高中数学人教A版2019必修第二册 7.2.1_复数的加、减法运算及其几何意义_导学案

7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义
1.掌握复数代数形式的加、减运算法则；
2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义;
2.数学运算：复数加、减运算及有其几何意义求相关问题;
3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用.
重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义．
难点：加、减运算及其几何意义.
预习导入
阅读课本75-76页，填写。
1．复数加法与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则
①z1＋z2＝__________________________；
②z1－z2＝__________________________.
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有
①z1＋z2＝___________；
②(z1＋z2)＋z3＝___________．
2．复数加减法的几何意义
图3 2 1
如图3 2 1所示，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数___________对应，向量与复数___________对应．
思考：类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？
提示 |z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．
1．判断下列命题是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数与向量一一对应． (　　)
(2)复数与复数相加减后结果只能是实数． (　　)
(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小． (　　)
2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于 (　　)
A．8i　　　　　　 B．6
C．6＋8i D．6－8i
3．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||等于(　　)
A． B．2 C． D．4
4．(5－i)－(3－i)－5i＝________.
题型一 复数的加减运算
例1计算：
(1)(－3＋2i)－(4－5i)；
(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)；
(3)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i(a，b∈R)．
跟踪训练一
1．计算：(1)2i－[3＋2i＋3(－1＋3i)]；
(2)(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)．
题型二 复数加减运算的几何意义
例2
根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点间的距离.
跟踪训练二
1、已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．
题型三 复数加、减运算几何意义的应用
例3 已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．
跟踪训练三
1．设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.
1. a，b为实数，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(　　)
A．1＋i　　　　　　　 B．2＋i
C．3 D．－2－i
2．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.
4．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
5．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋，对应的复数及A，B两点间的距离．
答案
小试牛刀
1. (1) × (2) × (3) ×
2．B.
3．B.
4. 2－5i.
自主探究
例1 【答案】(1)－7＋7i. (2)－10i. (3)3a＋(4－2b)i.
【解析】(1)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.
(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)＝[5＋(－2)－3]＋[(－6)＋(－2)－2]i＝－10i.
(3)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i＝(a＋2a)＋(b－3b＋4)i＝3a＋(4－2b)i.
跟踪训练一
1．【答案】(1)－9i. (2)－2a＋(6b－5)i.
【解析】(1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.
(2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.
例2【答案】．
【解析】　因为复平面内的点对应的复数分别为.
所以之间的距离为
跟踪训练二
1、【答案】D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是和13.
【解析】如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，所以有zM＝＝，所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，
因为：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，
所以||＝|7＋2i|＝＝，
因为：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，
所以||＝|5－12i|＝＝13.
故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是和13.
例3 【答案】　|z|max＝6，|z|min＝4.
【解析】由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z
与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．
而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又|OC|＝5，
所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.
即|z|max＝6，|z|min＝4.
跟踪训练三
1．【答案】|z1－z2|＝.
【解析】设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，
又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，
可得2ac＋2bd＝0.
∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2
＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，
∴|z1－z2|＝.
当堂检测
1-2.DB　
3. 5
4. -1　
5. 【答案】向量＋对应的复数为2.向量对应的复数为－8－2i. A，B两点间的距离为2.
【解析】向量＋对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵＝－，∴向量对应的复数为
(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝2.
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