19.4 线段的垂直平分线同步练习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 19.4 线段的垂直平分线同步练习题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-27 11:53:17 | ||
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19.4 线段的垂直平分线（原卷版）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（ ）
A．41° B．42° C．43° D．44°
2．（2022·上海·八年级单元测试）三角形的外心是三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
3．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高线交点 C．三边垂直平分线交点 D．三个内角平分线交点
二、填空题
4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________cm．
5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）线段垂直平分线上的任意一点到_____________相等；和一条线段两个端点距离相等的点，在__________上．
6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底（A与D不重合），则直线AD必是__________的垂直平分线．
7．（2017·上海·八年级期末）如图ABC中，ABAC6，AC的垂直平分线DE交于E，如果EBC的周长为10，那么ABC的周长为________．
8．（2019·上海松江·八年级期末）如图，已知中，，，垂直平分，点为垂足，交于点．那么的周长为__________．
9．（2019·上海市梅陇中学八年级期中）如果，等腰△ABC中，AB=5，BC=4，边AB的垂直平分线交边AC于点E，那么△BCE的周长等于____
10．（2022·上海·八年级专题练习）如图，小明画线段AB的垂直平分线l，垂足为点C，然后以点B为圆心，线段AB为半径画弧，与直线l相交于点D，连接BD，那么∠CDB的度数是 _____．
11．（2022·上海·八年级单元测试）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的中垂线，点D在AB上，点E在AC上，若△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，那么AC的长度为_____cm．
12．（2017·上海市廊下中学八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，边AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为点O，连接BD，则∠DBC的度数为_____°．
13．（2020·上海市松江区民办茸一中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠DAE=36°，点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，那么∠BAC=_____．
14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上．
15．（2020·上海浦东新·八年级期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝48°，则∠ABC的度数为＝_____．
三、解答题
16．（2019·上海市梅陇中学八年级期中）已知：如图，在中，，边的垂直平分线与分别交于点D和点E．
（1）作出边的垂直平分线（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）当时，求的度数．
17．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）如图，在△ABE中，AD⊥BE于点D，C是BE上一点，BD＝DC，且点C在AE的垂直平分线上，若△ABC的周长为18 cm，求DE的长．
18．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图，在△ABC，AB=AC，BC==8cm，DE垂直平分AB，若△BCD的周长为24cm，求：AB的长．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·上海·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝，则∠EAN的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·上海·八年级期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于三角形的任何一个内角
B．线段的垂直平分线上的任一点与该线段两个端点能构成等腰三角形
C．三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等
D．面积都相等的两个三角形一定全等
3．（2022·上海·八年级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，DE垂直平分AC边，垂足为点E，若∠B＝70°，且AB+BD＝BC，则∠BAC的度数是（ ）
A．40° B．65° C．70° D．75°
4．（2022·上海·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．的周长为，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为______度．
6．（2022·上海·八年级专题练习）如图，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAF＝_____度．
7．（2022·上海·八年级期末）如图，垂直平分，垂直平分，若，则__________°．
8．（2022·上海·八年级专题练习）如图，中，已知，DE是AB的垂直平分线，若，那么=_________度.
9．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）在△ABC 中，∠BAC=θ．边 AB 的垂直平分线交边 BC 于点 D，边 AC的垂直平分线交边BC于点 E，连结 AD，AE，则∠DAE 的度数为_____．（用含θ 的代数式表示）
三、解答题
10．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AE＝BE，AD与BE相交于点F．
(1)请说明△AEF≌△BEC的理由．
(2)如果AF＝2BD，试说明AD平分∠BAC的理由．
11．（2022·上海·八年级期末）作图题：在等边ABC所在平面上找这样一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P．
12．（2022·上海·同济大学附属七一中学八年级期中）如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．
（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；
（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；
（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．
19.4 线段的垂直平分线（解析版）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（ ）
A．41° B．42° C．43° D．44°
【答案】B
【分析】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据ED是AC的垂直平分线，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根据直角三角形中两锐角互余建立方程，解方程即可求解．
【详解】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝7x°，
∵∠B＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∴7x+7x+x＝90，
解得：x＝6，
∴∠C＝7×6°＝42°，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质求出AE＝CE是解此题的关键．
2．（2022·上海·八年级单元测试）三角形的外心是三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
【答案】C
【分析】根据三角形的外心的定义（三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点）即可得．
【详解】解：三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外心，熟记定义是解题关键．
3．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高线交点 C．三边垂直平分线交点 D．三个内角平分线交点
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，即可求解．
【详解】解：在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是三个内角平分线交点，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
二、填空题
4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________cm．
【答案】6
【分析】根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解题即可．
【详解】线段AB的垂直平分线上的点P到点A、点B的距离相等，即PA=PB，
故答案为：6cm
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，是重要考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．
5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）线段垂直平分线上的任意一点到_____________相等；和一条线段两个端点距离相等的点，在__________上．
【答案】 线段两个端点的距离 线段的垂直平分线上
【分析】根据线段垂直平分线的性质解题即可．
【详解】线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等；和一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上．
故答案为：线段两个端点的距离；线段的垂直平分线上．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的定义及性质，是重要考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．
6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底（A与D不重合），则直线AD必是__________的垂直平分线．
【答案】BC
【分析】根据题意作图，再由“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”及“两点确定一条直线”即可解答．
【详解】如图，根据题意得AB＝AC，DB＝DC，
∴点A、D都在BC的垂直平分线上．
∵两点确定一条直线，
∴直线AD是BC的垂直平分线．
故答案为：BC．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线性质的逆定理及直线的公理，属基础题．
7．（2017·上海·八年级期末）如图ABC中，ABAC6，AC的垂直平分线DE交于E，如果EBC的周长为10，那么ABC的周长为________．
【答案】16
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，等量代换可得的长，由可求得ABC的周长.
【详解】解：∵为线段的垂直平分线
∴
∵的周长为10
∴
故答案为：16.
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，灵活利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键.
8．（2019·上海松江·八年级期末）如图，已知中，，，垂直平分，点为垂足，交于点．那么的周长为__________．
【答案】8
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，再根据AB=AC即可得出AC的长，进而得出结论．
【详解】的垂直平分线交于点，垂足为点，
，
，
，，，
的周长．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
9．（2019·上海市梅陇中学八年级期中）如果，等腰△ABC中，AB=5，BC=4，边AB的垂直平分线交边AC于点E，那么△BCE的周长等于____
【答案】9
【分析】首先根据线段垂直平分线的性质得出AE=EB，然后根据等腰三角形的性质，得出AB=AC=5，进行等量转换，即可得出周长.
【详解】∵DE为AB的线段垂直平分线
∴AE=EB
又∵等腰△ABC中，AB=5，BC=4，
∴AB=AC=5，
∴△BCE的周长是BE+EC+BC=AC+BC=5+4=9
故答案为9.
【点睛】此题主要考查等腰三角形以及线段垂直平分线的性质，熟练运用，即可解题.
10．（2022·上海·八年级专题练习）如图，小明画线段AB的垂直平分线l，垂足为点C，然后以点B为圆心，线段AB为半径画弧，与直线l相交于点D，连接BD，那么∠CDB的度数是 _____．
【答案】30°##30度
【分析】连接AD，由线段垂直平分线性的性质结合作图可证明△ABD为等边三角形，即可得∠B＝60°，进而可求出∠CDB的度数．
【详解】解：如图，连接AD，
∵CD垂直平分AB，
∴AD＝BD，∠BCD＝90°．
∵BA＝BD，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠CDB＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理．证明△ABD为等边三角形是解题的关键．
11．（2022·上海·八年级单元测试）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的中垂线，点D在AB上，点E在AC上，若△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，那么AC的长度为_____cm．
【答案】9
【分析】根据垂直平分线性质，得到EB＝EA，利用三角形周长进行线段的等量代换求解即可．
【详解】解：∵DE是AB的中垂线，
∴EB＝EA，
∵△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，
即EB+EC+BC＝16，EA+EC+BC＝16，BC+AC＝16，
∴AC＝25﹣（AB+BC）＝25﹣16＝9．
故答案为9．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，熟悉掌握垂直平分线的定义进行线段的等量代换是解题的关键．
12．（2017·上海市廊下中学八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，边AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为点O，连接BD，则∠DBC的度数为_____°．
【答案】30
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝70°，再根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则∠DBA＝∠A＝40°，然后计算∠ABC﹣∠DBA即可．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵OD垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°．
故答案为30．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
13．（2020·上海市松江区民办茸一中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠DAE=36°，点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，那么∠BAC=_____．
【答案】108°
【分析】根据线段的垂直平分线得出AD＝BD，AE＝CE，推出∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，根据三角形的内角和定理得出2（∠BAD＋∠CAE）+∠DAE=180°，求出∠BAD＋∠CAE的度数，即可得到答案．
【详解】解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∠DAE+∠BAD+∠CAE+∠B＋∠C=180°，∠DAE=36°，
即2（∠BAD＋∠CAE）+∠DAE=180°
∴∠BAD＋∠CAE＝72°，
∴∠BAC=∠DAE+∠BAD＋∠CAE＝72°+36°=108°，
故答案为：108°．
【点睛】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上．
【答案】线段AB的垂直平分线
【分析】和一条线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，据此作答即可．
【详解】因为PA=PB=3cm，
所以P点一定在线段AB的垂直平分线上．
故答案为：线段AB的垂直平分线．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，熟记到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
15．（2020·上海浦东新·八年级期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝48°，则∠ABC的度数为＝_____．
【答案】48°
【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC＝∠ABD，再根据线段垂直平分线的性质可得BF＝CF，进而可得∠FCE＝24°，然后可算出∠ABC的度数．
【详解】∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＋∠ACB＝120°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF＝CF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠ABC＝2∠FCE，
∵∠ACF＝48°，
∴3∠FCE＝120° 48°＝72°，
∴∠FCE＝24°，
∴∠ABC＝48°，
故答案为：48°.
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
三、解答题
16．（2019·上海市梅陇中学八年级期中）已知：如图，在中，，边的垂直平分线与分别交于点D和点E．
（1）作出边的垂直平分线（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）如图所示，见解析；（2）．
【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出即可；
（2）连接CE，利用垂直平分线的性质证明出，再通过计算∠ACB的角度得出∠A的度数．
【详解】（1）如图所示，即为所求作的边的垂直平分线；
（2）如图，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
在中，，
∴，
解得，
即．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形等边对等角，以及三角形内角之间的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
17．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）如图，在△ABE中，AD⊥BE于点D，C是BE上一点，BD＝DC，且点C在AE的垂直平分线上，若△ABC的周长为18 cm，求DE的长．
【答案】9 cm．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CA=CE，AB=AC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵点C在AE的垂直平分线上，
∴CA=CE，
∵AD⊥BE，BD=DC，
∴AB=AC，
∵△ABC的周长为18，
∴AB+BC+AC=18，
∴2AC+2DC=18，
∴AC+DC=9，
∴DE=DC+CE=AC+CD=9（cm）．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图，在△ABC，AB=AC，BC==8cm，DE垂直平分AB，若△BCD的周长为24cm，求：AB的长．
【答案】16 cm
【分析】由线段垂直平分线的性质可确定DA=DB，由△BCD的周长为24cm，可得BD+DC+BC=24 cm，可转化为DA+DC+BC=24 cm，进而可得AC+BC=24 cm，故AC=16 cm，由等腰三角形可确定AC的长度．
【详解】∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∵若△BCD的周长为24cm，
∴BD+DC+BC=24 cm，
∴DA+DC+BC=24 cm，
即AC+BC=24 cm，
∵BC=8cm，
∴AC=16 cm，
∵AB=AC，
∴AB=16 cm．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长表示，熟练掌握线段垂直平分线的性质确定相等的线段是解题的关键．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·上海·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝，则∠EAN的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质，EA＝EB，NA＝NC，则∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，从而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，即可得解．
【详解】解：∵∠BAC＝ ，
∴∠B+∠C＝ ，
∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，
∴EA＝EB，NA＝NC，
∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，
∴∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，
＝
＝．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，角的和差关系，能得到求∠EAN的关系式是关键．
2．（2022·上海·八年级期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于三角形的任何一个内角
B．线段的垂直平分线上的任一点与该线段两个端点能构成等腰三角形
C．三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等
D．面积都相等的两个三角形一定全等
【答案】C
【分析】A、B、D均可举反例说明错误，C选项可构造图形证明．
【详解】解：A.钝角三角形与钝角相邻的外角小于该角，原命题是假命题，故该选项不符合题意；
B.如果该点在线段上，那么不能构成等腰三角形，原命题是假命题，故该选项不符合题意；
C.当该中线为等腰三角形底边上的中线时，根据三线合一即可得出这两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等，
当三角形不是等腰三角形或中线不是等腰三角形底边上的中线时，
如图所示，AD为△ABC的中线，BF⊥AD，CE⊥AD，
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BFD=∠CED=90°，
∵∠ADB=∠EDC，
∴△BDF≌△CDE（AAS），
∴BF=CE，
综上，三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等，原命题是真命题，故该选项符合题意；
D.如果是一个钝角三角形和锐角三角形，某边相等且该边上的高相等，但它们不全等，原命题是假命题，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查判断命题的真假，主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质．说明一个命题是假命题只需要举一个反例，判断一个命题是真命题需要证明它．
3．（2022·上海·八年级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，DE垂直平分AC边，垂足为点E，若∠B＝70°，且AB+BD＝BC，则∠BAC的度数是（ ）
A．40° B．65° C．70° D．75°
【答案】D
【分析】连接AD，根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD，推出AB=AD，根据等腰三角形的性质得到∠ADB=∠B=70°，最后根据三角形的内角和即可得到结论．
【详解】连接AD，
∵DE垂直平分AC边，∴AD＝CD，
∵BC＝BD+CD＝AB+BD，
∴AB＝CD，∴AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝70°，∴∠CADB＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝75°，
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4．（2022·上海·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．的周长为，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE=BE，
∵△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13，△ABC的周长=AC+BC+AB=19，
∴AB=△ABC的周长-△ACE的周长=19-13=6，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
二、填空题
5．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为______度．
【答案】
【分析】连接、；构造等腰和等腰，通过等边对等角求解即可．
【详解】解：如图，连接、；
∵平分，，
∴，点在线段的垂直平分线上；
∴
∵垂直平分
∴
∴
∴
由轴对称的性质可知：垂直平分；
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形三线合一的性质、线段中垂线的性质；熟练运用中垂线的性质转化线段是解题的关键．
6．（2022·上海·八年级专题练习）如图，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAF＝_____度．
【答案】40
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝70°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，进而求出∠DAB+∠FAC，结合图形计算即可．
【详解】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
同理可得：∠FAC＝∠C，
∴∠DAB+∠FAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠DAF＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：40．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．（2022·上海·八年级期末）如图，垂直平分，垂直平分，若，则__________°．
【答案】
【分析】先由已知求出∠B+∠C=70°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，则有∠BAD+∠CAE=70°，进而求得∠DAE的度数．
【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，
∵垂直平分，垂直平分，
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=70°，
∴∠ADE=∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）=110°﹣70°=40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和等理，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质是解答的关键．
8．（2022·上海·八年级专题练习）如图，中，已知，DE是AB的垂直平分线，若，那么=_________度.
【答案】54°.
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得DA=DB，进而得∠B=∠DAB，再设∠DAC=x，利用三角形的内角和定理即可求出x的值，进一步即可求出答案.
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，
∵，∴设∠DAC=x，则∠B=∠DAB=2x，
∵，∴x+2x+2x=90°，解得：x=18°，
∴=3x=54°.
故答案为54°.
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，属于基础题型，熟练掌握相关图形的性质是关键.
9．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）在△ABC 中，∠BAC=θ．边 AB 的垂直平分线交边 BC 于点 D，边 AC的垂直平分线交边BC于点 E，连结 AD，AE，则∠DAE 的度数为_____．（用含θ 的代数式表示）
【答案】2θ-180°或180°
【分析】分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°，再根据角的和差关系进行计算即可．
【详解】解：分两种情况：
如图所示，当∠BAC≥90°时，
∵DM垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
同理可得，∠C=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°，
∴∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=（180°）=180°；
②如图所示，当∠BAC＜90°时，
∵DM垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
同理可得，∠C=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°，
∴∠DAE=∠BAD+∠CAE-∠BAC=180°=180°．
故答案为：180°或180°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
三、解答题
10．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AE＝BE，AD与BE相交于点F．
(1)请说明△AEF≌△BEC的理由．
(2)如果AF＝2BD，试说明AD平分∠BAC的理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据∠DAC+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°，推出∠DAC＝∠EBC，即可证明△AEF≌△BEC；
（2）根据AF＝BC，AF＝2BD，推出D是BC的中点，利用垂直平分线上的点到线段两端距离相等推出AB＝AC，利用等腰三角形三线合一的性质即可求证AD平分∠BAC．
（1）
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°
∴∠DAC+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°
∴∠DAC＝90°﹣∠C，∠EBC＝90°﹣∠C
∴∠DAC＝∠EBC，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（ASA）；
（2）
解：由（1）知，AF＝BC，
∵AF＝2BD，
∴BC＝2BD，
∴D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AD⊥BC，
∴AB=AC
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∴AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、等腰三角形三线合一的性质等知识点，熟练掌握这些知识点是解答本题的关键．
11．（2022·上海·八年级期末）作图题：在等边ABC所在平面上找这样一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P．
【答案】作图见解析
【分析】分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直 平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；还有一点是三边的垂直平分线的交点，即可求解.
【详解】解：分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；
以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直 平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；
还有一点是三边的垂直平分线的交点，
∴一共有10个点；
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
12．（2022·上海·同济大学附属七一中学八年级期中）如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．
（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；
（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；
（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．
【答案】（1）证明见解析；（2）CD=2CE；（3）当点M 在线段BC 上时，CD=BN+CE ； 当点M 在BC 的延长线上时，CD=BN-CE ； 当点M 在CB 的延长线上时，CD=CE-BN
【分析】（1）连接ND，先由已知条件证明：DN=DC，再证明BN=DN即可；
（2）当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，过点C作CN'⊥AO交AB于N'．过点C作CG∥AB交直线l于G，再证明△BNM≌△CGM问题得证；
（3）BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M在线段BC上时；②当点M在BC的延长线上时；③当点M在CB的延长线上时．
【详解】（1）证明：连接ND ，
∵AO 平分∠BAC ， ∴∠1= ∠2 ，
∵直线l ⊥AO 于H ， ∴∠4= ∠5=90 °，
∴∠6= ∠7 ， ∴AN=AC ，
∴NH=CH ， ∴AH 是线段NC 的垂直平分线，
∴DN=DC ，∴∠8= ∠9 ，∴∠AND= ∠ACB ，
∵∠AND= ∠B+ ∠3 ，∠ACB=2 ∠B ，
∴∠B= ∠3 ， ∴BN=DN ，
∴BN=DC ；
（2 ）如图，当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为CD=2CE.
证明：过点C 作CN' ⊥AO 交AB 于N' ，
由（1 ）可得BN'=CD ，AN'=AC ，AN=AE ，
∴∠4= ∠3 ，NN'=CE ，
过点C 作CG ∥AB 交直线l 于G ，
∴∠4= ∠2 ，∠B= ∠1 ，
∴∠2= ∠3 ，
∴CG=CE ，
∵M 是BC 中点，
∴BM=CM ，
在△BNM 和△CGM 中
，
∴△BNM ≌△CGM ，
∴BN=CG ，
∴BN=CE ，
∴CD=BN'=NN'+BN=2CE ；
（3 ）BN 、CE 、CD 之间的等量关系：
当点M 在线段BC 上时，CD=BN+CE ；
当点M 在BC 的延长线上时，CD=BN-CE ；
当点M 在CB 的延长线上时，CD=CE-BN
19.4 线段的垂直平分线（原卷版）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（ ）
A．41° B．42° C．43° D．44°
2．（2022·上海·八年级单元测试）三角形的外心是三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
3．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高线交点 C．三边垂直平分线交点 D．三个内角平分线交点
二、填空题
4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________cm．
5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）线段垂直平分线上的任意一点到_____________相等；和一条线段两个端点距离相等的点，在__________上．
6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底（A与D不重合），则直线AD必是__________的垂直平分线．
7．（2017·上海·八年级期末）如图ABC中，ABAC6，AC的垂直平分线DE交于E，如果EBC的周长为10，那么ABC的周长为________．
8．（2019·上海松江·八年级期末）如图，已知中，，，垂直平分，点为垂足，交于点．那么的周长为__________．
9．（2019·上海市梅陇中学八年级期中）如果，等腰△ABC中，AB=5，BC=4，边AB的垂直平分线交边AC于点E，那么△BCE的周长等于____
10．（2022·上海·八年级专题练习）如图，小明画线段AB的垂直平分线l，垂足为点C，然后以点B为圆心，线段AB为半径画弧，与直线l相交于点D，连接BD，那么∠CDB的度数是 _____．
11．（2022·上海·八年级单元测试）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的中垂线，点D在AB上，点E在AC上，若△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，那么AC的长度为_____cm．
12．（2017·上海市廊下中学八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，边AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为点O，连接BD，则∠DBC的度数为_____°．
13．（2020·上海市松江区民办茸一中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠DAE=36°，点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，那么∠BAC=_____．
14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上．
15．（2020·上海浦东新·八年级期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝48°，则∠ABC的度数为＝_____．
三、解答题
16．（2019·上海市梅陇中学八年级期中）已知：如图，在中，，边的垂直平分线与分别交于点D和点E．
（1）作出边的垂直平分线（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）当时，求的度数．
17．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）如图，在△ABE中，AD⊥BE于点D，C是BE上一点，BD＝DC，且点C在AE的垂直平分线上，若△ABC的周长为18 cm，求DE的长．
18．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图，在△ABC，AB=AC，BC==8cm，DE垂直平分AB，若△BCD的周长为24cm，求：AB的长．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·上海·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝，则∠EAN的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·上海·八年级期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于三角形的任何一个内角
B．线段的垂直平分线上的任一点与该线段两个端点能构成等腰三角形
C．三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等
D．面积都相等的两个三角形一定全等
3．（2022·上海·八年级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，DE垂直平分AC边，垂足为点E，若∠B＝70°，且AB+BD＝BC，则∠BAC的度数是（ ）
A．40° B．65° C．70° D．75°
4．（2022·上海·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．的周长为，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为______度．
6．（2022·上海·八年级专题练习）如图，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAF＝_____度．
7．（2022·上海·八年级期末）如图，垂直平分，垂直平分，若，则__________°．
8．（2022·上海·八年级专题练习）如图，中，已知，DE是AB的垂直平分线，若，那么=_________度.
9．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）在△ABC 中，∠BAC=θ．边 AB 的垂直平分线交边 BC 于点 D，边 AC的垂直平分线交边BC于点 E，连结 AD，AE，则∠DAE 的度数为_____．（用含θ 的代数式表示）
三、解答题
10．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AE＝BE，AD与BE相交于点F．
(1)请说明△AEF≌△BEC的理由．
(2)如果AF＝2BD，试说明AD平分∠BAC的理由．
11．（2022·上海·八年级期末）作图题：在等边ABC所在平面上找这样一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P．
12．（2022·上海·同济大学附属七一中学八年级期中）如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．
（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；
（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；
（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．
19.4 线段的垂直平分线（解析版）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（ ）
A．41° B．42° C．43° D．44°
【答案】B
【分析】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据ED是AC的垂直平分线，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根据直角三角形中两锐角互余建立方程，解方程即可求解．
【详解】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝7x°，
∵∠B＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∴7x+7x+x＝90，
解得：x＝6，
∴∠C＝7×6°＝42°，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质求出AE＝CE是解此题的关键．
2．（2022·上海·八年级单元测试）三角形的外心是三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
【答案】C
【分析】根据三角形的外心的定义（三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点）即可得．
【详解】解：三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外心，熟记定义是解题关键．
3．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高线交点 C．三边垂直平分线交点 D．三个内角平分线交点
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，即可求解．
【详解】解：在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是三个内角平分线交点，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
二、填空题
4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________cm．
【答案】6
【分析】根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解题即可．
【详解】线段AB的垂直平分线上的点P到点A、点B的距离相等，即PA=PB，
故答案为：6cm
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，是重要考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．
5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）线段垂直平分线上的任意一点到_____________相等；和一条线段两个端点距离相等的点，在__________上．
【答案】 线段两个端点的距离 线段的垂直平分线上
【分析】根据线段垂直平分线的性质解题即可．
【详解】线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等；和一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上．
故答案为：线段两个端点的距离；线段的垂直平分线上．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的定义及性质，是重要考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．
6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底（A与D不重合），则直线AD必是__________的垂直平分线．
【答案】BC
【分析】根据题意作图，再由“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”及“两点确定一条直线”即可解答．
【详解】如图，根据题意得AB＝AC，DB＝DC，
∴点A、D都在BC的垂直平分线上．
∵两点确定一条直线，
∴直线AD是BC的垂直平分线．
故答案为：BC．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线性质的逆定理及直线的公理，属基础题．
7．（2017·上海·八年级期末）如图ABC中，ABAC6，AC的垂直平分线DE交于E，如果EBC的周长为10，那么ABC的周长为________．
【答案】16
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，等量代换可得的长，由可求得ABC的周长.
【详解】解：∵为线段的垂直平分线
∴
∵的周长为10
∴
故答案为：16.
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，灵活利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键.
8．（2019·上海松江·八年级期末）如图，已知中，，，垂直平分，点为垂足，交于点．那么的周长为__________．
【答案】8
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，再根据AB=AC即可得出AC的长，进而得出结论．
【详解】的垂直平分线交于点，垂足为点，
，
，
，，，
的周长．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
9．（2019·上海市梅陇中学八年级期中）如果，等腰△ABC中，AB=5，BC=4，边AB的垂直平分线交边AC于点E，那么△BCE的周长等于____
【答案】9
【分析】首先根据线段垂直平分线的性质得出AE=EB，然后根据等腰三角形的性质，得出AB=AC=5，进行等量转换，即可得出周长.
【详解】∵DE为AB的线段垂直平分线
∴AE=EB
又∵等腰△ABC中，AB=5，BC=4，
∴AB=AC=5，
∴△BCE的周长是BE+EC+BC=AC+BC=5+4=9
故答案为9.
【点睛】此题主要考查等腰三角形以及线段垂直平分线的性质，熟练运用，即可解题.
10．（2022·上海·八年级专题练习）如图，小明画线段AB的垂直平分线l，垂足为点C，然后以点B为圆心，线段AB为半径画弧，与直线l相交于点D，连接BD，那么∠CDB的度数是 _____．
【答案】30°##30度
【分析】连接AD，由线段垂直平分线性的性质结合作图可证明△ABD为等边三角形，即可得∠B＝60°，进而可求出∠CDB的度数．
【详解】解：如图，连接AD，
∵CD垂直平分AB，
∴AD＝BD，∠BCD＝90°．
∵BA＝BD，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠CDB＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理．证明△ABD为等边三角形是解题的关键．
11．（2022·上海·八年级单元测试）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的中垂线，点D在AB上，点E在AC上，若△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，那么AC的长度为_____cm．
【答案】9
【分析】根据垂直平分线性质，得到EB＝EA，利用三角形周长进行线段的等量代换求解即可．
【详解】解：∵DE是AB的中垂线，
∴EB＝EA，
∵△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，
即EB+EC+BC＝16，EA+EC+BC＝16，BC+AC＝16，
∴AC＝25﹣（AB+BC）＝25﹣16＝9．
故答案为9．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，熟悉掌握垂直平分线的定义进行线段的等量代换是解题的关键．
12．（2017·上海市廊下中学八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，边AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为点O，连接BD，则∠DBC的度数为_____°．
【答案】30
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝70°，再根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则∠DBA＝∠A＝40°，然后计算∠ABC﹣∠DBA即可．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵OD垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°．
故答案为30．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
13．（2020·上海市松江区民办茸一中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠DAE=36°，点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，那么∠BAC=_____．
【答案】108°
【分析】根据线段的垂直平分线得出AD＝BD，AE＝CE，推出∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，根据三角形的内角和定理得出2（∠BAD＋∠CAE）+∠DAE=180°，求出∠BAD＋∠CAE的度数，即可得到答案．
【详解】解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∠DAE+∠BAD+∠CAE+∠B＋∠C=180°，∠DAE=36°，
即2（∠BAD＋∠CAE）+∠DAE=180°
∴∠BAD＋∠CAE＝72°，
∴∠BAC=∠DAE+∠BAD＋∠CAE＝72°+36°=108°，
故答案为：108°．
【点睛】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上．
【答案】线段AB的垂直平分线
【分析】和一条线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，据此作答即可．
【详解】因为PA=PB=3cm，
所以P点一定在线段AB的垂直平分线上．
故答案为：线段AB的垂直平分线．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，熟记到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
15．（2020·上海浦东新·八年级期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝48°，则∠ABC的度数为＝_____．
【答案】48°
【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC＝∠ABD，再根据线段垂直平分线的性质可得BF＝CF，进而可得∠FCE＝24°，然后可算出∠ABC的度数．
【详解】∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＋∠ACB＝120°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF＝CF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠ABC＝2∠FCE，
∵∠ACF＝48°，
∴3∠FCE＝120° 48°＝72°，
∴∠FCE＝24°，
∴∠ABC＝48°，
故答案为：48°.
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
三、解答题
16．（2019·上海市梅陇中学八年级期中）已知：如图，在中，，边的垂直平分线与分别交于点D和点E．
（1）作出边的垂直平分线（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）如图所示，见解析；（2）．
【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出即可；
（2）连接CE，利用垂直平分线的性质证明出，再通过计算∠ACB的角度得出∠A的度数．
【详解】（1）如图所示，即为所求作的边的垂直平分线；
（2）如图，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
在中，，
∴，
解得，
即．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形等边对等角，以及三角形内角之间的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
17．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）如图，在△ABE中，AD⊥BE于点D，C是BE上一点，BD＝DC，且点C在AE的垂直平分线上，若△ABC的周长为18 cm，求DE的长．
【答案】9 cm．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CA=CE，AB=AC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵点C在AE的垂直平分线上，
∴CA=CE，
∵AD⊥BE，BD=DC，
∴AB=AC，
∵△ABC的周长为18，
∴AB+BC+AC=18，
∴2AC+2DC=18，
∴AC+DC=9，
∴DE=DC+CE=AC+CD=9（cm）．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图，在△ABC，AB=AC，BC==8cm，DE垂直平分AB，若△BCD的周长为24cm，求：AB的长．
【答案】16 cm
【分析】由线段垂直平分线的性质可确定DA=DB，由△BCD的周长为24cm，可得BD+DC+BC=24 cm，可转化为DA+DC+BC=24 cm，进而可得AC+BC=24 cm，故AC=16 cm，由等腰三角形可确定AC的长度．
【详解】∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∵若△BCD的周长为24cm，
∴BD+DC+BC=24 cm，
∴DA+DC+BC=24 cm，
即AC+BC=24 cm，
∵BC=8cm，
∴AC=16 cm，
∵AB=AC，
∴AB=16 cm．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长表示，熟练掌握线段垂直平分线的性质确定相等的线段是解题的关键．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·上海·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝，则∠EAN的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质，EA＝EB，NA＝NC，则∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，从而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，即可得解．
【详解】解：∵∠BAC＝ ，
∴∠B+∠C＝ ，
∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，
∴EA＝EB，NA＝NC，
∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，
∴∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，
＝
＝．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，角的和差关系，能得到求∠EAN的关系式是关键．
2．（2022·上海·八年级期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于三角形的任何一个内角
B．线段的垂直平分线上的任一点与该线段两个端点能构成等腰三角形
C．三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等
D．面积都相等的两个三角形一定全等
【答案】C
【分析】A、B、D均可举反例说明错误，C选项可构造图形证明．
【详解】解：A.钝角三角形与钝角相邻的外角小于该角，原命题是假命题，故该选项不符合题意；
B.如果该点在线段上，那么不能构成等腰三角形，原命题是假命题，故该选项不符合题意；
C.当该中线为等腰三角形底边上的中线时，根据三线合一即可得出这两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等，
当三角形不是等腰三角形或中线不是等腰三角形底边上的中线时，
如图所示，AD为△ABC的中线，BF⊥AD，CE⊥AD，
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BFD=∠CED=90°，
∵∠ADB=∠EDC，
∴△BDF≌△CDE（AAS），
∴BF=CE，
综上，三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等，原命题是真命题，故该选项符合题意；
D.如果是一个钝角三角形和锐角三角形，某边相等且该边上的高相等，但它们不全等，原命题是假命题，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查判断命题的真假，主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质．说明一个命题是假命题只需要举一个反例，判断一个命题是真命题需要证明它．
3．（2022·上海·八年级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，DE垂直平分AC边，垂足为点E，若∠B＝70°，且AB+BD＝BC，则∠BAC的度数是（ ）
A．40° B．65° C．70° D．75°
【答案】D
【分析】连接AD，根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD，推出AB=AD，根据等腰三角形的性质得到∠ADB=∠B=70°，最后根据三角形的内角和即可得到结论．
【详解】连接AD，
∵DE垂直平分AC边，∴AD＝CD，
∵BC＝BD+CD＝AB+BD，
∴AB＝CD，∴AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝70°，∴∠CADB＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝75°，
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4．（2022·上海·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．的周长为，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE=BE，
∵△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13，△ABC的周长=AC+BC+AB=19，
∴AB=△ABC的周长-△ACE的周长=19-13=6，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
二、填空题
5．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为______度．
【答案】
【分析】连接、；构造等腰和等腰，通过等边对等角求解即可．
【详解】解：如图，连接、；
∵平分，，
∴，点在线段的垂直平分线上；
∴
∵垂直平分
∴
∴
∴
由轴对称的性质可知：垂直平分；
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形三线合一的性质、线段中垂线的性质；熟练运用中垂线的性质转化线段是解题的关键．
6．（2022·上海·八年级专题练习）如图，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAF＝_____度．
【答案】40
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝70°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，进而求出∠DAB+∠FAC，结合图形计算即可．
【详解】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
同理可得：∠FAC＝∠C，
∴∠DAB+∠FAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠DAF＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：40．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．（2022·上海·八年级期末）如图，垂直平分，垂直平分，若，则__________°．
【答案】
【分析】先由已知求出∠B+∠C=70°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，则有∠BAD+∠CAE=70°，进而求得∠DAE的度数．
【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，
∵垂直平分，垂直平分，
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=70°，
∴∠ADE=∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）=110°﹣70°=40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和等理，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质是解答的关键．
8．（2022·上海·八年级专题练习）如图，中，已知，DE是AB的垂直平分线，若，那么=_________度.
【答案】54°.
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得DA=DB，进而得∠B=∠DAB，再设∠DAC=x，利用三角形的内角和定理即可求出x的值，进一步即可求出答案.
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，
∵，∴设∠DAC=x，则∠B=∠DAB=2x，
∵，∴x+2x+2x=90°，解得：x=18°，
∴=3x=54°.
故答案为54°.
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，属于基础题型，熟练掌握相关图形的性质是关键.
9．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）在△ABC 中，∠BAC=θ．边 AB 的垂直平分线交边 BC 于点 D，边 AC的垂直平分线交边BC于点 E，连结 AD，AE，则∠DAE 的度数为_____．（用含θ 的代数式表示）
【答案】2θ-180°或180°
【分析】分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°，再根据角的和差关系进行计算即可．
【详解】解：分两种情况：
如图所示，当∠BAC≥90°时，
∵DM垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
同理可得，∠C=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°，
∴∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=（180°）=180°；
②如图所示，当∠BAC＜90°时，
∵DM垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
同理可得，∠C=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°，
∴∠DAE=∠BAD+∠CAE-∠BAC=180°=180°．
故答案为：180°或180°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
三、解答题
10．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AE＝BE，AD与BE相交于点F．
(1)请说明△AEF≌△BEC的理由．
(2)如果AF＝2BD，试说明AD平分∠BAC的理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据∠DAC+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°，推出∠DAC＝∠EBC，即可证明△AEF≌△BEC；
（2）根据AF＝BC，AF＝2BD，推出D是BC的中点，利用垂直平分线上的点到线段两端距离相等推出AB＝AC，利用等腰三角形三线合一的性质即可求证AD平分∠BAC．
（1）
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°
∴∠DAC+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°
∴∠DAC＝90°﹣∠C，∠EBC＝90°﹣∠C
∴∠DAC＝∠EBC，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（ASA）；
（2）
解：由（1）知，AF＝BC，
∵AF＝2BD，
∴BC＝2BD，
∴D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AD⊥BC，
∴AB=AC
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∴AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、等腰三角形三线合一的性质等知识点，熟练掌握这些知识点是解答本题的关键．
11．（2022·上海·八年级期末）作图题：在等边ABC所在平面上找这样一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P．
【答案】作图见解析
【分析】分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直 平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；还有一点是三边的垂直平分线的交点，即可求解.
【详解】解：分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；
以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直 平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；
还有一点是三边的垂直平分线的交点，
∴一共有10个点；
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
12．（2022·上海·同济大学附属七一中学八年级期中）如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．
（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；
（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；
（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．
【答案】（1）证明见解析；（2）CD=2CE；（3）当点M 在线段BC 上时，CD=BN+CE ； 当点M 在BC 的延长线上时，CD=BN-CE ； 当点M 在CB 的延长线上时，CD=CE-BN
【分析】（1）连接ND，先由已知条件证明：DN=DC，再证明BN=DN即可；
（2）当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，过点C作CN'⊥AO交AB于N'．过点C作CG∥AB交直线l于G，再证明△BNM≌△CGM问题得证；
（3）BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M在线段BC上时；②当点M在BC的延长线上时；③当点M在CB的延长线上时．
【详解】（1）证明：连接ND ，
∵AO 平分∠BAC ， ∴∠1= ∠2 ，
∵直线l ⊥AO 于H ， ∴∠4= ∠5=90 °，
∴∠6= ∠7 ， ∴AN=AC ，
∴NH=CH ， ∴AH 是线段NC 的垂直平分线，
∴DN=DC ，∴∠8= ∠9 ，∴∠AND= ∠ACB ，
∵∠AND= ∠B+ ∠3 ，∠ACB=2 ∠B ，
∴∠B= ∠3 ， ∴BN=DN ，
∴BN=DC ；
（2 ）如图，当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为CD=2CE.
证明：过点C 作CN' ⊥AO 交AB 于N' ，
由（1 ）可得BN'=CD ，AN'=AC ，AN=AE ，
∴∠4= ∠3 ，NN'=CE ，
过点C 作CG ∥AB 交直线l 于G ，
∴∠4= ∠2 ，∠B= ∠1 ，
∴∠2= ∠3 ，
∴CG=CE ，
∵M 是BC 中点，
∴BM=CM ，
在△BNM 和△CGM 中
，
∴△BNM ≌△CGM ，
∴BN=CG ，
∴BN=CE ，
∴CD=BN'=NN'+BN=2CE ；
（3 ）BN 、CE 、CD 之间的等量关系：
当点M 在线段BC 上时，CD=BN+CE ；
当点M 在BC 的延长线上时，CD=BN-CE ；
当点M 在CB 的延长线上时，CD=CE-BN