人教A版（2019）数学必修第二册9_2_4总体离散程度的估计课件(共36张PPT)

(共36张PPT)
总体离散程度的估计
本节目标
学 习 目 标 核 心 素 养
1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)． 2．理解离散程度参数的统计含义． 1.通过对标准差、方差、极差概念的学习，培养学生数学抽象素养．
2．通过利用标准差、方差、极差估计总体的离散程度，培养学生数据分析素养.
重点
重难点
课前预习
(1)什么是方差和标准差？什么是总体方差和标准差？什么是样本方差和标准差？

(2)怎样求分层随机抽样的方差？
预习课本P209～213，思考并完成以下问题
预习检测
1．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1、2、3，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有(　　)
图1
图2
图3
A．s3＞s1＞s2　　　 B．s2＞s1＞s3 C．s1＞s2＞s3 D．s3＞s2＞s1
图1中，集中在75分附近的数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，图2介于两者之间．
D
2．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为(　　)
A．1　　　　B. 　　　　C. 　　　　D．2
∵样本容量n＝5，∴ ＝ (1＋2＋3＋4＋5)＝3，
∴s＝
B
3．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4，
则：(1)平均命中环数为_______；
(2)命中环数的标准差为________．
7
2
考点精讲
1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差
数据x1，x2，…，xn的方差为___________________=_______________
标准差为____________________.
2．总体方差和标准差
如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为，则称S2＝___________________为总体方差，S＝_______为总体标准差．
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝_________________.
(1)总体方差和标准差
(2)总体方差的加权形式
3．样本方差和标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，
则称s2＝_____________为样本方差，s＝_______为样本标准差．
4．标准差的意义
标准差刻画了数据的__________或__________;
标准差越大，数据的离散程度越_____；
标准差越小，数据的离散程度越______．
离散程度
波动幅度
大
小
5．分层随机抽样的方差
设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为， ，方差分别为， ，则这个样本的方差为s2=______________________________________
思考1：甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是＝81分吗？方差是＝3吗？为什么？
提示：不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的．
思考2：数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差为s2，数据， ，…， 的方差为，那么与s的大小关系如何？
提示：因为数据， ，…， 比数据x1，x2，…，xn更加相对集中，所以方差变小了，即＜s2.
题型一 方差和标准差的计算
典例剖析
【例1】　甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
【例1】　甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又，
所以乙机床加工零件的质量更稳定．
方法技巧
标准差、方差的意义
(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差．
(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．
标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性．
活学活用
1．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为sA和sB，则(　　)
A. > ，sA>sB　 　B. < ，sA>sB
C. > ，sAB
题型二 分层随机抽样的方差
【例2】甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？
方法技巧
计算分层随机抽样的方差s2的步骤
活学活用
2．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2019年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10, 8，则二线城市的房价的方差为__________．
设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知
20＝ [s2＋(1.2－2.4)2]＋ [10＋(1.2－1.8)2]＋ [8＋(1.2－0.8)2]，
解答s2＝118.52，即二线城市的房价的方差为118.52.
118.52
题型三 数据的数字特征的综合应用
1．对一组数据进行统计分析，应该从哪几个方面进行？
[提示]　
平均数反映数据的平均水平，用众数反映数据的最大集中点，用中位数反映数据的集中趋势和一般水平，用标准差或方差反映数据的离散程度．
[探究问题]
题型三 数据的数字特征的综合应用
[提示]　
[探究问题]
2．对比两组数据时，要从哪几个方面进行？
从众数、中位数、平均数和方差等几个方面．
【例3】 在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表：
分数 50 60 70 80 90 100
人 数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
①从成绩的众数比较看
甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，甲组成绩好些．
分数 50 60 70 80 90 100
人 数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
②从成绩的平均数和方差比较看
分数 50 60 70 80 90 100
人 数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
③甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．
分数 50 60 70 80 90 100
人 数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
④从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．
活学活用
3、某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：
甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；
乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.
经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m方可获得冠军呢？
甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；
乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.
显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定．由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛．
在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m的可能性大于甲，所以若跳高1.70 m方可获得冠军，应派乙参赛．
经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m方可获得冠军呢？
方法技巧
数据分析的要点
(1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．
(2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的．
随堂检测
1．判断正误
(1)计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重．(　　)
(2)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.(　　)
(3)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散．(　　)
√
√
×
越分散
越集中
2．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　)
A．8　　　 B．15　　　 C．16　　　 D．32
已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，
数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，
所以其标准差为＝2×8＝16.
C
3．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级 人数 平均分数 方差
甲 20 甲 2
乙 30 乙 3
其中甲＝ 乙，则两个班数学成绩的方差为(　　)
A．3 B．2 C．2.6 D．2.5
C
4．某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下：
74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.
(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；
4．某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下：
74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.
(2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差．
由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为.
本课小结
1．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．
2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．