高中数学人教A版2019必修第二册 《7.1复数的几何意义》教学设计二

《复数的几何意义》教学设计二
教学设计
一、复习引入
教师让学生回顾以下概念：
1.虚数单位i.
2.复数的定义.
3.复数的代数形式.
4.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系.
5.两个复数相等的定义.
生思考回答.
设计意图：复习上节知识，引入本节课题.
二、新知探究
问题1：复数能否用点来表示？
师生探究：
根据复数相等的定义可知，任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定，而有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的.因此，如图所示，可以用直角坐标系中的点来表示复数.例如，原点表示复数轴上的点表示实数轴上的点表示纯虚数i，点表示复数等.
[提升总结]
（1）建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
（2）复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应对应的，即复数复平面内的点，这是复数的一种几何意义.
问题2：复数能否用向量来表示？
师生探究：
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z（相对于原点来说）也可以由向量唯一确定.
因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合是一对应的（实数0与零向量对应），即复数平面向量，这是复数的另一种几何意义.
[提升总结]
（1）根据复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量一一对应，可知复数、复平面内的点和平面向量之间的关系可用下图表示.
（2）向量的模r叫做复数的模，记作或.如果，那么是一个实数a，它的模等于（就是a的绝对值）由模的定义可知：.
三、例题精讲
例1 （1）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
（2）若复数，当时，复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
分析：（1）复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.
（2）当时，，则复数z在复平面内对应的点为，位于第三象限.
答案：（1）D （2）C
归纳总结 如果Z是复平面内表示复数的点，则
（1）当时，点Z位于第一象限；当时，点Z位于第二象限；当时，点Z位于第三象限；当时，点Z位于第四象限.
（2）当时，点Z在虚轴上；当时，点Z在实轴上.
变式训练1 当时，复数在复平面上对应的点位于（ ）
A.第一象限
B第二象限
C.第三象限
D.第四象限
分析：当时，复数z的实部，虚部，显然点，位于第四象限.
答案：D
例2 设复数，
（1）在复平面内画出复数对应的点和向量；
（2）求复数的模，并比较它们的模的大小.
解：（1）如图，复数对应的点分别为，对应的向量分别为.
（2），.所以.
[归纳总结]
（1）计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算.
（2）两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
（3）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即如果，那么.
变式训练2 已知复数，则_____
分析：因为，所以，所以.
答案：
例3 设，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1）； （2）.
解：（1）由得，向量的模等于1，所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆.
（2）不等式可化为不等式
不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点Z的集合.容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（如下图）.
[归纳总结]
（1）复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义.
（2）复数的模的几何意义是实数的绝对值概念的扩充，因此有，并且绝对值具有的某些性质可以推广到复数的模.
变式训练3 满足的复数z在复平面内对应的点的轨迹是（ ）
A.1个圆
B.线段
C.2个点
D.2个圆
分析：由原方程可得.因为，故，即.根据复数的模的几何意义，可知复数z在复平面内对应的点的轨迹是以（0,0）为圆心，3为半径的圆.
答案：A
四、巩固训练
教材第73页练习第1~3题.
五、课堂小结
1.复平面.
2.复数的几何意义.
3.复数的模.
4共轭复数
六、课后作业
教材第73~74页习题7.1第4，5，8题，第11题（选做题）.
板书设计
7.1.2复数的几何意义一、复习引入二、新知探究问题1：复数能否用点来表示？复数集C和复平面内所有的点组成的集合是对应的问题2：复数能否用向量来表示？复数集C与复平面内的向量所成的集合是一一对应的，向量的模r叫做复数的模，记作或..三、例题精讲例1归纳总结变式训练1例2归纳总结变式训练2例3归纳总结变式训练3四、巩固训练五、课堂小结六、课后作业
教学研讨
本案例的特点是紧密结合教材，采用师生探究、归纳总结的方式，然后进行例题教学，使概念能够很快让学生掌握关于共轭复数的概念的讲解，本案例是放在例题2之后，针对例题2的归纳总结提出的，和教材保持一致，也可以提到前面的知识探究中进行讲解，关于共轭复数的性质可以适当补充，引导学生探究，但要把握“度”，有些性质还是要在学习了复数的四则运算之后再研究为好.
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