3.4 实际问题与一元一次方程（第1课时）产品配套问题和工程问题 课件 (共44张PPT)

(共44张PPT)
3.4 实际问题与一元一次方程
第1课时 产品配套问题和工程问题
第三章 一元一次方程
1. 理解配套问题、工程问题的背景.
2. 分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系列方程解决问题.
3. 掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.
复习旧知
新课导入
典例分析
总结归纳
典例分析
针对训练
布置作业
感受中考
课堂小结
当堂巩固
能力提升
针对训练
复习旧知
小学我们学过工程问题，请回答下列问题：
1. 一项工作甲单独做需要5天完成，乙单独做需要10天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，两人合作3天完成的工作量是_________，此时剩余的工作量是_____.
2. 一项工作甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，两人合作3天完成的工作量是_________，此时剩余的工作量是_________.
复习旧知
工作量、工作时间、工作效率的关系：
1. 工作量=___________ × ____________；
2. 工作时间=___________÷____________；
3. 工作效率=___________÷____________.
工作时间
工作效率
工作量
工作效率
工作量
工作时间
复习旧知
为简便起见，通常设总工作量为“1”.
2. 如果工程为多方合作完成，
则合作完成时的工作效率是各方的工作效率相加.
1. 如果已知工作时间，
那么“时间的倒数”就是工作效率.
复习旧知
从前面几节课的学习中已经可以看出，方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具. 从本节课开始，我们将重点学习如何用一元一次方程解决实际问题.
生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等，大家能举出生活中配套问题的例子吗？
新课导入
例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母. 1个螺钉需要配 2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
想一想：本题需要我们解决的问题是什么？
题目中哪些信息能解决人员安排的问题？
螺母和螺钉的数量关系如何？
如果设x名工
人生产螺母，怎
样列方程？
一、产品配套问题
典例分析
列表分析：
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺钉 x 1200
螺母 2000
×
＝
1200 x
人数和为22人
22－x
螺母总产量是螺钉的2倍
×
＝
2000(22－x)
等量关系：螺母总量=螺钉总量×2
典例分析
解：设应安排 x 名工人生产螺钉，(22－x)名工人生产螺母.
依题意，得
2000(22－x)＝2×1200x .
解方程，得 x＝10.
所以 22－x＝12.
答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.
还有别的方法吗？
典例分析
列表分析：
产品类型 生产人数 单人产量 总产量 产品套数
螺钉 x 1200
螺母 2000
1200 x
22－x
2000(22－x)
1200 x
解：设应安排 x 名工人生产螺钉，(22－x)名工人生产螺母.依题意，得
解方程，得 x＝10. 所以2－x＝12.
典例分析
生产调配问题通常从调配后各量之间的倍、分关系寻找相等关系，建立方程.
解决配套问题的思路：
1. 利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据；
2. 利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据.
总结归纳
1. 如图，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，求白皮，黑皮各多少块？
分析：由图可得，一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，因此白皮边数是黑皮边数的2倍．
数量 边数
黑皮 x 5x
白皮
32-x
6(32-x)
等量关系：
白皮边数
=黑皮边数×2
针对训练
解：设足球上黑皮有x块，则白皮为(32-x)块，
五边形的边数共有5x条，六边形边数有6(32-x)条．
依题意,得 2×5x=6（32-x）,
解得x=12，则32-x=20.
答：白皮20块，黑皮12块.
针对训练
2. 一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成. 用1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件. 现要用 6 立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做 A 部件，多少钢材做B部件，才能恰好配成这种仪器？共配成多少套？
分析：由题意知 B 部件的数量是 A 部件数量的 3 倍，可根据这一等量关系式得到方程.
针对训练
解：设应用 x 立方米钢材做 A 部件，则应用(6－x)立方米做 B 部件.
根据题意，列方程：
3×40x = (6－x)×240.
解得 x = 4.
则 6－x = 2.
共配成仪器：4×40=160 (套).
答：应用 4 立方米钢材做 A 部件， 2 立方米钢材做 B 部件，共配成仪器 160 套.
针对训练
如果把总工作量设为1，则人均效率 (一个人 1 h 完成的工作量) 为 ，x人先做 4h 完成的工作量为 ，增加 2 人后再做 8h 完成的工作量为 ，这两个工作量之和等于 .
例2： 整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成. 现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
分析：在工程问题中：工作量=人均效率×人数×时间；工作总量=各部分工作量之和.
总工作量
如果设先安排 x人做4 h，你能列出方程吗？
二、工程问题
典例分析
列表分析：
人均效率 人数 时间 工作量
前一部分工作 x 4
后一部分工作 (x＋2) 8
×
＝
×
×
×
＝
工作量之和等于总工作量1
合作探究
解：设先安排 x 人做4 h，根据题意得等量关系：
可列方程
解方程，得
4x＋8(x＋2)＝40，
4x＋8x＋16＝40，
12x＝24，
x＝2.
答：应先安排 2人做4 小时.
前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1
合作探究
1. 分析例2这类的“工程问题”时，要注意哪些要点？
2. 列一元一次方程解决实际问题，其基本步骤有哪些？
3. 尝试解决如下的例2变式问题，将你的思路与同伴交流.
合作探究
1. 加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务．问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？
效率 时间 工作量
甲
乙
x
12-x
针对训练
解：设乙需工作x天后甲再继续加工才可正好按期完成任务，则甲做了（12-x）天.
依题意，得
解得 x=8.
答：乙需工作8天后甲再继续加工才可正好按期完成任务.
针对训练
想一想：若要求二人在8天内完成任务，乙先加工几天后，甲加入合作加工，恰好能如期完成任务？
效率 时间 工作量
甲
乙
8
x
针对训练
解：设甲加工x天，两人如期完成任务，则在甲加入之前，乙先工作了(8-x)天.
依题意，得
解得x=4，则8-x=4.
答：乙需加工4天后，甲加入合作加工才可正好按期完成任务.
针对训练
2. 有一批零件加工任务，甲单独做需要40h完成，乙单独做需要30h完成. 甲做了几小时后，因另有紧急任务离开，剩下的任务由乙单独完成，乙比甲多做了2h. 求甲做了几小时？
依题意，得 .
解方程，得 x＝16.
答：甲做了16小时.
解：设甲做了x h.
你会列表分析吗？
针对训练
解决工程问题的基本思路：
1. 三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和.
(1) 按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和；
(2) 按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和.
3. 通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1.
总结归纳
1. 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
分析：把工作量看作单位“1”，则甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，
根据工作效率×工作时间=工作量，列方程.
当堂巩固
解方程，得 x = 8.
答：要8天可以铺好这条管线.
解：设要 x 天可以铺好这条管线，由题意得：
当堂巩固
2. 收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割 后，改用新式农机，工作效率提高到原来的 倍，因此比预计时间提早1小时完成. 求这块水稻田的面积．
解：设这块水稻田的面积为x亩.
依题意，得 .
解方程，得 x＝36.
答：这块水稻田的面积为36亩.
当堂巩固
1. 某人一天能加工甲种零件 50个或加工乙种零件20个，1 个甲种零件与 2 个乙种零件配成一套，30天制 作最多的成套产品，若设 x 天制作甲种零件，则可列方程为 .
2×50x = 20(30－x)
2. 一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，那么所列方程为 .
能力提升
3. 某家具厂生产一种方桌，1立方米的木材可做50个桌面或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌腿刚好配套，共可生产多少张方桌？(一张方桌有1个桌面，4条桌腿)
解：设用 x 立方米的木材做桌面，则用 (10－x) 立方米的木材做桌腿.
根据题意，得 4×50x = 300(10－x)，
解得 x =6，所以 10－x = 4，
可做方桌为50×6=300(张).
答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，可做300张方桌.
能力提升
4. 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做. 剩下的部分需要几小时完成？
解：设剩下的部分需要x小时完成，根据题意得：
解得x = 6.
答：剩下的部分需要6小时完成.
能力提升
5. 一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独做24天完成．
现在甲乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？
解：设乙队还需x天才能完成，由题意得：
解得 x = 13.
答：乙队还需13天才能完成．
能力提升
1.（2022 南充）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为（ ）
A．4x＋2(94－x)=35 B．4x＋2(35－x)=94
C．2x＋4(94－x)=35 D．2x＋4(35－x)=94
【解答】解：因为上有三十五头，且鸡有x只，
所以兔有(35－x)只．
依题意得：2x＋4(35－x)=94．
故选：D．
感受中考
2.（2分）（2021 北京16/28）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 　 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则 的值为 ．
感受中考
【解答】解：设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5﹣x）吨，4x+1＝2（5﹣x）+3，
解得：x＝2，
∴分配到B生产线的吨数为5﹣2＝3（吨），
∴分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为2：3；
∴第二天开工时，给A生产线分配了（2+m）吨原材料，给B生产线分配了（3+n）吨原材料，
感受中考
∵加工时间相同，
∴4（2+m）+1＝＝2（3+n）+3，
解得：m n，
∴ ，
故答案为：2：3； ．
感受中考
3.（8分）（2019·安徽省17/23）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
感受中考
【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，
由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，
解得x＝7，
所以乙工程队每天掘进5米，
（天）
答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．
感受中考
用一元一次方程解决实际问题的基本过程有几个步骤？分别是什么？
实际问题
一元一次方程
设未知数，列方程
解方程
一元一次方程的解(x = a)
实际问题的答案
检 验
总结归纳
列一元一次方程解应用题的一般步骤：
3. 设：设合适的量为未知数
2. 找：分析题意找出等量关系
4. 列：根据等量关系列方程
5. 解：解方程
6. 验：不仅检验方程解得是否正确，还要检验结果是否符合实际意义.
1. 审：认真仔细审题
7. 答：作答
总结归纳
课堂小结
1. 本节课学习的主要内容是什么？
2. 分析实际问题中的数量关系，常用的方法是什么？需要注意哪些问题？
3. 通过本节课的学习，尝试用自己的语言描述，如何建立方程模型来解决实际问题？
布置作业
P106：习题3.4：第4、5题.
P107：习题3.4：第9题.