高中数学人教A版2019必修第二册 7.1.2复数的几何意义导学案（有答案）

7.1.2 复数的几何意义
1. 理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系；
2. 掌握实轴、虚轴、模等概念；
3. 掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
1.数学抽象：复平面及复数的几何意义的理解;
2.逻辑推理：根据平面与向量的关系推出复数与向量的一一对应及复数模公式;
3.数学运算：根据复数与复平面的点一一对应求参数和求复数的模;
4.数学建模：根据复数的代数形式，数形结合，多方位了解复数的几何意义，提高学生学习数学的兴趣.
重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量．
难点：根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.
预习导入
阅读课本70-72页，填写。
1．复平面
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)______________________________.
2复数z＝a＋bia，b∈R _____________________________.
[规律总结]　实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
3．复数的模
(1)定义：向量的________r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模．
(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为____________.
(3)公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝____________ (r≥0，r∈R)．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上． (　　)
(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数． (　　)
(3)复数的模一定是正实数． (　　)
2．复数z＝－1＋3i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．向量a＝(1，－2)所对应的复数是 (　　)
A．z＝1＋2i B．z＝1－2i
C．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i
4．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝________.
题型一 复数与复平面内的对应关系
例1求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：
(1)在复平面的第二象限内．
(2)在复平面内的x轴上方.
跟踪训练一
1、实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z：
(1)位于第三象限； (2)位于直线x－y－3＝0上
题型二 复数与平面向量的对应关系
例2已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是 (　　)
A．－5＋5i B．5－5i
C．5＋5i D．－5－5i
跟踪训练二
1、在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
（1）求向量，，对应的复数；
（2）若ABCD为平行四边形，求D对应的复数．
题型三 复数模的计算与应用
例3 设复数．
（1）在复平面内画出复数对应的点和向量；
（2）求复数的模，并比较它们的模的大小．
例4 设，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1）；
（2）．
跟踪训练三
1、已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于 (　　)
A．－1＋i B．1＋i
C．－1＋i或1＋i D．－2＋i
1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(　　)
A．1或3 B．1
C．3 D．2
3．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．
4．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________.
5．在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模．
z1＝1－i；z2＝－＋i；z3＝－2；z4＝2＋2i.
答案
小试牛刀
1. (1) √ (2) ×(3) ×
2．B.
3．B.
4. .
自主探究
例1【答案】(1) a＜－3. (2)a＞5或a＜－3.
【解析】(1)点Z在复平面的第二象限内，
则解得a＜－3.
(2)点Z在x轴上方，则
即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.
跟踪训练一
1、【答案】(1)－3【解析】因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足即－3(2)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上．
例2【答案】B．
【解析】　向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，根据复数的几何意义，可得向量＝(2，－3)，＝(－3,2)．
由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.
跟踪训练二
1、【答案】（1），，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
（2）D对应的复数为－2＋i.
【解析】　（1）设O为坐标原点，由复数的几何意义知：
＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，
所以＝－＝(1,1)，
＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)，
所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
（2）因为ABCD为平行四边形，所以＝＝(－3,1)，
＝＋＝(1,0)＋(－3,1)＝(－2,1)．所以D对应的复数为－2＋i.
例3 【答案】　（1）图见解析，对应的点分别为，对应的向量分别为，．（2），．．
【解析】（1）如图，复数对应的点分别为，对应的向量分别为，．
（2），．
所以．
例4 【答案】　（1）以原点O为圆心，以1为半径的圆．
（2）以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界．
【解析】（1）由得，向量的模等于1，所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆．
（2）不等式可化为不等式
不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合，
不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，
这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点Z的集合．容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（如图）．
跟踪训练三
1、【答案】A.
【解析】由题意得解得a＝－1.故z＝－1＋i.
当堂检测
1-2.CA　
3. 9
4. (3，＋∞)　
5. 【答案】图见解析，|z1|＝；|z2|＝1；|z3|＝2；|z4|＝2.
【解析】　在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，Z2， Z3(－2,0)，Z4(2,2)，则向量Z1，Z2，Z3，Z4分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示．
各复数的模分别为：|z1|＝＝；
|z2|＝＝1；
|z3|＝＝2；|z4|＝＝2.
1 / 7