第四章《几何图形初步》期末复习精品教案

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第四章 几何初步图形
一、本章思维导图
二、本章考点复习
知识点一、立体图形与平面图形
1.基本概念
⑴几何图形：从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.包括立体图形和平面图形.
⑵立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体等）的各部分不都在同一平面内，他们是立体图形.
⑶平面图形：有些几何图形（如线段、角、正方形、圆等）的各部分都在同一平面内，他们是平面图形.
⑷从不同方向看立体图形：从正面、左面、上面三个不同方向看几何图形，往往会得到不同形状的平面图形.
⑸展开图：将立体图形的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.
2.点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形.
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.
面：包围着体的是面，分为平面和曲面.
体：几何体也简称体，如：长方体、正方体等.
（2）点动成线，线动成面，面动成体.点、线、面、体都是几何图形,点是构成图形的基本元素.
(3) 任何一个几何体都由点、线、面构成，点无大小;线有曲直而无粗细;平面是无限延伸的，没有厚薄.
3.常见的立体图形:
名称 特 征
圆柱 由三个面组成，上、下两个底面是半径相同的圆，侧面是曲面．侧面展开图为矩形.
棱柱 棱柱分为直棱柱和斜棱柱，一般只讨论直棱柱，其上、下两个面为形状、大小相同的多边形，其余各面为长方形，底面为边形的棱柱叫棱柱．
圆锥 由两个面围成，有一个底面是圆形，一个顶点，侧面为曲面．侧面展开图为扇形.
棱锥 由底面与侧面组成，底面为多边形，侧面为三角形，底面为边形的棱锥叫棱锥．
圆台 由三个面围成，上、下两个底面是大小不等的圆形，侧面为曲面．
棱台 上、下两个底面为多边形，侧面均为梯形．
球 由一个曲面围成．
4.棱柱及其有关概念：
棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱.
n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点.
（1）性质：棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下两个底面是相同的多边形，
（2）分类：①根据侧棱是否与底面垂直分为直棱柱和斜棱柱。直棱柱的侧面是长方形。斜棱柱的侧面是平行四边形；
②棱柱还可以根据底面多边形的边数（或侧棱的条数）分类的.
如：五棱柱说明它有五条侧棱而不是五条棱，它的底面为五边形.
（3）将一个图形折叠后能否变成棱柱，一要看有无两个底面，二要看底面的形状，（底面边数要与侧面数相同），三要看两个底面的位置.
5.欧拉公式
　简单多面体的顶点数V，面数F及棱数E之间的关系为：V+F-E=2.
知识点二、立体图形的展开图
1.有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.
注：①不是所有的立体图形都可以展开，例如球体.
②同一个立体图形有可能有很多种展开的方法，也往往会有多种不同的展开图.
2.其他常见图形的平面展开图：
侧面可以展开成长方形的是：圆柱和棱柱
侧面可以展开为扇形的是： 圆锥
3.正方体的11种展开图:
①“1-4-1”型.（六种）
②“2-3-1”型.（三种）
③“3-3”型.(一种)
④“2-2-2”型.(一种)
总结：一线不过四；田、凹应弃之；相间、“Z”端是对面.
①可以展开的：中间四个面，上下各一面；中间三个面，一二隔河见；中间两个面，楼梯天天见；中间没有面，三三连一线.
②不能展开的：一线不过四，田凹应弃之.
③位置关系：间一Z端是对面，间二拐角临面知，对面相隔不相邻.
知识点三、截一个几何体
1.截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫作截面．（截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形）.
2.截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形、四边形、五边形、六边形.
（1）可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形、正方形、矩形、非矩形的平行四边形、 非等腰梯形、 等腰梯形、 五边形、六边形、正六边形.
（2）不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形.
3.总结
（1）截一个圆柱截面可能是：圆、椭圆、长方形、不规则图形；
截一个圆锥截面可能是：圆、椭圆、等腰三角形、不规则图形；截一个球截面都是圆.
（2）截面是圆的立方体可能是：圆柱、圆锥、球；
截面是三角形的立方体可能是：长方体、立方体、棱柱，圆锥；
截面是长方体的立方体可能是长方体、立方体、棱柱，圆柱.
知识点四、三视图：从三个方向看常见几何体
1.主视图：从正面看立体图形得到的图形，叫主视图；
2.俯视图：从上往下看立体图形得到的图形，叫俯视图；
3.左视图：从左面看立体图形得到的图形，叫左视图.
注：①画圆锥的俯视图不要忘记“·”.
②画由小正方体组合而成的几何体的三视图时，弄清楚两个问题：
a.每种视图各能看见几列几层；b.每列各能看见几层.
4.常见立体图形从不同方向看到的平面图形
立体图形 从正面看 从左面看 从上面看
5.在画几何体的三视图时，应该注意以下三点：
①主视图与左视图的高度相等；
②左视图与俯视图的宽度相等；
③主视图与俯视图的长度相等.
上述三点可简记为：
主视、俯视长对正，主视、俯视高平齐，左视、俯视宽相等.
本章方法技巧提炼
1.当一个平面去截一个几何体时，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形.
2.牢记圆柱体的侧面展开图是矩形或者正方形；直棱柱的侧面展开图也是矩形或者正方形；圆锥的侧面展开图是扇形，不可能是圆.
3.正方形的十一种展开图中，“3-3型”“2-2-2型”只有一种.
知识点二、直线、射线与线段
1.直线、射线、线段的表示方法
（1）直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大些字母（直线上的）表示，如直线AB，没有端点，无反向延长线和延长线.
（2）射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边，一个端点，只有反向延长线.
（3）线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA），有两个端点，延长线和反向延长线都有.
（4）直线、射线、线段的主要区别：
类型 端点 延长线及反向延长线 用两个大写字母表示
直线 个 无 无顺序
射线 个 有反向延长线 第一个字母表示端点
线段 个 两者都有 无顺序
2.两个重要公理
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线.
简称：两点确定一条直线.
线段公理：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短.
简单说成： 两点之间，线段最短.
3.线段的中点
把一条线段分成相等线段的点叫作这条线段的中点.
4.数线段方法
如果一条直线上有n个点，含有（n-1）条基本线段（把相邻两点间的线段叫作基本线段），直线上的线段条数是：
（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+3+2+1=n×（n-1）.
5.线段比较方法
叠合法：比较两条线段，的长短，可把它们移到同一条直线上，
如图：使一个端点和重合，另一个端点和落在直线上点（或点）的同侧，
①若点，重合，则；.
②若点在线段上，则；
③若点在线段外，则.
（2）度量法：分别度量出每条线段的长度，再按长度的大小，比较线段的大小，线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的.
方法技巧提炼
1.当出现“最短距离”“缩短路程”这样的字眼时，要首先想到“两点之间线段最短”这个公理.
2.同一平面内，n条直线相交，最多会有n×（n-1）个交点.
3.解答距离之和最小值的时候.与数轴相结合，若是奇数点，则中间的那个点就是所求的位置，若是偶数点，则中间两个位置中任意一个点就是所求的位置.
知识点三、角
1.角的定义
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是∵角的边是射线而不是线段．
定义2：角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所形成的图形，处于初始位置的那条射线叫作角的始边，终止位置的那条射线叫作角的终边.
(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.
(2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.
注意：由角的定义可知：
角的组成部分为：两条边和一个顶点；
顶点是这两条边的交点；
角的两条边是射线，是无限延伸的.
射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.
2.角的表示方法
⑴ 利用三个大写字母来表示，如图：
注意：顶点一定要写在中间．也可记为，但不能写成或等．
⑵利用一个大写字母来表示，如图
注意：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．
⑶ 用数字来表示角，如图：
（4）用希腊字母来表示角，如图：
3.角的分类、度量及换算
⑴角的分类
角按大小可分为三类：
①锐角——小于直角的角（）
②直角——等于90°的角（）
③钝角——大于直角而小于平角的角（）
⑵角的度量单位及其换算
角的度量单位是度、分、秒．把平角分成等份，每一份就是一度的角，记做．把一度的角等分，每一份叫作分的角，记做．把一分的角等分，每一份叫作秒的角，记做．
1度＝60分() 1分=60秒()
⑶角的度量
度量角的工具常用量角器
用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另一边所在线的度数）
（4）角的和、差、倍、分运算
4.角平分线
定义：从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫作这个角的平分线.
用尺规做已知角的平分线方法.
作法：（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，交角的两边于两点；
（2）分别以A，B两点为圆心，以大于长为半径画弧，交于点；
（3）过C点作射线OC.
如图：射线OC就是所求作的.
5.余角和补角
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫作互为补角.简称“互补”.
如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫作互为余角，简称“互余”.
补角、余角的性质：同角或等角的（余）补角相等.
6.方位角
方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东度”、“北偏西 度”、“南偏东度”、“南偏西度”，方位角的取值范围.“北偏东45度”为东北方向，“北偏西45度”为西北方向，“南偏东45度”为东南方向，“南偏西45度”为西南方向.
7.钟表问题
研究时钟的长针（分针）与短针（时针）成直线、成直角与重合等问题，叫作时钟问题. 注意：分针每分钟走度，时针每分钟走度，分针每分钟比时针多走（6-0.5）度.
方法技巧提炼
1.尺规作图的方法，其具体步骤为：以圆O为圆心，以任意长为半径画弧，交角的两边于A，B两点；再分别以A，B两点为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点C；过点C作射线OC，则OC就是∠AOB的角平分线.
2.余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联.
3.度分秒的换算通常是与计算结合一起考察的，解答这类问题，一般按照有理数混合运算的方法，先去括号，后乘除，最后算加减.
4.进行角平分线的有关计算的时候，一般要根据题意设出未知数，利用题中条件列出方程解答.
题型总结：
题型一、从不同方向看几何体
考点
注：①画圆锥的俯视图不要忘记“·”.
②画由小正方体组合而成的几何体的三视图时，弄清楚两个问题：
a.每种视图各能看见几列几层；b.每列各能看见几层.
例1.如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图.
（1）请你画出这个集合体的一种左视图.
（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值.
主视图 俯视图 左视图
【分析】由主视图和俯视图可知该几何体共有3层，2行，3列，那么左视图有2行3列，层数是3层.
【解析】底层（俯视图）5个，由主视图知第2层第一行第2、3列各1个，第3层第一行第3列1个，相加为8个（最少）；也可以是第2层第一行、第2行各1个，则为9个；也可以第2层第2行第3列1个，为10个；也可以第2层第2行第3列1个，第3层第一行第3列1个，则为11个（最多）。
【答案】n=8、9、10、11.
题型二、正方体的表面展开图
例2.图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形，折叠注意不重叠．只要有“田”字格、“凹”字型、“”形的展开图都不是正方体的表面展开图．本题中，将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，∴不能围成正方体，故选：
【解答】A.
题型三、立体图形的截面
例3.用一个平面去截正方体，截得的平面图形是矩形，这时正方体被截成的两部分可以是6 面体和6面体（如图）．如果截法不同，那么被截成两部分的多面体还可以是　 　．
【分析】从任何一面平行其垂直的面垂直截下去可得两个长方体，分别有6个面，6个面；
从体对角截下去可得两个三棱柱，分别有5个面，5个面；
从与体对角平行的面截下去可得一个三棱柱与一个五棱柱，分别有5个面，6个面.
【解析】如图所示：
故被截成两部分的多面体还可以是：5面体和5面体或一个5面体和1个6面体．
【答案】5面体和5面体或一个5面体和1个6面体．
题型四、线段、射线、直线的计数问题
同一平面内，n条直线相交，最多会有n×（n-1）个交点.
例4.两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，那么六条直线最多有 ( )
A. 21个交点 B. 18个交点 C.15个交点 D. 10个交点
【分析】做这种题时，从最少的情况依次画图，研究前后两图之间的联系和区别，最后归纳.两条直线有1个交点，三条直线的话，先拿两条直线相交，再用第三条直线分别交那两条直线，则共有（1+2）个交点，同理，四条直线就是（1+2+3）个交点，则n（n≥1，且n为正整数）条直线就是1+2+3+…+（n-1）=n×（n-1）.
【答案】C.
题型五、根据题目要求画图
例5.根据下列语句，画出图形.已知四点A、B、C、D.
（1）画直线AB；
（2）连接AC，BD，相交于点O；
（3）画射线AD，BC，交于点P.
【分析】根据直线、线段和射线的定义作出即可，注意直线一定要露头.
【答案】
题型六、线段中点的应用
例6.如图所示，点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长为 ；
（2）若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB=acm，其他条件不变，猜想MN= .
并说明理由；
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣CB=bcm，M，N分别为AC，BC的中点，猜想MN= .请画出图形，并说明理由．
【解析】：（1）7cm；（2）MN=acm．理由如下：
∵点M、N分别是AC，BC的中点，∴MC=AC，NC=BC，
∴MN=MC+NC=AC+BC=AB=acm；
（3） .理由如下：
如图，∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴MC=AC，NC=BC，
∴MN=MC﹣NC=AC﹣BC=（AC﹣BC）=bcm．
题型七、角的计数
例7.（1）数一数图①中共有　 　个角，图②中共有　 　个角；图③中共有　 　个角．
（2）从（1）中你能找到一种数图④中角的个数的规律吗？
【分析】（1）图①中共有3个角，图②中共有6个角，图③中共有10个角．
（2）找规律，先罗列前三个图形中角的度数：∵1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，
∴第n个图形共有：1+2+3+…+（n﹣1）==.
【答案】（1）3,6,10 （2）1+2+3+…+（n﹣1）==.
题型八、运用角的知识解决钟表的夹角问题
时针12小时转动360度，每小时转动30度；分针60分钟转动360度，每分钟转动6度；秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度.
例8.钟表上三点、四点、五点整时，时针与分针所成的三个角之和等于（　　）
A．90° B．150° C．270° D．360°
【分析】本题考查钟面角，根据钟表上每个大格是30°，分别计算出三点、四点、五点整时，时针与分针所成的角的度数，再加起来即可得出答案.具体过程如下：∵三点整时，时针与分针所成的角是3×30°=90°，四点整时，时针与分针所成的是4×30°=120°，五点整时，时针与分针所成的角是5×30=150°，∴三点、四点、五点整时，时针与分针所成的三个角之和是90°+120°+150°=360°.
【答案】D.
题型九、角平分线的应用
例9.如图，点O是直线FA上一点，OB，OD，OC，OE是射线，OE平分∠AOC，OD平分∠BOC．
（1）若∠AOE=15°，求∠FOC的度数；
（2）若∠AOB=86°，求∠DOE的度数．
【解析】（1）∵∠AOE=15°，OE平分∠AOC，∴∠AOC=2×15°=30°，
∵点O是直线FA上一点，∴∠FOC=180°﹣30°=150°；
（2）∵OE平分∠AOC，OD平分∠BOC，
∴∠EOC=∠AOC，∠DOC=∠BOC，
∴∠DOE=∠AOC+∠BOC=∠AOB=×86°=43°.
【答案】（1）30°；（2）43°.
题型十、角度的相关运算
例10.如图，AB是一条直线，OC是一条射线，∠AOC＝2∠AOF，∠BOC＝2∠BOE.
(1)∠1与∠2互余吗？ (2)指出图中所有互余和互补的角．
【解析】（1）互余．∵∠AOC＝2∠AOF，∠BOC＝2∠BOE，∴∠AOF＝∠FOC＝∠AOC，∠BOE＝∠COE＝∠AOC，∴∠1＋∠2＝(∠AOC＋∠BOC)＝×180°＝90°，∴∠1与∠2互余.
（2）互余的角：∠1与∠2；∠1与∠BOE；∠2与∠AOF；∠BOE与∠AOF.互补的角：∠BOE与∠AOE；∠2与∠AOE；∠AOF与∠BOF；∠1与∠BOF；∠AOC与∠BOC.
题型十一、设计制作长方体形状的包装纸盒
如图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．
1.在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．)
2.长方体的表面积和体积的计算公式是：
长方体的表面积：；
长方体的体积：．
3.正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．
如果它的棱长为，那么：，．
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