高中数学人教A版2019必修第二册 《复数的四则运算课时1》教学设计

《复数的四则运算》教学设计
课时1 复数的加、减运算及其几何意义
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.复数的加、减运算及其几何意义 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学运算 直观想象 【考查内容】 较少单一考查向量的四则运算,更多地将其作为基础融入到整个向量运算体系中 【考查题型】 选择题、填空题
2.复数的乘、除运算 数学运算 直观想象 数学抽象
一、本节内容分析
本节内容讨论复数集中的四则运算问题,即研究复数的加、减、乘、除运算,其中加法、乘法运算是核心,减法、除法运算分别是它们的逆运算.除此之外,还讨论了复数加法、减法运算的几何意义.本节侧重提升学生的数学运算、直观想象素养,以及概括理解能力、分析计算能力.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.复数的加、减运算及其几何意义 2.复数的乘、除运算 数学运算 直观想象 数学抽象 核心素养
二、学情整体分析
学生具有第一节复数的概念的知识基础,了解数系扩充的“规则”,具有一定的逻辑思维能力,在此基础之上,引导学生将复数的运算法则和实数集中规定的加法运算、乘法运算进行类比,理解复数的四则运算法则.由于学生不太适应复数代数形式是两项的和,因而复数运算法则以及几何意义的引入是本节的一个难点.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.复数的加、减运算及其几何意义
2.复数的乘、除运算
【教学目标设计】
1.掌握复数代数形式的加、减运算法则;了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
2.掌握复数代数形式的乘法和除法运算;理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;理解且会求复数范围内的方程根.
【教学策略设计】
突出复数的表示和运算的几何意义,即从几何的角度认识、理解复数及其运算,是本节课的主线.复数代数形式的加、减运算的几何意义,就是相应平面向量的加、减运算.通过类比多项式的乘法运算学习复数乘法运算,而复数的除法则通过共轭复数进行转化,在进行本节的教学中,多以直观形象的方式展示复数的运算,加强对复数代数表示式的四则运算的练习.提升学生的数学运算核心素养.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.
2.复数代数形式的乘法和除法运算.
难点 1.加、减运算及其几何意义.
2.求复数范围内的方程根.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:在上一节,我们把实数集扩充到了复数集,引入新数集后,就要研究其中数之间的运算,同学们可以回忆一下在实数集中,四则运算法则是怎样的？以及实数的四则运算都满足什么运算律？
【学生思考问题,复习讨论】
师:同学们对于实数的运算形式和法则还是很熟悉的,本节课我们就要将这些运算法则和规律转移到复数身上,首先先来学习复数的加、减运算.
【设计意图】
以学生熟悉的实数运算法则引出课程主题,让学生形成数学系统,对前后知识建立联系
教学精讲
探究1 复数的加法运算及其几何意义
师:同学们,我们先来做一个计算题
【情景设置】
多顶式的加法法则引入
设,则怎样表示？
【学生思考问题,展开计算、讨论】
生:
师:正确,这是一道我们都很熟悉的代数运算题目,其中进行加法运算时,我们遵循了什么原则？
生:合并同类项.
师:正确.那现在我们引入复数,两个复数的加法运算法则可不可以这样进行呢？
【先学后教】
教师先由实数计算的实例引导学生对已学知识的回顾,再引入到新的数学概念中,学生在理解了计算过程的基础上再接受新的概念
【要点知识】
复数的加法法则
设是任意两个复数,
则它们的和:.
师:可以看出,两个复数的和仍然是一个确定的复数,并且两个复数相加,类似于两个多项式相加.
师:了解了复数的加法运算法则之后,同学们试着用加法定义证明复数加法运算满足:①交换律,②结合律.请同学们分组讨论证明.
【将学生分成两个小组分别推导复数的加法运算律,教师总结补充并展示】
【要点知识】
复数的加法运算律
对任意,有
交换律:,
结合律:.
师:由此可知,复数的加法运算同样满足交换律和结合律.接下来,我们练习几个复数的加法计算题.
【典型例题】
复数的加法运算
例1 计算:
;
;
.
【分析计算能力】
复数的加法运算,要在理解的基础上,通过练习,巩固所学方法,培养分析计算能力
【学生积极演算,教师巡视批改】
师:上述三个问题的答案依次为:.所以我们可以把复数的代数形式看作是关于“i”的多项式,则复数的加法运算类似于多项式的加法运算,只需“合并同类项”.并且复数的运算满足交换律和结合律.
师:我们知道,复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.同学们还记得向量的加法运算法则是什么吗？
生:符合平行四边形法则.
师:我们讨论过向量加法的几何意义,把复数表示为向量时,能否按照向量加法运算的平行四边形法则进行？
【学生由此出发讨论复数加法的几何意义,教师补充】
【要点知识】
复数加法的几何意义
设分别与复数对应,则.由平面向量的坐标运算法则,得
.
【学生作图验证猜想,教师补充说明并展示】
【要点知识】
复数加法的几何意义
若复数,对应的向量不共线,则复数是以为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数,即复数的加法可以按照向量的加法来进行.这就是复数加法的几何意义.
【以学论教】
从学生的角度出发,以学生熟悉的平面向量计算方法引入,更能把复数的新概念形象地展示出来,有助于学生对新知识的理解和掌握
探究2 复数的减法运算及其几何意义
师:复数的运算可以和向量的相关知识进行联系,知道了复数的加法运算法则之后,复数的减法运算法则又是怎样的呢？我们知道,实数的减法是加法的逆运算,类比实数减法的意义,如何定义复数的减法？
【要点知识】
复数的减法法则
复数的减法是加法的逆运算,即把满足的复数,叫做复数减去复数的差,记作.
即.
【情境学习】
学生在已知平面向量的运算方法后,通过形象地图示,体会其与复数加法运算的联系,在具体情境中,学习相关概念,理解运算方法
师:这就是复数的减法法则.由此可见,两个复数的差是一个确定的复数,并且两个复数相减,类似于两个多项式相减.现在复数的加法和减法,我们都已经学到了,请同学用一句话描述复数的加、减法运算规律.
生:复数的加减运算就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.
师:很好！实际上,复数的加减运算就可以简化成上述规律,分清楚实部和虚部.接下来,我们要继续研究复数减法的几何意义,结合向量的相关知识,思考复数减法的几何意义可以怎样描述？
【学生作图验证猜想,教师补充说明并展示】
【要点知识】
复数减法的几何意义
设分别与复数,相对应,且不共线,如图,则这两个复数的差与向量对应,这就是复数减法的几何意义.即复数是连接向量的终点,并指向被减向量所对应的复数.
【概括理解能力】
教师通过带领学生学习复数的加、减法运算,引导学生思考总结复数的加、减运算的特点,培养学生的概括理解能力
师:这就是复数减法的几何意义,由此可知,复数加、减运算的几何意义就是向量加减运算的平行四边形法则或三角形法则.下面请看例题.
【典型例题】
复数的加、减运算
例2 计算
【教师指定学生回答,并予以肯定】
生解:
师:上题答案为,我们可以利用运算法则计算得出,也可在复平面内用向量表示.下面继续看例题.
【典型例题】
复数的加、减运算及其几何意义
例3 根据复数及其运算的几何意义,求复平面内的两点之间的距离.
师:由于复平面内的点对应的复数分别为,由复数减法的几何意义知,复数对应的向量为,从而点,之间的距离为.
所以同学们根据复数运算的几何意义,计算一下这两点之间的距离.
【学生积极思考,演算练习,教师巡视指导】
生解:因为复平面内的点对应的复数分别为,所以点,之间的距离为
.
【少教精教】
教师在教授相关知识方法之后,让学生先自主完成典型题目,使学生在独立计算中,加深对这一部分概念的理解程度,教师少教,达到精教的目的
师:好了,同学们,掌握了这些基本运算法则和知识后,我们进行一下巩固练习,来看下面这几道题.
【巩固练习】
复数的加、减运算及其几何意义
1.计算:
(1);
(2);
(3);
(4).
2.如图,向量对应的复数是,分别作出下列运算的结果对应的向量:
(1);
(2);
(3).
3.证明复数的加法满足交换律、结合律.
4.求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离:
(1);
(2).
【分析计算能力】
通过大量的题目练习,加深学生对这一节知识和方法的掌握,培养分析计算能力
师:同学们,我们现在要梳理一下本节主要内容,请同学们分组讨论,梳理出本节的几个核心知识点以及做题方法.
【学生分组交流,查阅课本、笔记,总结重要知识点】
【课堂小结】
复数的加、减运算及其几何意义
【设计意图】
学生在教师的启发下,分组讨论,在活动中整理总结本节课核心知识概念,有助于学生形成系统完善的知识体系.
【课后作业】教材P80习题7.2第1~2题,P81习题7.2第5题（选做）
师:本节课我们主要学习了复数的加、减法运算及其几何意义,注意与向量的平行四边形法则和三角形法则进行联系.掌握了加、减运算之后,下一部分我们继续学习复数的乘、除运算.
教学评价
本节课主要学习内容是复数的四则运算,属于复数这一章的核心部分,以计算为主,同时复数的加减运算和前面所学的向量的加减运算有很大联系.在本节课教学过程中,一方面要注重结合前面所学的知识,通过图象、示意图等展示复数的运算法则,提升学生的直观想象素养;另一方面要加强运算训练,提升学生的数学运算素养.并且类比复数集的运算要和实数集运算,找出其相同之处和不同之处,最后掌握在复数范围内求方程根的方法.
应用所学知识,完成下题:
计算: .
解析:方法一 原式.
方法二 技巧解法原式.
【设计意图】
教师引导学生思考,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,锻炼自己的学科能力（概括理解、推测解释、分析计算等）,从而达到数学运算、直观想象等核心素养
【以学定教】
教师要让学生理解复数运算法则,并能够通过复数运算的几何意义进行些题目的简化,并能在不同的具体情境中合理应用
教学反思
本节课内容分为2课时,主要学习内容是:复数的加、减运算及其几何意义、复数的乘、除运算.这一节知识和前边所学联系紧密,需要有复数的概念、复数的几何意义、共轭复数、复数的模等基础概念的基础.在教学过程中,教师更注重引导学生,在不同的问题情境中,突出数学概念、启发学生独立思考,加强运算练习,必要的时候可以进行小组交流探讨,教师同时要加强复数与相关知识的联系,落实直观想象、数学运算素养,通过例题和习题的思考和练习,着重培养学生的概括理解能力、分析计算能力.
【以学论教】
在课堂教学过程中教师要注重引导学生在不同的问题情境中解决复数的四则运算问题,注重学生的小组交流合作,加强复数与相关知识的联系,落实学生的学科能力和核心素养
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