6.5-6.6 一次函数与方程、不等式 课件(共39张PPT)

(共39张PPT)
苏科版 八年级上册数学
第6章 一次函数
6.5-6.6一次函数与方程、不等式
苏科版 八年级上册数学
第6章 一次函数
6.5一次函数与二元一次方程
1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．请用式子分别表示两个气球所在位置的海拔 y(单位：m)关于上升时间 x(单位：min)的函数关系．
1号探测气球，y关于x的函数解析式为：
解：
y=x+5
(0≤x≤60)
2号探测气球，y关于x的函数解析式为：
y=0.5x+15
(0≤x≤60)
情景引入
问题1：如果把两个式子： y=x+5，y=0.5x+15 中的变量都看作未知数，那么这两个式子表示什么意义？
【分析】
一次函数y=x+5
用方程观点看
二元一次方程x y= 5
一次函数y=0.5x+15
用方程观点看
二元一次方程0.5x y=15
那具体是怎样联系的呢？
密切联系
一次函数
请你写出3个一次函数，用方程观点看式子，有什么发现？再写3个二元一次方程，如果把未知数看作变量，变量间的关系是什么？
用方程观点看
(变量→未知数)
y=2x+4
y=4x 5
y= 7x+1
2x y= 4
4x y=5
7x+y=1
二元一次方程
二元一次方程
用函数观点看
(未知数→变量)
6x y=4
y+4x= 5
y 7x=1
y=6x 4
y= 4x 5
y=7x+1
一次函数
互相转化
用函数观点看
用方程观点看
合作探究
问题2：如果从形的角度看，它们之间又有什么联系呢？
在同一坐标系内，(1)画出y=x+5的图象；(2)画出以方程x y= 5的5个解为坐标的点.你有什么发现？
方程x y= 5的解：
①x= 1，y=4.
( 1，4)
②x= 2，y=3.
( 2，3)
③x=0，y=5.
(0，5)
④x=1，y=6.
(1，6)
⑤x=3，y=8.
(3，8)
x
y
o
2
4
6
8
2
4
8
2
y=x+5
x
y
o
6
…
以方程x y= 5的解为坐标的点都在一次函数y=x+5的图象上，
一次函数y=x+5
二元一次方程x y= 5
直线y=x+5
用方程观点看
用函数观点看
点的坐标满足函数解析式
以满足函数解析式的数对为坐标画点
函数y=x+5图象上的点的坐标都是二元一次方程y=x+5的解.
总结归纳
一次函数与二元一次方程的关系
一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方
实质：
程，都可以改写为y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解.
口诀：坐标是解， 解是坐标.
一次函数与二元一次方程的关系
一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方
实质：
程，都可以改写为y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解.
口诀：坐标是解， 解是坐标.
总结归纳
问题3：在某时刻两气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？你会从数和形两方面进行研究吗？
(1)数量关系的角度
对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.
由此可得：
y=x+5
y=0.5x+15
即
x y== 5
0.5x y= 15
解得
x=20
y=25
因此，气球上升20分钟时，它们的高度相同，都是25m.
我们知道含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组一般有一个解，那么从函数的观点看，这有什么含义？让我们还是从气球的上升问题说起.
合作探究
问题3：在某时刻两气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？你会从数和形两方面进行研究吗？
(2)图形的角度
在同一坐标系中画出两个函数的图象，如右图.
x/min
o
y/m
y=x+5
y=0.5x+15
20
25
发现：
说明：
这两条直线的交点坐标
为(20，25)
当上升20min时，两个
气球都位于海拔25m的高度.
由上可知，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
一次函数与二元一次方程组的关系
解二元一次方程组
数：
求自变量为何值时，相应的
两个一次函数的值相等，以及这个函数值是多少.
形：
二元一次方程组的解 两条相应直线交点的坐标
总结归纳
【分析】
【例1】下列各图象上点的坐标都是二元一次方程x 2y=2的解的是 (　 ).
A
B
C
D
二元一次方程x 2y=2 一次函数y=x 1
令x=0，得y= 1；令y=0，得x=2.故函数与坐标轴得交点分别为
(0， 1)、(2，0).
C
【例2】请用图象法求方程组 的解.
2x y+2=0
x+y= 1
解：
方程组整理，得
y=2x+2
y= x 1
建立平面直角坐标系，分别作出
一次函数y= x 1与y=2x+2的图象，
如右图所示.
x
y
o
2
4
6
8
2
4
8
2
x
y
o
2
4
6
8
2
4
6
8
2
y=2x+2
y= x 1
2
则原方程组的解为
y=0
x= 1
转化
画图象
找交点
【分析】
【例3】方程组 解的情况如何？你能从函数的角度解释一下吗？
x+y=5
x+y=2
x+y=5
x+y=2
解二元一次方程

确定直线y= x+2与直线y= x+5
的交点
两直线平行

方程组
x+y=5
x+y=2
无解
x
y
o
2
4
6
8
2
4
8
2
x
y
o
2
4
6
8
2
4
6
8
2
y= x+2
y= x+5
图象之间有何关系
你能从中“悟”出些什么吗？
x
y
o
2
4
6
8
2
4
8
2
x
y
o
2
4
6
8
2
4
6
8
2
y= x+2
y= x+5
(1)二元一次方程组无解对应一次函数的图象______(无交点)；
平行
(2)二元一次方程组有一解 对应一次函数的图象_____(有一个交点)；
相交
(3)二元一次方程组有无数解 一次函数的图象______（有无数个交点）；
重合
总结归纳
苏科版 八年级上册数学
第6章 一次函数
6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
看看下面两个问题之间的关系：
（1）解方程：2x+20=0.
（2）自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
分析：
可以从下面三个方面思考：
（1）对于2x+20=0和y=2x+20,从形式上看，有什么不同？
（2）从问题的本质上看，（1）和（2）有什么关系？
（3）若作出y=2x+20的图象，（1）和（2）有什么关系？
活动1：探究一次函数与一元一次方程
问题：（1）解方程2x+20=0.
（2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
◆对于2x+20=0和y=2x+20,从形式上看，有什么不同？
2x+20=0 y=2x+20
形式上
一元一次方程
一次函数
问题：（1）解方程2x+20=0.
（2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
◆从问题的本质上看，有什么不同？
2x+20=0 y=2x+20
本质上
解方程
2x+20=0,
得x=-10
当函数值y为0时，所对应的自变量x的值，也就是：当y=0时，即2x+20=0,解得
x=-10
（从“数”
的角度看）
从“数”上看
序号 一元一次方程问题 一次函数问题
1 解方程2x+20=0 当x为何值时，y=2x+20的值为0？
2 当x为何值时，
y=-2x+20的值为0？
3 解方程-2x+2=-1
4
解方程-2x+20=0
先转化为-2x+3=0
当x为何值时，
y=-2x+3的值为0
解方程ax+b=0
当x为何值时，
y=ax+b的值为0
问题：（1）解方程2x+20=0.
（2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
◆若作出y=2x+20的图象，（1）和（2）有什么关系？
从“形”的角度看：
直线y=2x+20的图象与x轴的交点坐标为（ -10 ， 0 ），
这说明方程2x+20=0的解是x= -10 .
(-10,0)
序号 一次函数问题 图像
1
2
3
4
从“形”上看
当x为何值时，y=2x+20的值为0
当x为何值时，y=2x-2的值为0
当x为何值时，y=2x+3的值为0
当x为何值时，y=ax+b的值为0
直线y=ax+b与x轴交点的横坐标（即ax+b=0)
总结
结论：前面两个问题实际上是同一个问题（只是表达形式不同）.
一次函数与一元一次方程的关系
求ax+b=0(a,b是
常数，a≠0)的解
从“函数值”看
当x为何值时，
函数y=ax+b的
值为0
求ax+b=0(a,b是
常数，a≠0)的解
从“函数图象”看
求直线y=ax+b
与x轴交点的
横坐标
下面3个方程有什么共同点与不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
(1)2x+1=3
(2)2x+1=0
(3)2x+1=-1
2x+1=0的解
2x+1=3的解
2x+1=0的解
用函数的观点看
解一元一次方程ax+b=k就是求当函数值为k时对应的自变量x的值.
知识要点
◆一元一次方程ax+b=k（a≠0)与函数y=ax+b
一次函数
与一元一
次方程的
关系
求ax+b=k(a≠0)的解
（从“数”的角度）
x为何值时y=ax+b的值为k
（从“形”的角度）
当函数y=ax+b纵坐标为k时，
所对应的横坐标x的值
活动2：探究一次函数与一元一次不等式
从“数”上看
（1）解不等式：2x-4>0；
（2）当x为何值时，函数y=2x-4的值大于0.
解：
（1）解得x>2；
（2）就是要使2x-4>0,解得x>2时函数y=2x-4的值大于0.
在上面的问题解决过程中，你能发现它们之间有什么关系？
议一议：
从数的角度看它们是同一个问题
(1)解不等式3x-6<0,可以看作
求一次函数y=3x-6的函数值小于0的自变量的取值范围
(2)“当自变量x取何值时，函数y=3x+8的值大于0”可看作
求不等式3x+8>0的解集
从“形”上看
问题3. 如何用函数图象来解释：自变量x为何值时，函数y=2x-4的值大于0
解：
画出直线y=2x-4
x>2
根据下列一次函数的图象，说出对应不等式的解集.
-2
(1)3x+6>0
x>-2
y=3x+6
3
y=-x+3
(2)-x+3≥0
x≤3
思考
（1）3x+2>2;
下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？
（2）3x+2<0;
（3）3x+2<-1.
y=2
y=-1
y=3x+2
(1) x>0
(3) x<-1
知识要点
★不等式ax+b>c的解集就是使函数y=ax+b的数值大于c的对应的自变量取值范围；
★不等式ax+by=3x+2
y=2
y=-1
活动3：探究一次函数与二元一次方程组
1.结合前面，你能说说怎样用图象法解二元一次组吗？
写函数，作图象，找交点，下结论
2.如何从图象中找出二元一次方程组的解？
找出方程组所对应的一次函数图象的交点坐标.
归纳总结
从数的角度看：
求二元一次方程组的解
自变量为何值时，两个函数的值相等并求函数值
从形的角度看：
求二元一次方程组的解
是确定两条直线交点的坐标
求二元一次方程组的解
自变量为何值时，两个函数的值相等并求函数值
例题讲解
例 老师为了教学，需要在家上网查资料.电信公司提供了两种上网收费方式：
方式 1 ：按上网时间以每分钟 0.1 元计费；
方式 2 ：月租费 20 元，再按上网时间以每分钟 0.05 元计费.
请同学们帮老师选择：以何种方式上网更合算？
o
y/元
x /分
20
400
200
y1 =0.1x
y 2=0.05x+20
40
30
在同一坐标系中分别画出这两个函数的图像
当 x = 400 时,
y1 = y2
当 x＞400 时,
y1 ＞ y2
当 0≤x＜400 时,
y1 ＜ y2
y1=0.1x
y2=0.05x+20
解：设上网时间为 x 分，若按方式 1 则收 元；
若按方式 2 则收 元.
y1=0.1x
y2=0.05x+20
例题讲解
由函数图像得：
当 时，y＞0，
即选方式 省钱；
当 时，y=0，
即选方式A、B ；
当 时，y＜0，
即选方式 省钱；
400
y=－0.05x+20
20
0
y
x
解法2：设上网时间为 x 分，方式 B与方式 A两种计费的差额为 y元,则 y 随 x 变化的函数关系式为 ________ . 化简得 ____.
在直角坐标系中画出这个函数的图像。
y=(0.05x+20) －0.1x
y=－0.05x +20
0≤x＜400
x=400
x＞400
A
B
一样
一次函数与方程、不等式
解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标
解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x的取值范围
解二元一次方程组 求对应两条直线交点的坐标
课堂小结
谢 谢！