人教A版（2019）数学必修第二册8_6_3平面与平面垂直课件(共39张PPT)

(共39张PPT)
平面与平面垂直
本节目标
学 习 目 标 核 心 素 养
1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．(难点、易错点) 2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理和性质定理，初步学会用定理证明垂直关系．(重点) 3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化．(重点) 1. 通过学习面面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.
2. 通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.
课前预习
预习课本P155～161，思考并完成以下问题
1．什么叫做二面角？什么叫做二面角的平面角？
2．两个平面互相垂直是怎样定义的？两个平面互相垂直的判定定理是什么？
3．平面与平面垂直的性质定理是什么？
课前小测
1．如图所示的二面角可记为(　　)
A．α- β- l B．M -l -N C．l -M- N D．l- β -α
B
√
2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(　　)
A．有一个 B．有两个
C．有无数个 D．不存在
C
经过l的任一平面都和α垂直
3．平面α⊥平面β，直线l α，直线m β，则直线l，m的位置关系是_________________．
α
β
相交
α
β
平行
α
β
异面
相交、平行或异面
4．如图所示，三棱锥P -ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B- PA- C的大小等于_______．
PA⊥平面ABC
PA⊥AB，PA⊥AC
∠BAC为B -PA- C的平面角
∠BAC＝90°
所求二面角的大小为90°
90°
考点精讲
一、二面角的概念
1. 定 义
从一条直线出发的____________所组成的图形．
①这条直线叫做二面角的____，
②两个半平面叫做__________．
2.相关概念
两个半平面
棱
二面角的面
3. 画 法
4. 记 法
二面角α- l -β或α -AB- β或P- l -Q或P -AB -Q.
5. 二面角的平面角
若有 ①O ___ l；②OA ___α，OB ___β；③OA____ l，OB ____ l，
则二面角α- l- β的平面角是_______.
∈


⊥
⊥
∠AOB
6. 直二面角
平面角是直角的二面角叫做__________，二面角的平面角α的取值范围是____________.
直二面角
0°≤α≤180°
思考1：二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？
提示:　无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．
二、平面与平面垂直
1. 定 义
3. 画 法
4. 记 作
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是___________，就说这两个平面互相垂直．
直二面角
α⊥β
4.判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的______，那么这两个平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥α，_______ α⊥β
垂线
l β
思考2：两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？
提示：不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．
三．平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的_______，那么这条直线与另一个平面________.
符号语言 a⊥β
图形语言
作用 ①面面垂直 ________垂直
②作面的垂线
交线
垂直
线面
思考3：如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？
提示：正确．若设α∩β＝l，a α，b β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．
题型一 二面角的计算问题
典例剖析
【例1】如图，已知三棱锥A -BCD的各棱长均为2，求二面角A -CD- B的余弦值．
M
H
如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.
由二面角的定义可知∠AMB为二面角A CD B的平面角．
方法技巧
1
2
3
1．求二面角大小的步骤
找出这个平面角；
证明这个角是二面角的平面角；
作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．
2．确定二面角的平面角的方法
过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角，如图所示．
定义法
在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．
垂面法
活学活用
1．如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD, AC＝ AD，求平面 ABD 与平面BCD 所成的二面角的大小．
因为AC⊥平面 BCD，BD 平面 BCD，所以BD⊥AC.
又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，
所以BD⊥平面 ACD.
因为AD 平面 ACD，所以AD⊥BD，
所以∠ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角．
在Rt△ACD中，AC＝ AD，所以∠ADC＝30°.
题型二 平面与平面垂直的判定
【例2】　如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC. 求证：平面ABC⊥平面SBC.
∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS为二面角A -BC- S的平面角．
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，所以SD＝ a，BD＝ a.
在Rt△ABD中，AD＝ a，在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A -BC -S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.
法一
【例2】　如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC. 求证：平面ABC⊥平面SBC.
法二
因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
方法技巧
证明面面垂直常用的方法
两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
定义法
即说明两个半平面所成的二面角是直二面角
判定定理法
在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；
性质法
活学活用
2．如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.
连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.
因为O为AC中点，E为PA的中点，
所以EO是△PAC的中位线，
所以EO∥PC.
因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.
又因为EO 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
题型三 面面垂直性质定理的应用
【例3】如图，在三棱锥P -ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.
平面PAB⊥平面PBC
平面PAB∩平面PBC＝PB
AD 平面PAB
AD⊥PB
AD⊥平面PBC
BC 平面PBC
AD⊥BC
PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
PA⊥BC
PA∩AD＝A
BC⊥平面PAB
AB 平面PAB
BC⊥AB
方法技巧
(1) 线面垂直的判定定理；
(2) 面面垂直的性质定理；
(3) 若a∥b，a⊥α，则b⊥α (a、b为直线，α为平面)；
(4) 若a⊥α，α∥β，则a⊥β (a为直线，α，β为平面)；
证明或判定线面垂直的常用方法
∵平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，BC 平面ABCD.
∴BC⊥平面VAB，
又VA 平面VAB，∴BC⊥VA，
又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，
又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，
∵VA 平面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC.
活学活用
3．如图，四棱锥V- ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD. 求证：平面VBC⊥平面VAC.
难点突破
[探究问题]
试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．
[提示]　垂直问题转化关系如下所示：
【例4】　如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；
设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，
则CF＝DB＝a.因为CE⊥平面ABC，
所以BC⊥CF，DF⊥EC，
【例4】　如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：
(2)平面BDM⊥平面ECA；
取CA的中点N，连接MN，BN，则
所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.
又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.
又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.
所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA.
【例4】　如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：
(3)平面DEA⊥平面ECA.
由(2)知DM⊥平面AEC，而DM 平面DEA，
所以平面DEA⊥平面ECA.
活学活用
4、本例条件不变，试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小．
如图延长ED交CB延长线于点N，连接AN，设BD＝a，由例题知，CE＝AC＝BC＝AB＝2a，
在△CEN中，由知B为CN中点，∴CB＝BN＝2a.
∴△ABN中，∠ABN＝120°，∠BAN＝∠BNA＝30°，
∴∠CAN＝90°，即NA⊥CA.
又EC⊥平面ABC，∴EC⊥NA，又CA∩CE＝C，
∴NA⊥平面ACE，∴NA⊥AE，NA⊥AC，且AN为平面ADE与平面ABC的交线．
∴∠CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角，
在Rt△ACE中，AC＝CE，∴∠CAE＝45°.
所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45°.
方法技巧
垂直关系的互化及解题策略
空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．
随堂检测
1．直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　　　　 B．可能重合
C．相交且垂直 D．相交不垂直
C
直线l⊥平面α
l 平面β
α⊥β
2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是(　　)
A．互为余角 B．相等
C．其和为周角 D．互为补角
D
3．已知l⊥平面α，直线m 平面β.有下面四个命题：
①α∥β l⊥m；②α⊥β l∥m；③l∥m α⊥β；④l⊥m α∥β.
其中正确的两个命题是(　　)
A．①② B．③④
C．②④ D．①③
∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m β，∴l⊥m，故①正确；
D
∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m β，∴α⊥β，故③正确．
4．在正方体ABCD- A1B1C1D1中，二面角A -BC- A1的平面角等于_________．
45°
本课小结
1．求二面角大小的步骤
简称为“一作、二证、三求”．
2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路
(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直 面面垂直．
(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．
3．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：