关系要熟练掌握.
②注意表示数量关系的常用词.
（2）找：找出题目中的相等关系.
注：①能用两种方式表达的量，本质上，还是等量关系.
②通常选择两种表达方式都有未知数且都没直接给出的量列式.
（3）设：设未知数，一般求什么，设什么.
注：若有多个未知数，则可以选择设其中一个为x，其它量用表示；也可以设间接未知数或设辅助未知数.
（4）列：根据等量关系列方程.
（5）解：解方程，求出未知数.
（6）验：检验所求得的解是否是原方程的解以及是否符合题意.
（7）答：答题（包括单位名称）.
2.一元一次方程应用题的常见类型
（1）和、差、倍、分问题
①等量关系：通常用多、少、上升、下降、剩余等表示.
②未知数：通常设一倍数（单位“1”）或待求解的量为未知数.
（2）行程问题
①基本量：路程、速度、时间.
注：在一些特殊情况，实际速度可能发生变化，例如顺风（逆风）.
②基本等量关系：.
③基本类型：相遇、追及和流水行船问题.
（3）工程问题：
①基本量：工作总量、工作效率、时间.
②基本等量关系：.
③工作总量通常看做单位“1”.
（4）销售问题：
基本等量关系：
①. ②利润率=. ③.
④.
注：打几折，就是乘以十分之几.
（5）所得税问题
①基本量：收入、起征点、税率.
②基本等量关系：
（6）溶液问题
①基本量：溶质、溶剂、溶液、浓度.
②基本等量关系：
（7）数字问题
数字问题的关键是理解十进制数的表示方法，例如一个三位数等于.
（8）分段计算问题（如：出租车、打电话、水费、电费问题等）
分段计算问题的关键是理解在不同区间上的计费方式，常见的是“超出部分”另行计价，例如，部分每公里2.3元.
三、本章题型归纳
题型一、一元一次方程概念的理解
方法提炼
1.一元一次方程的判断方法：首先将方程整理成标准形式，然后满足三个条件：
⑴是整式方程；
⑵只含有一个未知数；
⑶未知数的次数为1.
2.已知方程的解求方程中字母的值得方法：
遇到方程的解，则把解代入原方程，左右两边必定相等.
例1.已知方程（3m﹣4）x2﹣（5﹣3m）x﹣4m=﹣2m是关于x的一元一次方程，
（1）求m和x的值；
（2）若n满足关系式|2n+m|=1，求n的值.
A. 4个 B.3个 C. 2个 D.1个
【分析】该题目考察一元一次方程的“110”定律.当出现未知数的次数大于1的项时，这些项应该不存在，不存在即这一项的系数为0.其次满足未知数的系数为1即可.
【答案】（1）∵方程（3m﹣4）x2﹣（5﹣3m）x﹣4m=﹣2m是关于x的一元一次方程，
∴3m﹣4=0．解得m=．
将m=代入得﹣x﹣=﹣．解得x=﹣．
（2）∵将m=代入得|2n+|=1．
∴2n+=1或2n+=﹣1．∴n=﹣或n=﹣．
题型二、解一元一次方程
方法技巧提炼
1.解一元一次方程的技巧：
⑴整体思想：方程中重复出现内容相同的括号时，可考虑将括号当成整体．
⑵小数化整数：方程中，若分数的分子或分母中有小数出现，则利用分数的性质将分子分母同时扩大若干倍使分子或分母化为整数后再计算.
⑶裂项法：若方程中出现明显的裂项法的特征，则考虑裂项后消项，把方程化为简单形式后再求方程的解.
(4)凑项法：若方程中出现很多左侧出现很多分式，且每一项的分子和分母中常数项的和相同，则一般情况下需凑项，使得分子形式相同.
2．含字母系数的一次方程：
⑴当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．
⑵含字母系数方程解的讨论
含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式，方程的解由、的取值范围确定
①当时，，原方程有唯一解；
②当且时，原方程有无数解；
③当且时，原方程无解．
3.同解方程问题：
（1）普通方程和含参方程的解相同：
①解出普通方程的解；
②将普通方程的解代入含参方程中；
③求出参数值.
两个含参方程的解相同：
①将其中一个方程的解用参数表示出来；
②将①中的解代入另一个方程中，消去未知数；
③求出参数值.
方程的整数解问题：
①将方程整理成的形式；
②解方程，得；
③求出满足条件的参数值，常用枚举法或分离常数法.
例2.解方程：
（1）﹣=1；
（2） ；
（3）.
【分析】（1）方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数6，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上．
（2）遇到这样括号套括号，且括号外的系数为分数的形式，我们不着急用通常先去括号，再去分母的方法来解题。对于这样的形式，我们可以先从中括号外边的分母去起，从外向里去括号，即从外向里逐层先去分母再去括号。
（3）一般情况下我们可能会对第一个分式扩大10倍，分母变为2。但是，我们也可以把的分子和分母同时乘以5，把分母化为1，,得：5x﹣20；同理把中的分子和分母同时乘以20，分母化为1，得：20x﹣60.
【答案】
（1）去分母得：3（x﹣3）﹣2（2x+1）=6，
去括号得：3x﹣9﹣4x﹣2=6，
移项得：﹣x=17，
系数化为1得：x=﹣17．
（2），，，，.
（3）即原方程可化为：5x﹣20﹣2.5=20x﹣60．
移项得：5x﹣20x=﹣60+20+2.5，
合并同类项得：﹣15x=﹣37.5，
化系数为1得：x=2.5.
题型三、一元一次方程的应用
方法提炼
设未知数的三种方法：
1.直接设未知数：直接设未知数指题目问什么就设什么，它多适用于未知数只有一个的情况.
2.间接设未知数：设间接未知数指所设的未知数不是题目最终要求的量，但可以用来表示
题目最终要求的量.
3.引入辅助未知数：设辅助未知数，就是为了是题目中的数量关系更加明确. 特别是在已知量和未知量之间存在比例关系，引入辅助变量可以还原有现实意义的数量关系.
注：①一般优先考虑直接设未知数.
②选择设未知数的方法的主要是方便列方程求解.
例3.甲、乙二人同时从A地去B地，出发5分钟后，甲返回A地取书包，中间没有停留继续往B地行进，出发35分钟后，两人同时到达B地.已知甲的速度是乙的速度的2倍少30米，求甲乙二人的速度各是多少？
【分析】这是一道行程问题，所以首先注意速度、时间、路程三者的关系；求甲乙的速
度，其中乙是一倍量，所以设乙速为，则甲速为；因为行程问题中有三个等量关系，所以我们可以选择速度、时间、路程三种数量之一用两种方式表示列出方程；三种解法难度不同，通常选择未知量和常数作为方程一端的解法较为复杂；选择和未知量不是同一类且数值没有直接给出的量来列方程，比较简单.
【解析】设乙每分钟走为米，则甲每分钟走.
解法一：用两种方式表达路程，得.
解得.
解法二：用两种方式表达乙的速度，得.
解法三：用两种方式表达时间，得.
【答案】甲的速度为70米/分，乙的速度为50米/分.
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第三章 一元一次方程
一、本章思维导图
二、本章考点复习
知识点一、从算式到方程
等式
（1）等式的概念:像m+n=n+m，x+2x=3x,3×3+1=5×2,3x+1=5y这样的式子，都是等式.我们可以用a=b表示一般的等式.
注意：用“=”连接的式子叫做等式.但是等式不一定表示相等关系.
（2）等式的类型：
①恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总成立.例如， 3x=3x这样，无论字母的取值如何变化，或2=2这样，等式两边恒相等.
②条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立.例如，2x==2这样，只有当x=1时等式两边才相等.
③矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立.例如，x-2=x+2这样，无论字母取什么值，或者2=3这样，等式两边恒不相等.
（3）等式的性质：
①等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.
如果a=b，那么a±c=b±c.
②等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么.
③对称性：等式左、右两边互换，所得结果仍是等式，即：如果 a=b，那么b = a.
④传递性：如果a=b，b=c，那么a=c.
2.方程
（1）定义：含有未知数的等式叫做方程.
注意： ①方程必须具备两个条件：一含有未知数；二是等式.
②方程是包含已知数和未知数，方程中的已知数可以是一个数，也可以是一个字母，包含多个字母的方程必须说明是关于哪个未知数的方程.
（2）方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.
注意： ①方程的解一定要写成x=2这样的形式，2=x不是方程的解的形式.
②方程可能无解，可能只有一个解，也可能有多个解.
（3）解方程：求方程解的过程叫做解方程.
注意：解方程是对原方程进行同解变形的过程.
（4）方程解的检验：将待检验的解代入方程，如果等号左、右两边的值相等，则这个数是方程的解；否则就不是.
（5）列方程：
①列方程就是将已知量和未知量建立一种相等关系．
②步骤：分析已知量和未知量、找出相等关系、设未知数、列出方程.
3.一元一次方程
（1）一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
（2）一元一次方程的形式：
标准形式：，其中是已知数，且.
最简形式：，其中是已知数，且.
注意：①“元”是指未知数的个数.
②“次”是指方程中含有未知项的最高次数.
知识点二、解一元一次方程
1.一元一次方程的基本解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、项系数化为1.
2.解一元一次方程的一般步骤：
⑴去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数（最简公分母）．
注意：不要漏乘分母为1的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．
⑵去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．
⑶移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边．
注意：①移项要变号；②不要丢项．
⑷合并同类项：把方程化成的形式．
注意：字母和其指数不变．
⑸系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数（），得到方程的解．
注意：不要把分子、分母位置颠倒．
3.解一元一次方程的技巧：小数化为整数、整体思想、裂项、凑项.
4.含绝对值的一元方程：利用绝对值的意义，先去绝对值，把方程化为一元一次标准形式.
5.求含参方程的解的情况：对原方程整理后，可化为 的形式.求此类方程的解时需要对的取值分类讨论.
6.同解方程：两个方程的解相同的方程.
7.整数解方程：解为整数的方程.
知识点三、一元一次方程的实际应用
1.列方程解应用题的步骤
（1）审：找出题目中的已知量和未知量，判断题目的类型，明确所求的量和其他数量之间
的关系.
注：①常见类型的数量关系要熟练掌握.
②注意表示数量关系的常用词.
（2）找：找出题目中的相等关系.
注：①能用两种方式表达的量，本质上，还是等量关系.
②通常选择两种表达方式都有未知数且都没直接给出的量列式.
（3）设：设未知数，一般求什么，设什么.
注：若有多个未知数，则可以选择设其中一个为x，其它量用表示；也可以设间接未知数或设辅助未知数.
（4）列：根据等量关系列方程.
（5）解：解方程，求出未知数.
（6）验：检验所求得的解是否是原方程的解以及是否符合题意.
（7）答：答题（包括单位名称）.
2.一元一次方程应用题的常见类型
（1）和、差、倍、分问题
①等量关系：通常用多、少、上升、下降、剩余等表示.
②未知数：通常设一倍数（单位“1”）或待求解的量为未知数.
（2）行程问题
①基本量：路程、速度、时间.
注：在一些特殊情况，实际速度可能发生变化，例如顺风（逆风）.
②基本等量关系：.
③基本类型：相遇、追及和流水行船问题.
（3）工程问题：
①基本量：工作总量、工作效率、时间.
②基本等量关系：.
③工作总量通常看做单位“1”.
（4）销售问题：
基本等量关系：
①. ②利润率=. ③.
④.
注：打几折，就是乘以十分之几.
（5）所得税问题
①基本量：收入、起征点、税率.
②基本等量关系：
（6）溶液问题
①基本量：溶质、溶剂、溶液、浓度.
②基本等量关系：
（7）数字问题
数字问题的关键是理解十进制数的表示方法，例如一个三位数等于.
（8）分段计算问题（如：出租车、打电话、水费、电费问题等）
分段计算问题的关键是理解在不同区间上的计费方式，常见的是“超出部分”另行计价，例如，部分每公里2.3元.
三、本章题型归纳
题型一、一元一次方程概念的理解
方法提炼
1.一元一次方程的判断方法：首先将方程整理成标准形式，然后满足三个条件：
⑴是整式方程；
⑵只含有一个未知数；
⑶未知数的次数为1.
2.已知方程的解求方程中字母的值得方法：
遇到方程的解，则把解代入原方程，左右两边必定相等.
例1.已知方程（3m﹣4）x2﹣（5﹣3m）x﹣4m=﹣2m是关于x的一元一次方程，
（1）求m和x的值；
（2）若n满足关系式|2n+m|=1，求n的值.
A. 4个 B.3个 C. 2个 D.1个
【分析】该题目考察一元一次方程的“110”定律.当出现未知数的次数大于1的项时，这些项应该不存在，不存在即这一项的系数为0.其次满足未知数的系数为1即可.
【答案】（1）∵方程（3m﹣4）x2﹣（5﹣3m）x﹣4m=﹣2m是关于x的一元一次方程，
∴3m﹣4=0．解得m=．
将m=代入得﹣x﹣=﹣．解得x=﹣．
（2）∵将m=代入得|2n+|=1．
∴2n+=1或2n+=﹣1．∴n=﹣或n=﹣．
题型二、解一元一次方程
方法技巧提炼
1.解一元一次方程的技巧：
⑴整体思想：方程中重复出现内容相同的括号时，可考虑将括号当成整体．
⑵小数化整数：方程中，若分数的分子或分母中有小数出现，则利用分数的性质将分子分母同时扩大若干倍使分子或分母化为整数后再计算.
⑶裂项法：若方程中出现明显的裂项法的特征，则考虑裂项后消项，把方程化为简单形式后再求方程的解.
(4)凑项法：若方程中出现很多左侧出现很多分式，且每一项的分子和分母中常数项的和相同，则一般情况下需凑项，使得分子形式相同.
2．含字母系数的一次方程：
⑴当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．
⑵含字母系数方程解的讨论
含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式，方程的解由、的取值范围确定
①当时，，原方程有唯一解；
②当且时，原方程有无数解；
③当且时，原方程无解．
3.同解方程问题：
（1）普通方程和含参方程的解相同：
①解出普通方程的解；
②将普通方程的解代入含参方程中；
③求出参数值.
两个含参方程的解相同：
①将其中一个方程的解用参数表示出来；
②将①中的解代入另一个方程中，消去未知数；
③求出参数值.
方程的整数解问题：
①将方程整理成的形式；
②解方程，得；
③求出满足条件的参数值，常用枚举法或分离常数法.
例2.解方程：
（1）﹣=1；
（2） ；
（3）.
【分析】（1）方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数6，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上．
（2）遇到这样括号套括号，且括号外的系数为分数的形式，我们不着急用通常先去括号，再去分母的方法来解题。对于这样的形式，我们可以先从中括号外边的分母去起，从外向里去括号，即从外向里逐层先去分母再去括号。
（3）一般情况下我们可能会对第一个分式扩大10倍，分母变为2。但是，我们也可以把的分子和分母同时乘以5，把分母化为1，,得：5x﹣20；同理把中的分子和分母同时乘以20，分母化为1，得：20x﹣60.
【答案】
（1）去分母得：3（x﹣3）﹣2（2x+1）=6，
去括号得：3x﹣9﹣4x﹣2=6，
移项得：﹣x=17，
系数化为1得：x=﹣17．
（2），，，，.
（3）即原方程可化为：5x﹣20﹣2.5=20x﹣60．
移项得：5x﹣20x=﹣60+20+2.5，
合并同类项得：﹣15x=﹣37.5，
化系数为1得：x=2.5.
题型三、一元一次方程的应用
方法提炼
设未知数的三种方法：
1.直接设未知数：直接设未知数指题目问什么就设什么，它多适用于未知数只有一个的情况.
2.间接设未知数：设间接未知数指所设的未知数不是题目最终要求的量，但可以用来表示
题目最终要求的量.
3.引入辅助未知数：设辅助未知数，就是为了是题目中的数量关系更加明确. 特别是在已知量和未知量之间存在比例关系，引入辅助变量可以还原有现实意义的数量关系.
注：①一般优先考虑直接设未知数.
②选择设未知数的方法的主要是方便列方程求解.
例3.甲、乙二人同时从A地去B地，出发5分钟后，甲返回A地取书包，中间没有停留继续往B地行进，出发35分钟后，两人同时到达B地.已知甲的速度是乙的速度的2倍少30米，求甲乙二人的速度各是多少？
【分析】这是一道行程问题，所以首先注意速度、时间、路程三者的关系；求甲乙的速
度，其中乙是一倍量，所以设乙速为，则甲速为；因为行程问题中有三个等量关系，所以我们可以选择速度、时间、路程三种数量之一用两种方式表示列出方程；三种解法难度不同，通常选择未知量和常数作为方程一端的解法较为复杂；选择和未知量不是同一类且数值没有直接给出的量来列方程，比较简单.
【解析】设乙每分钟走为米，则甲每分钟走.
解法一：用两种方式表达路程，得.
解得.
解法二：用两种方式表达乙的速度，得.
解法三：用两种方式表达时间，得.
【答案】甲的速度为70米/分，乙的速度为50米/分.
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