19.5 角的平分线（第1课时） 课件 (共16张PPT)

(共16张PPT)
19.5角的平分线（第1课时）
第 19 章 几何证明
八年级上册数学沪教版
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
[复习与回顾]
线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
题设、结论
[“互逆”的思想]
逆命题
逆定理
定理
命题
角的平分线
“角”是轴对称图形，它的对称轴是什么？
A
B
O
1
2
“角的平分线”除了平分这个角以外，还有其他的性质吗？
角平分线所在直线
C
∵OC平分∠AOB,
∴∠1=∠2
证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,
　　∴∠PDO=∠PEO=90°
又∵OC是∠AOB的平分线,
∴∠1=∠2,
在△POD和△POE中
∠PDO=∠PEO,
OP=OP,
∠1=∠2,
∴△POD≌△POE (ASA)
∴PD=PE (全等三角形的对应边相等)
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
探寻逆定理
在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆命题：
到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
在一个角的内部（包括顶点）且
证明逆命题
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE
求证：P在∠AOB角平分线上
∠1=∠2
在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
角的平分线可以看作是
在这个角的内部（包括顶点）到角两边距离相等的点的集合.
符号语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB且PD=PE
定理应具备条件：
1）角内部一点
2）两段垂直距离
3）距离相等
定理作用：
证明角被平分
理解逆定理
∴∠1=∠2或点P在∠AOB角平分线上
（在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。）
用集合的思想理解角平分线：
A
B
O
C
角的平分线可以看作是在这个角的内部（包括顶点）到角两边距离相等的点的集合.
类比探究
求证：点O在∠C的平分线上.
[例1]如图，AO、BO分别是∠A、∠B的平分线， OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D、E.
F
∵AO平分∠BAC，OE⊥AB（已知）
证明：过点O作OF⊥AC，垂足是F。
∴OE=OF(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
∴OF=OD(等量代换)
∴点O在∠C的平分线上(在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上)
OF⊥AC(作图)
本例结论可引申为——
这个点叫做“三角形的内心”。
三角形三个内角的平分线交于一点，
同理，OE=OD
课本练习
2. 已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PN⊥AC，点M、N分别为垂足.
求证（1）PM=PN
（2）AP平分∠MAN.
H
PM=PH
PN=PH
PM=PN
证明：
过点P作PH⊥BC，垂足为点H.
∵BP是∠MBC的平分线
(已知)，
PM⊥AB，PH⊥BC
∴PM=PH
（在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）,
同理：PN=PH.
∴PM=PN（等量代换）.
∴点P在∠MAN的平分线上,即AP平分∠MAN.
（在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）．
通过这节课的学习，你有什么收获和体会？
1.角的平分线的性质定理：
在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等．
符号语言：
∵OP平分∠AOB
PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE
（在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）．
课堂小结
2.角平分线性质定理的逆定理：
在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
符号语言：
∴OP平分∠AOB
∵PD⊥OA,PE⊥OB,
PD=PE.
（在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边
距离相等的点，在这个角的平分线上）.
3. 三角形的三条角平分线交于一点，且这点到三边的距离相等．
D
E
F
G
H
S
∵∠1=∠2，∠3 =∠4，∠5=∠6
1
2
3
4
5
6
∴ AG、BH、 CS交于点O.
又 OD⊥BC, OE⊥AB, OF⊥AC,垂足分别为D、E、F,
∴ OD=OE=OF.
THANKS
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