19.5.1 角的平分线同步练习题（含解析）

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19.5角的平分线（第1课时）（原卷版）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高线交点 C．三边垂直平分线交点 D．三个内角平分线交点
2．（2021·上海·八年级专题练习）三角形中，到三边距离相等的点是（ ）
A．三条高线所在直线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
3．（2022·上海·八年级专题练习）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．的三条中线的交点
B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
4．（2022·上海·八年级单元测试）如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，若PR＝PS，则下列结论正确的个数是（　　）
（1）PQ＝PB； （2）AS＝AR；（3）△BRP≌△PSC （4）∠C＝∠SPC
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022·上海·八年级开学考试）下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．对顶角相等
C．在一个三角形中，相等的角所对的边也相等
D．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
6．（2022·上海·八年级单元测试）如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为（　　）
A．20° B．140° C．40°或140° D．20°或140°
7．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， =15，DE=3，AB=6，则AC长是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
8．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC=84°，三条角平分线交于点O，D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，则∠BCA的度数为____________．
9．（2021·上海·八年级期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD=8，则BC的长为_____________．
10．（2022·上海·八年级专题练面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 _____．
11．（2022·上海·八年级单元测试）在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作，分别交AB、AC于点E、F．若AB＝5，AC＝4，那么△AEF的周长为__．
12．（2021·上海·八年级专题练习）如图，已知在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于___________．
13．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，已知OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，根据角平分线的性质，则有___________； 反之如果PM=PN，且___________，那么OP平分∠AOB．
14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知点是的角平分线上的点，,如果，那么点到的距离是_______．
三、解答题
15．（2022·上海·八年级专题练习）如图，平分，且，求证：为等腰三角形.
16．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，，、分别平分、，、交于点．求证：．
17．（2022·上海·八年级专题练习）已知：、相交于，、分别平分、．求证：．
18．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．
（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED．
19．（2022·上海·八年级单元测试）尺规作图．如图，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．（不写画图过程，保留作图痕迹）
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·上海·八年级专题练习）如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5.5
2．（2022·上海·八年级期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ；
B．每个命题都有逆命题；
C．每个定理都有逆定理；
D．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
3．（2020·上海市金山区教育局八年级期末）已知△ABC内一点M,如果点M到两边AB、BC的距离相等,那么点M( )
A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上
C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上
4．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，为的外角平分线上一点，过作于，交的延长线于，且满足，则下列结论：①≌；②；③；④．其中正确的结论有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
5．（2022·上海·八年级专题练习）如图，AD是ABC的角平分线，若ABC的面积是48，且AC＝16，AB＝8，则点D到AB的距离是______．
6．（2022·上海浦东新·八年级期末）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则______．
7．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，如果CD＝1，那么BD＝_____．
8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在Rt中,∠C=90°,∠A的平分线交BC于点D,且BC=8,BD=5,那么点D到AB的距离是_____
三、解答题
9．（2019·上海市风华初级中学八年级阶段练习）四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠CBE=180°，求证：2AE=AB+AD．
10．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AC=6，BC=10．
(1)用尺规在AB边上求作点P，使点P到∠ACB两边的距离相等；
（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论）
(2)如果△ACP的面积为15，那么△BCP的面积是多少．
11．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB中点，ED∥BC，且与∠ABC的平分线BD交于点D，联结AD．
(1)求证：AD⊥BD；
(2)记BD与AC的交点为F，求证：BF＝2AD．
12．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图：已知 BAC=30°，AT平分BAC，TE∥AC．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，垂足为点D，AE=4cm，求TD的长．
13．（2022·上海·八年级专题练习）如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90 ，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.求证：AB=AC+CD．
14．（2022·上海·八年级专题练习）已知，如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E是CD的中点.
（1）求证：AB=AD＋BC
（2）求证：AE⊥BE
15．（2022·上海·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．

（1）求证：AD为∠BDC的平分线；
（2）若∠DAE=∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系_______
19.5角的平分线（第1课时）（解析版）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高线交点 C．三边垂直平分线交点 D．三个内角平分线交点
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，即可求解．
【详解】解：在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是三个内角平分线交点，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
2．（2021·上海·八年级专题练习）三角形中，到三边距离相等的点是（ ）
A．三条高线所在直线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】利用角平分线的性质可确定三角形中到三边距离相等的点满足的条件．
【详解】解：三角形三个内角的平分线的交点到三角形三边的距离相等．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．掌握角平分线的性质是解题的关键．
3．（2022·上海·八年级专题练习）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．的三条中线的交点
B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
【答案】C
【分析】根据题意，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以要选角平分线的交点．
【详解】∵要使凉亭到草坪三边的距离相等，
∴凉亭应在三条角平分线的交点处．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，需要注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别．
4．（2022·上海·八年级单元测试）如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，若PR＝PS，则下列结论正确的个数是（　　）
（1）PQ＝PB； （2）AS＝AR；（3）△BRP≌△PSC （4）∠C＝∠SPC
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，由直角三角形全等的判定方法得出Rt△ARP≌Rt△ASP，从而判断出（2）正确；根据由一组边相等和一组角相等无法判断△BRP≌△PSC，从而判断出（3）错误；同（3）也无法判断△BRP≌△PSQ，所以PQ≠PB，从而判断出（1）错误；△PSC是直角三角形，不一定是等腰直角三角形，所以∠C与∠SPC不一定相等，从而判断出（4）错误.
【详解】连接AP，
∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP＝∠ASP＝90°，
∴∠SAP＝∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP，（HL），
∴AR＝AS，∴（2）正确；
∵PR＝PS，∠PRB＝∠PSC＝90°，
∴无法判断△BRP≌△PSC，故（3）错误；
∵∠PRB＝∠PSQ＝90°，PR＝PS，
无法判断△BRP≌△PSQ，
∴PQ≠PB，故（1）错误；
∵△PSC是直角三角形，不一定是等腰直角三角形，
∴∠C与∠SPC不一定相等，故（4）错误；
故选A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质, 角平分线的性质.
5．（2022·上海·八年级开学考试）下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．对顶角相等
C．在一个三角形中，相等的角所对的边也相等
D．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
【答案】B
【分析】根据平行线、对顶角、等腰三角形的性质， 角平分线的判定定理逐项判断即可求解．
【详解】解：A、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等的逆命题是相等的两个角是对顶角，逆命题是假命题，符合题意；
C、在一个三角形中，相等的角所对的边也相等的逆命题是在一个三角形中，相等的边所对的角也相等，逆命题是真命题，不符合题意；
D、到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题是角的平分线上的点到角的两边距离相等，逆命题是真命题，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了平行线、对顶角、等腰三角形的性质， 角平分线的判定定理，真假命题，命题的逆定理，熟练掌握平行线、对顶角、等腰三角形的性质， 角平分线的判定定理，真假命题，命题的逆定理是解题的关键．
6．（2022·上海·八年级单元测试）如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为（　　）
A．20° B．140° C．40°或140° D．20°或140°
【答案】C
【分析】如图，证明∠DFB=∠DEB，此为解决问题的关键性结论；求出∠DEB=130°，即可解决问题．
【详解】过点作，
如图,DF=DF′=DE；
∵BD平分∠ABC，
,
,
△BDE≌△BDF，
∴∠DFB=∠DEB；
∵DE∥AB,∠ABC=40°，
∴∠DEB=180° 40°=140°；
∴∠DFB=140°；
当点F位于点F′处时，
∵DF=DF′，
∴∠DF′B=∠DFF′=40°.
故选：C
【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的判定与性质．
7．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， =15，DE=3，AB=6，则AC长是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC边上的高，再由S△ABD+S△ACD=S△ABC，即可得解．
【详解】解：作DF⊥AC于F，如图：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=3，
∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，
∴，
∴AC=4．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
二、填空题
8．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC=84°，三条角平分线交于点O，D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，则∠BCA的度数为____________．
【答案】54°
【分析】由角平分线的定义得∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠DCO，边角边证明△BCO≌△DCO，其性质求得∠CBO＝∠D；等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理求得∠BCA的度数为54°．
【详解】解：∵AO、BO、CO是△ABC三个内角的平分线，
∴∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠DCO，
在△BCO和△DCO中，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CBO＝∠D，
又∵∠BAC＝84°，
∴∠CAO＝∠BAC＝×84°＝42°，
又∵AD＝AO，
∴∠D＝∠AOD，
又∵∠CAO＝∠D＋∠AOD，
∴∠D＝∠CAO＝×42°＝21°，
∴∠CBO＝21°，
∴∠CBA＝42°，
又∵∠BAC＋∠ABC＋∠BCA＝180°，
∴∠BCA＝180° 84° 42°＝54°，
故答案为：54°．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质．
9．（2021·上海·八年级期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD=8，则BC的长为_____________．
【答案】16
【分析】延长AB交CD的延长线于点E，由题意易得CD=DE，进而可证CE=CB，然后进行求解即可．
【详解】解：延长AB交CD的延长线于点E，如图所示：
∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，
∴∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC=90°，
∵AD=AD，
∴△ADE≌△ADC，
∴∠E=∠ACD，ED=DC，
又∵∠ABC+∠ACD=180°，∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠E=∠ACD=∠EBC，
∴BC=EC=2DC，
∵DC=8，
∴BC=EC=16；
故答案为16．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
10．（2022·上海·八年级专题练面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 _____．
【答案】角平分线
【分析】根据角平分线的判定可知．
【详解】解：根据角平分线的判定可知：平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线，
故答案为：角平分线．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，解题关键是明确在角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
11．（2022·上海·八年级单元测试）在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作，分别交AB、AC于点E、F．若AB＝5，AC＝4，那么△AEF的周长为__．
【答案】9
【分析】根据角平分线的性质，可得∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，根据平行线的性质，可得∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，进而可知∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO，由等角对等边得EO＝BE，OF＝FC，然后计算三角形的周长即可．
【详解】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，
∵，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∴∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO，
∴EO＝BE，OF＝FC，
∴的周长为，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边．解题的关键在于明确EO＝BE，OF＝FC．
12．（2021·上海·八年级专题练习）如图，已知在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于___________．
【答案】5
【分析】过作于点，由角平分线的性质可求得，则可求得的面积．
【详解】解：过作于点，
是边上的高，平分，
，
，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
13．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，已知OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，根据角平分线的性质，则有___________； 反之如果PM=PN，且___________，那么OP平分∠AOB．
【答案】 PM=PN PM⊥OA，PN⊥OB
【分析】依据角平分线的定理和逆定理可知．
【详解】解：OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，
反之
PM=PN，且PM⊥OA，PN⊥OB，
OP平分∠AOB
故答案为：PM=PN；PM⊥OA，PN⊥OB
【点睛】本题考查角平分线性质及其逆定理、全等三角形的判定与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知点是的角平分线上的点，,如果，那么点到的距离是_______．
【答案】5
【分析】根据角平分线的性质计算即可；
【详解】解析：依据角平分线上的点到角的两边的距离相等这个定理就可知那么点到的距离是5；
故答案是5．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，准确计算是解题的关键．
三、解答题
15．（2022·上海·八年级专题练习）如图，平分，且，求证：为等腰三角形.
【答案】证明见解析
【分析】首先根据角平分线的性质得出，然后根据平行的性质，得出，，进而得出，即可得证.
【详解】∵平分，
∴，
∵
∴，．
∴．
∴为等腰三角形．
【点睛】此题主要考查平行线和角平分线的性质，熟练掌握，即可解题.
16．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，，、分别平分、，、交于点．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】首先根据两直线平行，同旁内角互补得出，然后根据角平分线的性质，得出，进而得出，，即可得证.
【详解】∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵、分别是平分、，
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】此题主要考查平行线以及角平分线的性质，熟练掌握，即可解题.
17．（2022·上海·八年级专题练习）已知：、相交于，、分别平分、．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】首先根据角平分线的性质，得出，，然后根据平角的性质列出等式，即可得证.
【详解】∵平分，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质应用,熟练掌握,即可解题.
18．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．
（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，根据角平分线性质求出PQ=PS=PT，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据ASA求出△AED≌△AEC即可．
【详解】解：证明：（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，
∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，
∴PQ=PT，PS=PT，
∴PQ=PS，
∴AP平分∠DAC，
即PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，
∴∠DAE=∠CAE，
∵CE⊥AP，
∴∠AED=∠AEC=90°，
在△AED和△AEC中，
，
∴△AED≌△AEC（ASA），
∴CE=ED．
【点睛】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS和△AED≌△AEC，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
19．（2022·上海·八年级单元测试）尺规作图．如图，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．（不写画图过程，保留作图痕迹）
【答案】作图详见解析.
【分析】因为点P满足PC=PD 所以点 P在线段CD的垂直平分线上， 又P到∠AOB两边的距离相等 ，所以点P在∠AOB或∠AOB补角的角平分线上.
【详解】解：根据题意作图，得
其中，点P和点P’即为所求
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·上海·八年级专题练习）如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5.5
【答案】A
【分析】根据三角形的面积得出DE的长，进而利用角平分线的性质解答即可．
【详解】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵△ABD的面积为9，AB=6，
∴DE=＝3，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴DE=3，
∴DP≥3，
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式．作出辅助线是正确解答本题的关键．
2．（2022·上海·八年级期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ；
B．每个命题都有逆命题；
C．每个定理都有逆定理；
D．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定，命题与定理及角平分线的判定等知识一一判断即可．
【详解】解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是正确；
B、每个命题都有逆命题，所以B选项正确；
C、每个定理不一定有逆定理，所以C选项错误；
D、在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，正确．
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，命题与定理以及角平分线的判定方法，熟练利用这些判定定理是解题关键．
3．（2020·上海市金山区教育局八年级期末）已知△ABC内一点M,如果点M到两边AB、BC的距离相等,那么点M( )
A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上
C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质推出M在∠ABC的角平分线上，即可得到答案．
【详解】∵由角平分线上点到角两边距离相等的性质，
∴点M应在∠ABC的平分线上．
故选C．
【点睛】本题主要考查对角平分线的性质的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的性质进行推理是解此题的关键．
4．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，为的外角平分线上一点，过作于，交的延长线于，且满足，则下列结论：①≌；②；③；④．其中正确的结论有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再证明，即可证明Rt△CDE和Rt△BDF全等；
根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，可得AE=AF，然后求出CE=AB+AE；
∠FDE与∠BAC都与∠FAE互补，可得∠FDE=∠BAC，于是可证；
利用外角定理得2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC +∠ACB，由Rt△CDE≌Rt△BDF可得∠ABD=∠DCE，BD=DC，故∠DBC=∠DCB，于是可证明∠DAF=∠CBD．
【详解】解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，=
∵，
∴，
在Rt△CDE和Rt△BDF中
，
∴Rt△CDE≌Rt△BDF，故①正确；
∴CE=BF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF，
∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正确；
∵=，
∴∠EDF+∠FAE=，
∵∠BAC+∠FAE=，
∴∠FDE=∠BAC，
∵∠FDE=∠BDC，
∴∠BDC =∠BAC，故③正确；
∵∠FAE是△ABC的外角，
∴2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC +∠ACB，
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠ABD=∠DCE，BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴2∠DAF=∠DCE +∠DBC +∠ACB=∠DBC +∠DCB=2∠DBC，
∴∠DAF=∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④共4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．
二、填空题
5．（2022·上海·八年级专题练习）如图，AD是ABC的角平分线，若ABC的面积是48，且AC＝16，AB＝8，则点D到AB的距离是______．
【答案】4
【分析】过点作于，于，如图，根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，然后求出即可．
【详解】解：过点作于，于，如图，
是的角平分线，
，
，
，
即，
，
即点到的距离为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了三角形面积．
6．（2022·上海浦东新·八年级期末）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则______．
【答案】26°##26度
【分析】根据题意过点作三边的垂线段，根据角平分线的性质可得，，进而判定是的角平分线，根据角平分线的定义即可求得
【详解】解：如图，过点作三边的垂线段，
三角形的两个外角和的平分线交于点E
在的角平分线上，即是的角平分线
故答案为：
【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，证明是的角平分线是解题的关键．
7．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，如果CD＝1，那么BD＝_____．
【答案】
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，再求出△BDE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍解答．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝1，
∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴∠B＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD＝DE＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的直角边与斜边的关系．
8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在Rt中,∠C=90°,∠A的平分线交BC于点D,且BC=8,BD=5,那么点D到AB的距离是_____
【答案】3
【分析】作DE⊥AB于E点,根据角平分线的性质,即可证得DE=CD,即可求解．
【详解】解：如图,作DE⊥AB于E点．
∵∠A的平分线交BC于点D, ∠C=90°, DE⊥AB,
∴DE=CD=3．
即点D到AB的距离等于3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理,正确证得DE=CD以及找到点D到AB的距离是关键．
三、解答题
9．（2019·上海市风华初级中学八年级阶段练习）四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠CBE=180°，求证：2AE=AB+AD．
【答案】见解析
【分析】过C作CF⊥AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF=CE．再由条件∠ADC+∠CBE=180°，证△CDF≌△CEB，由全等的性质可得DF=EB，再由线段和差可得.
【详解】证明：过C作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC=∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠DFC=∠CEB=∠CEA=90°，
∵AC=AC
∴△AFC≌△AEC，
∴AF=AE，CF=CE，
∵∠ADC+∠CBE=180°，∠ADC+∠FDC=180°
∴∠FDC=∠CBE，
∴△FDC≌△EBC，
∴DF=EB，
∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE，
∴2AE=AB+AD.
【点睛】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定和性质的应用，利用全等知识是解答此题的关键.
10．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AC=6，BC=10．
(1)用尺规在AB边上求作点P，使点P到∠ACB两边的距离相等；
（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论）
(2)如果△ACP的面积为15，那么△BCP的面积是多少．
【答案】(1)见解析
(2)25
【分析】（1）作∠ACB的角平分线与AB的交点即为点P；
（2）如图：过点P作PE⊥CA延长线于点E，PF⊥BC于点F，然后证得，最后代入计算即可．
（1）
解：如图：点P即为所求；
（2）
解：如图：过点P作PE⊥CA延长线于点E，PF⊥BC于点F
∵CP平分∠ACB，
∴PE=PF，
∴
∵=15
∴
∴=25．
【点睛】本题主要考查了作角平分线、角平分线的性质定理等知识点，解题的关键是灵活运用角平分线的性质．
11．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB中点，ED∥BC，且与∠ABC的平分线BD交于点D，联结AD．
(1)求证：AD⊥BD；
(2)记BD与AC的交点为F，求证：BF＝2AD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，可证；
（2）由“”可证，可得，由“”可证，可得．
（1）
解：证明：为中点，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）
解：延长，交于点，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加恰当辅助线构造全等三角形．
12．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图：已知 BAC=30°，AT平分BAC，TE∥AC．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，垂足为点D，AE=4cm，求TD的长．
【答案】（1）见解析；（2）2cm
【分析】（1）根据角平分线可得∠EAT=∠TAD,利用平行可得∠TAD=∠ETA,再利用等量代换即可得到∠EAT=∠ETA,进而证得是等腰三角形．
（2）AT平分BAC,依据角平分线定理可得DT=TF在RT△TFE中,ET=4cm,∠FET=30°,则TF=2cm,则TD=2cm．
【详解】解：（1）∵AT平分BAC．
∴∠EAT=∠TAD．
∵TE∥AC．
∴∠TAD=∠ETA．
∴∠EAT=∠ETA．
∴是等腰三角形．
（2）过点T作TFAB，垂足点F,
∵AT平分BAC，TFAB，．
∴据角平分线定理可得DT=TF．
∵在RT△TFE中，ET=4cm，∠FET=30°，则TF=2cm,
∴TD=2cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定,如何利用角平分线性质作出辅助线是解决此问题的关键．
13．（2022·上海·八年级专题练习）如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90 ，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.求证：AB=AC+CD．
【答案】见解析
【分析】根据已知AC=BC，∠C=90，可得出DE=EB，再利用AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，可证明△ACD≌△AED，然后利用全等三角形的对应边相等和等量代换即可证明AB=AC+CD．
【详解】证明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴∠ABC=45°，
又∵DE⊥AB，垂足为E，
∴∠B=∠EDB=45°，
∴DE=EB，
又∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
∵，
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE，CD=DE，
∴AB=AE+EB=AC+CD．
【点睛】此题考查学生对等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，证明此题的关键是证明△ACD≌△AED，此题难度不大，属于基础题．
14．（2022·上海·八年级专题练习）已知，如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E是CD的中点.
（1）求证：AB=AD＋BC
（2）求证：AE⊥BE
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】(1) 延长AE交BC的延长线于点F，根据角平分线和平行线的性质得到 ，然后等角对等边AB=BF ，再证明△FCE≌△ADE，进而等量代换求解；(2)由全等得出AE=EF，然后利用等腰三角形三线合一的性质，即可得结论；
【详解】解：如图：延长AE交BC的延长线于点F，
∵AE平分∠BAD
∴
∵E是DC中点
∴DE=CE
∵AD∥BC
∴
∴
∴AB=BF
又∵在△FCE和△ADE中，
∴△FCE≌△ADE，
∴AD=CF
∴AB=BF=BC+CF=BC+AD
即AB=AD＋BC
（2）由（1）可知△FCE≌△ADE
∴AE=FE
又∵BA=BF
∴根据等腰三角形三线合一的性质可知AE⊥BE.
【点睛】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，根据题意适当作出辅助线是解题关键.
15．（2022·上海·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．

（1）求证：AD为∠BDC的平分线；
（2）若∠DAE=∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系_______．
【答案】（1）见解析；（2）DE= B E+DC.
【分析】（1）过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，先证明∠BAG=∠CAF，然后证明△BAG≌△CAF得到AG=AF，最后由角平分线的判定定理即可得到结论；
（2）过A作∠CAH=∠BAE，证明△EAD≌△HAD，得到AE=AH，再证明△EAB≌△HAC中，即可得出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系.
【详解】证明:（1）如图1，过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，
∵AG⊥BD，AF⊥DC，
∴∠AGD=∠F=90°，
∴∠GAF+∠BDC=180°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠GAF=∠BAC，
∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC，
∴∠BAG=∠CAF，
在△BAG和△CAF中
∴△BAG≌△CAF（AAS），
∴AG=AF，
∴∠BDA=∠CDA，
（2）BE、DE、DC三条线段之间的等量关系是DE= B E+DC，理由如下：
如图2，过A作∠CAH=∠BAE交DC的延长线于H，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE=∠BAE+∠CAD，
∵∠CAH=∠BAE，
∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH，
在△EAD和△HAD中
，
∴△EAD≌△HAD（ASA），
∴DE=DH，AE=AH，
在△EAB和△HAC中
，
∴△EAB≌△HAC（SAS），
∴BE=CH，
∴DE=DH=DC+CH=DC+BE，
∴DE=DC+BE.
故答案是：DE=DC+BE.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理，线段和差的证明，掌握截长法和补短法是解答此题的突破口。