19.7 直角三角形全等的判定同步练习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 19.7 直角三角形全等的判定同步练习题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-27 11:57:39 | ||
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文档简介
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19.7直角三角形全等的判定（原卷版）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
2．（2022·上海·八年级专题练习）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等
C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等
3．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在和中，，，，则（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．（2022·上海浦东新·八年级期末）如图，在等腰中，，，BD平分，交AC于点D，，若cm，则的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
5．（2022·上海·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（ ）
①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．（2022·上海·八年级专题练习）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为_____．
7．（2022·上海·八年级期末）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在BC上DE⊥AB，点E为垂足，且DC=DE，连接AD，则∠ADB的大小为_____________．
三、解答题
8．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）已知：如图，在中，，为的外角平分线，交的延长线于点，且．求证：．
9．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）如图，在中，
(1)用直尺和圆规作的平分线，交边于点（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点）；
(2)如果在（1）条件下点是的中点，求证：．
10．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．
11．（2022·上海·八年级期末）如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且AB=CD，AC=CE，
求证：△ACE是直角三角形．
12．（2022·上海·八年级阶段练习）如图，四边形ABCD中，BC=CD，CB⊥AB于B，CD⊥AD于D
求证：AB=AD．
【能力提升】
一、单选题
1．（2021·上海·八年级专题练习）如图在Rt△ABC=90，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，AC=2，BC=4，那么下列结论中错误的是（ ）
A．∠ACD=∠B B．CM= C．∠B=30 D．CD=
2．（2022·上海·八年级期末）已知下列说法，其中结论正确的个数是（ ）
①等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题中，假命题是（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
B．三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等
C．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
D．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
4．（2022·上海·八年级单元测试）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
B．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
C．每个命题都有逆命题；
D．每个定理都有逆定理．
二、填空题
5．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=26，BD=24，M、N分别是AC、BD的中点，则线段MN的长为_____．
6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图：△ABC中，∠ACB＝90°，CD,CE,CF分别是中线，角平分线，高，则 和的大小关系：_________________
7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3cm，则它的腰长为______cm.
8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，已知D是直角三角形ABC中BC边的延长线上的一点，CD＝AC，∠ACB=60°，则BC∶CD= ______
9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边所成的锐角为角，那么这个直角三角形的较小的内角是________.
10．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）如图，点A为的平分线上一点，过A任意作一条直线分别与的两边相交于B、C，P为中点，过P作的垂线交射线于点D，若，则的度数为_度．
11．（2022·上海·八年级专题练习）如图，是的高，，，，则__．
三、解答题
12．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，，分别为垂足，的垂直平分线交于点，交于点，.
求证：（1）；（2）.
13．（2022·上海·八年级专题练习）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．
（1）求证：PM＝PN；
（2）联结MN，求证：PD是MN的垂直平分线．
14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD＝DC，DF，DE分别垂直于AB，AC，垂足分别为F，E；求证：BF＝CE
15．（2021·上海市莘光学校八年级期中）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转．
(1)当C转到AB边上点C′位置时，A转到A′，（如图1所示）直线CC′和AA′相交于点D，试判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)将Rt△ABC旋转至A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数．
16．（2021·上海民办行知二中实验学校八年级期中）如图，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝（x＞0）的图象于点A，C．
(1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标；
(2)若点B是y＝（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积．
(3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积．
17．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在△ABC中，
(1)用直尺和圆规分别作∠ACB的平分线、线段AB的中垂线、它们的交点M（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M）；
(2)过点M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：BE＝AF．
18．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．
(1)求证：CE=CDBE；
(2)如果CE=3BE，求的值．
19．（2022·上海·八年级专题练习）（1）已知，如图，在三角形中，AD是BC边上的高．尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔
（2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且，求证：．
20．（2022·上海·八年级单元测试）已知：如图，点是的边上的一点，过点作，，、为垂足，再过点作，交于点，且．
(1)求证：；
(2)当点是边的中点时，求证：．
21．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE.求证：∠AFC＝2∠ADC.
22．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）如图，在中，是的中点，，，于点，若，，求的长．
23．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，CE∥AB，AD平分∠EAB
(1)延长AD、CE相交于点F，求证:AB＝CE+AE
(2)当点E和点C重合时，试判断△ABC的形状，请画出图形，并说明理由.
19.7直角三角形全等的判定（解析版）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
【答案】D
【分析】根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；
B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；
C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；
D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
2．（2022·上海·八年级专题练习）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等
C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等
【答案】A
【分析】根据SAS，AAS，ASA，SSS，HL，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、两个锐角对应相等，没有边之间的关系，不能判定两个直角三角形全等，故A符合题意；
B、一个锐角和斜边对应相等，利用AAS可以判定两个直角三角形全等，故B不符合题意；
C、两条直角边对应相等，利用SAS可以判定两个直角三角形全等，故C不符合题意；
D、一条直角边和斜边对应相等，利用HL可以判定两个直角三角形全等，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
3．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在和中，，，，则（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【分析】由题意可证，有，由三角形内角和定理得，计算求解即可．
【详解】解：∵
∴△ABC和△ADC均为直角三角形
在和中
∵
∴
∴
∵
∴
故选D．
【点睛】本题考查了三角形全等，三角形的内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系．
4．（2022·上海浦东新·八年级期末）如图，在等腰中，，，BD平分，交AC于点D，，若cm，则的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
【答案】B
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，利用“HL”证明Rt△ABD和Rt△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=BE，然后求出△DEC的周长=BC，再根据BC=10cm，即可得出答案．
【详解】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，
∴，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
∵，
，
∴AB=BE，
∴△DEC的周长=DE+CD+CE
=AD+CD+CE，
=AC+CE，
=AB+CE，
=BE+CE，
=BC，
∵BC=10cm，
∴△DEC的周长是10cm．
故选：B．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出△DEC的周长=BC是解题的关键．
5．（2022·上海·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（ ）
①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据垂直的定义得到∠CDB=90°，根据余角的性质得到∠DCB=∠A，故①正确；根据直角三角形的性质得到AE=CE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACE，于是得到∠DCB=∠ACE，故②正确；同理得到∠ACD=∠BCE，故③正确；由于BC不一定等于BE，于是得到∠BCE不一定等于∠BEC，故④错误．
【详解】∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠DCB+B=90°，
∵∠A+∠B=90，
∴∠DCB=∠A，
∴①正确；
∵CE是RtABC斜边AB上的中线，
∴EA=EC=EB，
∴∠ACE=∠A，
∴∠DCB=∠A，
∴∠DCB=∠ACE，
∴②正确；
∵EC=EB，
∴∠B=∠BCE，
∵∠A+∠B=90，∠A+∠ACD=90，
∴∠B= ∠ACD，
∴∠ACD= ∠BCE，
∴③正确；
∵BC与BE不一定相等，
∴∠BCE 与∠BEC 不一定相等，
∴④不正确；
∴正确的个数为3个，
故答案为C.
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·上海·八年级专题练习）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为_____．
【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形
【分析】把原命题的题设与结论部分交换即可得到其逆命题．
【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查了命题与逆命题，解题的关键在于找出原命题的条件和结论．
7．（2022·上海·八年级期末）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在BC上DE⊥AB，点E为垂足，且DC=DE，连接AD，则∠ADB的大小为_____________．
【答案】112.5°
【分析】根据等腰直角三角形性质求∠CAB=∠B=，再证明Rt△ACD≌Rt△AED（HL），得出∠CAD=∠EAD=即可
【详解】解：∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠B=，
∵DE⊥AB
∴∠DEA=90°，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠CAD=∠EAD=，
∴∠ADB=180°-∠DAB-∠B=180°-22.5°-45°=112.5°．
故答案为：112.5°．
【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角平分线判定，三角形内角和，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角平分线判定，三角形内角和是解题关键．
三、解答题
8．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）已知：如图，在中，，为的外角平分线，交的延长线于点，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】作交的延长线于点；构造，通过转化线段得出结论；
【详解】证明：如图，作交的延长线于点；
∵
∴
∵为的外角平分线；
∴
在和中
∴
∴ ，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质；熟练运用角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键．
9．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）如图，在中，
(1)用直尺和圆规作的平分线，交边于点（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点）；
(2)如果在（1）条件下点是的中点，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据尺规作已知角的角平分线的作图方法进行作图即可；
（2）作交于点；作交于点；构造；即可得出结论；
【详解】（1）解：作图如下：
（2）证明：如图，作交于点；作交于点；
由（1）可知：平分
∴
∵点是的中点
∴
在和中
∴
∴
【点睛】本题考查了尺规作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
10．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．
【答案】见解析
【分析】证明即可证明BE＝CF．
【详解】证明：∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
，
∴，
∴BE＝CF．
【点睛】本题考查了HL证明三角形全等，以及全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
11．（2022·上海·八年级期末）如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且AB=CD，AC=CE，
求证：△ACE是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】先根据垂直的定义得到∠B=∠D=90°，再根据“HL”判断Rt△ABC≌Rt△CDE，得到∠1=∠3，由于∠2+∠3=90°，所以∠1+∠2=90°，则可利用平角的定义得到∠ACE=90°，于是可判断△ACE是直角三角形．
【详解】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△CDE中
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），
∴∠1=∠3，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠ACE=90°，
∴△ACE是直角三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
12．（2022·上海·八年级阶段练习）如图，四边形ABCD中，BC=CD，CB⊥AB于B，CD⊥AD于D
求证：AB=AD．
【答案】见解析
【分析】连接AC，证明Rt△ABC≌Rt△ADC，即可得到AB=AD．
【详解】解：证明：如图，连接AC，
∵CD⊥AD，CB⊥AB，
∴∠B=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴AB=AD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
【能力提升】
一、单选题
1．（2021·上海·八年级专题练习）如图在Rt△ABC=90，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，AC=2，BC=4，那么下列结论中错误的是（ ）
A．∠ACD=∠B B．CM= C．∠B=30 D．CD=
【答案】C
【分析】根据同角的余角相等判断A；根据勾股定理和直角三角形的性质判断B；根据三角形的面积公式计算，判断D．
【详解】∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°．
∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B，故A正确，不符合题意；
在Rt△ACB中，AB2．
∵∠ACB=90°，CM是斜边上的中线，∴CM，故B正确，不符合题意；
在Rt△ACB中，AB=2，AC=2，∴∠B≠30°，故C错误，符合题意；
2×42CD，解得：CD，故D正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
2．（2022·上海·八年级期末）已知下列说法，其中结论正确的个数是（ ）
①等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】分别根据等腰三角形三线合一的性质、等腰三角形的对称性、线段垂直平分线的性质、直角三角形全等的判定定理分别对各项进行判断即可．
【详解】解：①等腰三角形底边上的高就是这条边上的中线，故原说法错误；
②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线所在的直线，故原说法错误；
③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，只能说明这个点在这条线段的垂直平分线上，此说法错误；
④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等，正确．
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称的性质、轴对称图形、全等三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
3．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题中，假命题是（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
B．三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等
C．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
D．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
【答案】C
【分析】由线段的垂直平分线的性质可判断A，由三角形的角平分线的性质可判定B，由判定两个三角形全等可判断C，由判定两个直角三角形全等可判断D，从而可得答案.
【详解】解：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是真命题，故A不符合题意；
三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等，是真命题，故B不符合题意；
两腰对应相等的两个等腰三角形不一定全等，因为两腰的夹角不一定相等，故C符合题意；
如图，
则
一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，是真命题，故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握“判定命题真假的方法”是解本题的关键.
4．（2022·上海·八年级单元测试）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
B．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
C．每个命题都有逆命题；
D．每个定理都有逆定理．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定、角平分线的判定、命题和定理的定义判断即可．
【详解】A、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，是真命题；
B、根据角平分线的判定：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，是真命题；
C、每个命题都有逆命题，是真命题；
D、每个定理不一定都有逆定理，每个定理都有逆命题，而命题有真有假，故每个定理都有逆定理是假命题；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
二、填空题
5．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=26，BD=24，M、N分别是AC、BD的中点，则线段MN的长为_____．
【答案】5
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到BM=DM=13，根据等腰三角形的性质得到BN=12，根据勾股定理得到答案.
【详解】连接BM、DM，
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM=AC，DM=AC，
∴BM=DM=13，又N是BD的中点，
∴BN=DN=BD=12，
∴MN==5，
故答案为5.
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图：△ABC中，∠ACB＝90°，CD,CE,CF分别是中线，角平分线，高，则 和的大小关系：_________________
【答案】相等
【分析】根据角平分线的定义可得∠ACE=∠BCE，再根据高线的定义以及直角三角形的性质可得∠BCF=∠A，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，然后根据等边对等角的性质得到∠ACD=∠A，最后根据图形写出角的关系即可得证．
【详解】证明：∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE=∠BCE．
∵CF⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠BCF=∠A（同角的余角相等）．
∵CD是AB边上的中线，∠ACB=90°，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A（在同一个三角形中，等边对等角），
∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=∠ACE-∠A，
∠FCE=∠BCE-∠BCF=∠ACE-∠A，
∴∠DCE = FCE．
故答案为：相等．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，准确识图，理清图中角度之间的关系是解题的关键．
7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3cm，则它的腰长为______cm.
【答案】6
【分析】画出图形，可求得底角为30度，结合已知，由含30°的直角三角形的性质可求得腰的长．
【详解】如图，
AB=AC，AD⊥BC于点D，AD=3cm，∠BAC=120°，
∵∠BAC=120°，AB=AC
∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）÷2=30°
∵AD⊥BC
∴AB=3÷=6cm．
故填：6．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，求得30°的角是正确解题的关键．
8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，已知D是直角三角形ABC中BC边的延长线上的一点，CD＝AC，∠ACB=60°，则BC∶CD= ______
【答案】1:2
【分析】由条件可求得∠BAC =30°，在Rt△ABC中利用含30°角直角三角形的性质可求得AC=2BC的长，进而求出结果．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AC=2BC，
∵CD＝AC，
∴CD=2BC，
∴BC∶CD=1:2，
故答案为1:2．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，掌握在直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边所成的锐角为角，那么这个直角三角形的较小的内角是________.
【答案】25
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，证明得到，再利用外角性质求出，再得到，从而得解.
【详解】如图所示，
∵是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵斜边上的中线与斜边所成的锐角为，即，
∴，
解得：，
另一个锐角，
∴这个直角三角形的较小内角是.
故答案为：.
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和外角的性质，比较基础.
10．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）如图，点A为的平分线上一点，过A任意作一条直线分别与的两边相交于B、C，P为中点，过P作的垂线交射线于点D，若，则的度数为_度．
【答案】75
【分析】过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，求出∠EDF，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据线段垂直平分线性质求出BD＝CD，证Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB＝∠CDF，推出∠BDC＝∠EDF，即可得出答案．
【详解】如图：过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，
则∠DEB＝∠DFC＝∠DFO＝90°，
∵∠MON＝105°，
∴∠EDF＝360° 90° 90° 105°＝75°，
∵DE⊥OM，DF⊥ON，OD∠MON，
∴DE＝DF，
∵P为BC中点，DP⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠EDB＝∠CDF，
∴∠BDC＝∠BDF＋CDF＝∠BDF＋∠EDB＝∠EDF＝75°．
故答案为：75．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
11．（2022·上海·八年级专题练习）如图，是的高，，，，则__．
【答案】##20度
【分析】：证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质求出，计算即可．
【详解】解：是的高，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
三、解答题
12．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，，分别为垂足，的垂直平分线交于点，交于点，.
求证：（1）；（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据条件可以得出△ADF≌△FCB就可以得出∠DAF=∠CFB；
（2）根据∠DAF+DFA=90°可以得出∠AFB=90°，就可以得出△AFB是等腰直角三角形， 从而求解．
【详解】证明：（1）∵的垂直平分线交于点，交于点，
∴AF=BF，AE=BE．
∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴∠D=∠C=90°．
在Rt△ADF和Rt△FCB中 ，
∴△ADF≌△FCB（HL），
∴∠DAF=∠CFB；
（2）∵∠D=90°，
∴∠DAF+∠DFA=90°，
∴∠CFB+∠DFA=90°，
∴∠AFB=90°．
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，垂直平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键、
13．（2022·上海·八年级专题练习）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．
（1）求证：PM＝PN；
（2）联结MN，求证：PD是MN的垂直平分线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可得到答案；
（2）利用“HL”证明Rt△PDM≌Rt△PDN，根据全等三角形对应边相等可得DM＝DN，然后根据线段的垂直平分线性质定理的逆定理即可得到结论；
【详解】解：(1) ∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
,
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）在Rt△PDM和Rt△PDN中，
，
∴Rt△PDM≌Rt△PDN（HL），
∴DM＝DN，
∴D在MN的垂直平分线上，
∵PM＝PN，
∴P在MN的垂直平分线上，
∴PD是MN的垂直平分线．
【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB和DM=DN是解题的关键．
14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD＝DC，DF，DE分别垂直于AB，AC，垂足分别为F，E；求证：BF＝CE
【答案】证明见解析
【分析】根据角平分线的性质可得到DE=DF，再根据BD=DC，利用HL来判定Rt△DBF≌Rt△DCE，由全等三角形的性质即可得到BF＝CE．
【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE，DF分别垂直于AC，AB，
∴DE=DF，
在Rt△DBF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△DBF≌Rt△DCE（HL），
∴BF＝CE ．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，用到的知识点是角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，得到DE=DF是解题的关键．
15．（2021·上海市莘光学校八年级期中）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转．
(1)当C转到AB边上点C′位置时，A转到A′，（如图1所示）直线CC′和AA′相交于点D，试判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)将Rt△ABC旋转至A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数．
【答案】(1)，证明见解析
(2)成立，证明见解析
(3)
【分析】（1）设，先根据直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，，都是等边三角形，从而可得，由此即可得出结论；
（2）在上截取，连接，先根据旋转的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得出结论；
（3）如图（见解析），先根据旋转的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据旋转角即可得．
(1)
解：，证明如下：
设，
在中，，
，
由旋转的性质得：，
，和都是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
；
(2)
解：成立，证明如下：
如图，在上截取，连接，
由旋转的性质得：，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
；
(3)
解：如图，当点三点在一条直线上时，
由旋转的性质得：，
，
在和中，，
，
，
则旋转角．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
16．（2021·上海民办行知二中实验学校八年级期中）如图，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝（x＞0）的图象于点A，C．
(1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标；
(2)若点B是y＝（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积．
(3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由轴，轴，可得A、C的纵坐标和横坐标，代入即可得出点A、C的坐标；
（2）设，由（1）同理得，即可得出△ABC的面积；
（3）延长BC交x 轴于D点，利用角平分线的性质可得CD＝CB'，再证Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），得S△OCD＝S△OB'C，从而解决问题．
（1）
解：（1）∵轴，B（1，2），
∴当x＝1时，y＝1，
即C（1，1），
∵轴，
∴当y＝2时，x＝，
即；
（2）
解：当点B是（x＞0）的图象上任意一点时，
设，
由（1）同理得，
∴S△ABC＝AB×BC＝；
（3）
解：延长BC交x轴于D点，
∵轴，轴，则∠ABC＝90°，
∴∠CDO＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴CD⊥x轴，
∵将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，
∴∠CB'O＝∠ABC＝90°，
∴CB'⊥OA，
∵OC平分∠AOD，CD⊥x轴，CB'⊥OA，
∴CD＝CB'，
在Rt△OCD和Rt△OCB'中，
，
∴Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），
∴，
由（2）知，S△OCD＝，S△ABC＝，
∴四边形OABC的面积为．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，坐标与图形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练的运用反比例函数的性质是解本题的关键．
17．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在△ABC中，
(1)用直尺和圆规分别作∠ACB的平分线、线段AB的中垂线、它们的交点M（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M）；
(2)过点M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：BE＝AF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用尺规作出的角平分线，线段的中垂线即可；
（2）证明，可得．
（1）
解：如图，点即为所求；
（2）
解：证明：如图，连接，，
点在的垂直平分线上，
，
平分，，，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
18．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．
(1)求证：CE=CDBE；
(2)如果CE=3BE，求的值．
【答案】(1)证明见详解；
(2)=．
【分析】（1）过点A作AF⊥CD交CD延长线于F，先根据AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，得出AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，再证Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），得出BE=DF，然后证明Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）即可；
（2）先求出BC= 4BE， CD= 2BE,，然后S△ABC=，S△ADC=即可．
（1）
证明：过点A作AF⊥CD交CD延长线于F，
∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴CE=CF，
∴CE=CF=CD+DF=CD+BE；
（2）
解：BC=BE+EC=BE+3BE=4BE，
∴S△ABC=，
∴CD=CF-FD=CE-BE=3BE-BE=2BE，
∴S△ADC=，
∴=．
【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，三角形面积，线段和差倍分，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，三角形面积，线段和差倍分是解题关键．
19．（2022·上海·八年级专题练习）（1）已知，如图，在三角形中，AD是BC边上的高．尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔
（2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）直接运用“角平分线——尺规作图”的方法进行作图即可．
（2）过点E作EH⊥AB于H，将AB分成两部分，再证明ВH=BD，AH=CD，即可求证．
【详解】（1）∠ABC的角平分线如图所示：
（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，ED⊥ВC，
∴EH=ED，
∵BE=BE，
∴△BDE≌△BHE（HL），
∵ВH=BD，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
∴△BDE≌△ADC（HL），
∴DE=DC，
∴HE=CD，
∵AD=BD，∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°，
∵HE⊥AB，
∴∠HEA=∠HAE=45°，
∴HE=AH=CD，
∴BC=BD+CD=BH+AH=AB．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质及角平分线的尺规作图，掌握全等三角形的判定定理和正确作出辅助线是解题关键．
20．（2022·上海·八年级单元测试）已知：如图，点是的边上的一点，过点作，，、为垂足，再过点作，交于点，且．
(1)求证：；
(2)当点是边的中点时，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，先根据，且可知，再根据，即可得出，进而可得出，由等角对等边可知；
（2）先根据（1）中可知，由全等三角形的判定定理可得出，再根据全等三角形的性质可得出，，同理证明，得出，推出，由等腰三角形三线合一即可得出．
（1）
证明：连接．
，且，
，
又，
，
，
；
（2）
证明：由（1）可知，，
在与中，
，，，
，
，，
在与中，
，，，
，
，
，
又为的中点，
垂直平分．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定及性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
21．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE.求证：∠AFC＝2∠ADC.
【答案】证明见解析
【分析】根据HL证明Rt△ABD≌Rt△AED，得出∠BAD＝∠EAD再由AB∥CD可推出∠EAD＝∠ADC，最后根据外角的性质即可得出结论.
【详解】证明：在Rt△ABD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），
∴∠BAD＝∠EAD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADC，
∴∠EAD＝∠ADC，
∵∠AFC＝∠EAD+∠ADC，
∴∠AFC＝2∠ADC.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）如图，在中，是的中点，，，于点，若，，求的长．
【答案】
【分析】作，交的延长线于点；连接 、 ；构造和，通过全等三角形的性质转化线段求解即可；
【详解】解：如图，作，交的延长线于点；连接 、 ；
∵
∴
∵，
∴
∵是的中点，
∴
在和中
∴
∴
在和中
∴
∴
设 ,则 ，
∴
解得：
故
【点睛】本题考查了中垂线的性质，角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质；构造全等三角形转化线段是解题的关键．
23．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，CE∥AB，AD平分∠EAB
(1)延长AD、CE相交于点F，求证:AB＝CE+AE
(2)当点E和点C重合时，试判断△ABC的形状，请画出图形，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）等腰三角形，图形及理由见解析.
【分析】（1）先证明△ABD≌△FCD，然后利用平行及角平分线证明AE=EF，最后结合全等的性质即可证明结论；
（2）当点E和点C重合时，AD平分∠EAB即AD平分∠CAB，然后过点D向另外两边作垂线DM和DN，证三角形△BDM和△CDN全等，得到∠B=∠C，即可得到三角形形状.
【详解】（1）证明：∵点D是边BC的中点，
∴BD=CD，
∵CE∥AB，
∴∠BAD=∠F，
在△ABD和△FCD中，,
∴△ABD≌△FCD（AAS），
∴AB=CF，
∵AD平分∠EAB，
∴∠BAD=∠DAE，
∴∠F=∠DAE，
∴AE=EF，
∵CF=CE+EF，
∴AB=CE+AE；
（2）解：△ABC为等腰三角形，图形及理由如下：
过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，
∵AD平分∠EAB即AD平分∠CAB，且DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，∠DMB=∠DNC=90°，
∵点D是边BC的中点，
∴BD=CD，
在Rt△BDM和Rt△CDN中，，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形.
【点睛】本题为全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及角平分线性质的综合应用，熟练掌握各判定、性质是解题的关键。
19.7直角三角形全等的判定（原卷版）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
2．（2022·上海·八年级专题练习）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等
C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等
3．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在和中，，，，则（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．（2022·上海浦东新·八年级期末）如图，在等腰中，，，BD平分，交AC于点D，，若cm，则的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
5．（2022·上海·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（ ）
①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．（2022·上海·八年级专题练习）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为_____．
7．（2022·上海·八年级期末）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在BC上DE⊥AB，点E为垂足，且DC=DE，连接AD，则∠ADB的大小为_____________．
三、解答题
8．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）已知：如图，在中，，为的外角平分线，交的延长线于点，且．求证：．
9．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）如图，在中，
(1)用直尺和圆规作的平分线，交边于点（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点）；
(2)如果在（1）条件下点是的中点，求证：．
10．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．
11．（2022·上海·八年级期末）如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且AB=CD，AC=CE，
求证：△ACE是直角三角形．
12．（2022·上海·八年级阶段练习）如图，四边形ABCD中，BC=CD，CB⊥AB于B，CD⊥AD于D
求证：AB=AD．
【能力提升】
一、单选题
1．（2021·上海·八年级专题练习）如图在Rt△ABC=90，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，AC=2，BC=4，那么下列结论中错误的是（ ）
A．∠ACD=∠B B．CM= C．∠B=30 D．CD=
2．（2022·上海·八年级期末）已知下列说法，其中结论正确的个数是（ ）
①等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题中，假命题是（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
B．三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等
C．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
D．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
4．（2022·上海·八年级单元测试）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
B．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
C．每个命题都有逆命题；
D．每个定理都有逆定理．
二、填空题
5．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=26，BD=24，M、N分别是AC、BD的中点，则线段MN的长为_____．
6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图：△ABC中，∠ACB＝90°，CD,CE,CF分别是中线，角平分线，高，则 和的大小关系：_________________
7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3cm，则它的腰长为______cm.
8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，已知D是直角三角形ABC中BC边的延长线上的一点，CD＝AC，∠ACB=60°，则BC∶CD= ______
9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边所成的锐角为角，那么这个直角三角形的较小的内角是________.
10．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）如图，点A为的平分线上一点，过A任意作一条直线分别与的两边相交于B、C，P为中点，过P作的垂线交射线于点D，若，则的度数为_度．
11．（2022·上海·八年级专题练习）如图，是的高，，，，则__．
三、解答题
12．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，，分别为垂足，的垂直平分线交于点，交于点，.
求证：（1）；（2）.
13．（2022·上海·八年级专题练习）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．
（1）求证：PM＝PN；
（2）联结MN，求证：PD是MN的垂直平分线．
14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD＝DC，DF，DE分别垂直于AB，AC，垂足分别为F，E；求证：BF＝CE
15．（2021·上海市莘光学校八年级期中）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转．
(1)当C转到AB边上点C′位置时，A转到A′，（如图1所示）直线CC′和AA′相交于点D，试判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)将Rt△ABC旋转至A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数．
16．（2021·上海民办行知二中实验学校八年级期中）如图，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝（x＞0）的图象于点A，C．
(1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标；
(2)若点B是y＝（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积．
(3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积．
17．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在△ABC中，
(1)用直尺和圆规分别作∠ACB的平分线、线段AB的中垂线、它们的交点M（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M）；
(2)过点M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：BE＝AF．
18．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．
(1)求证：CE=CDBE；
(2)如果CE=3BE，求的值．
19．（2022·上海·八年级专题练习）（1）已知，如图，在三角形中，AD是BC边上的高．尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔
（2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且，求证：．
20．（2022·上海·八年级单元测试）已知：如图，点是的边上的一点，过点作，，、为垂足，再过点作，交于点，且．
(1)求证：；
(2)当点是边的中点时，求证：．
21．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE.求证：∠AFC＝2∠ADC.
22．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）如图，在中，是的中点，，，于点，若，，求的长．
23．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，CE∥AB，AD平分∠EAB
(1)延长AD、CE相交于点F，求证:AB＝CE+AE
(2)当点E和点C重合时，试判断△ABC的形状，请画出图形，并说明理由.
19.7直角三角形全等的判定（解析版）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
【答案】D
【分析】根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；
B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；
C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；
D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
2．（2022·上海·八年级专题练习）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等
C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等
【答案】A
【分析】根据SAS，AAS，ASA，SSS，HL，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、两个锐角对应相等，没有边之间的关系，不能判定两个直角三角形全等，故A符合题意；
B、一个锐角和斜边对应相等，利用AAS可以判定两个直角三角形全等，故B不符合题意；
C、两条直角边对应相等，利用SAS可以判定两个直角三角形全等，故C不符合题意；
D、一条直角边和斜边对应相等，利用HL可以判定两个直角三角形全等，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
3．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在和中，，，，则（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【分析】由题意可证，有，由三角形内角和定理得，计算求解即可．
【详解】解：∵
∴△ABC和△ADC均为直角三角形
在和中
∵
∴
∴
∵
∴
故选D．
【点睛】本题考查了三角形全等，三角形的内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系．
4．（2022·上海浦东新·八年级期末）如图，在等腰中，，，BD平分，交AC于点D，，若cm，则的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
【答案】B
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，利用“HL”证明Rt△ABD和Rt△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=BE，然后求出△DEC的周长=BC，再根据BC=10cm，即可得出答案．
【详解】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，
∴，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
∵，
，
∴AB=BE，
∴△DEC的周长=DE+CD+CE
=AD+CD+CE，
=AC+CE，
=AB+CE，
=BE+CE，
=BC，
∵BC=10cm，
∴△DEC的周长是10cm．
故选：B．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出△DEC的周长=BC是解题的关键．
5．（2022·上海·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（ ）
①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据垂直的定义得到∠CDB=90°，根据余角的性质得到∠DCB=∠A，故①正确；根据直角三角形的性质得到AE=CE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACE，于是得到∠DCB=∠ACE，故②正确；同理得到∠ACD=∠BCE，故③正确；由于BC不一定等于BE，于是得到∠BCE不一定等于∠BEC，故④错误．
【详解】∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠DCB+B=90°，
∵∠A+∠B=90，
∴∠DCB=∠A，
∴①正确；
∵CE是RtABC斜边AB上的中线，
∴EA=EC=EB，
∴∠ACE=∠A，
∴∠DCB=∠A，
∴∠DCB=∠ACE，
∴②正确；
∵EC=EB，
∴∠B=∠BCE，
∵∠A+∠B=90，∠A+∠ACD=90，
∴∠B= ∠ACD，
∴∠ACD= ∠BCE，
∴③正确；
∵BC与BE不一定相等，
∴∠BCE 与∠BEC 不一定相等，
∴④不正确；
∴正确的个数为3个，
故答案为C.
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·上海·八年级专题练习）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为_____．
【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形
【分析】把原命题的题设与结论部分交换即可得到其逆命题．
【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查了命题与逆命题，解题的关键在于找出原命题的条件和结论．
7．（2022·上海·八年级期末）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在BC上DE⊥AB，点E为垂足，且DC=DE，连接AD，则∠ADB的大小为_____________．
【答案】112.5°
【分析】根据等腰直角三角形性质求∠CAB=∠B=，再证明Rt△ACD≌Rt△AED（HL），得出∠CAD=∠EAD=即可
【详解】解：∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠B=，
∵DE⊥AB
∴∠DEA=90°，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠CAD=∠EAD=，
∴∠ADB=180°-∠DAB-∠B=180°-22.5°-45°=112.5°．
故答案为：112.5°．
【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角平分线判定，三角形内角和，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角平分线判定，三角形内角和是解题关键．
三、解答题
8．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）已知：如图，在中，，为的外角平分线，交的延长线于点，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】作交的延长线于点；构造，通过转化线段得出结论；
【详解】证明：如图，作交的延长线于点；
∵
∴
∵为的外角平分线；
∴
在和中
∴
∴ ，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质；熟练运用角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键．
9．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）如图，在中，
(1)用直尺和圆规作的平分线，交边于点（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点）；
(2)如果在（1）条件下点是的中点，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据尺规作已知角的角平分线的作图方法进行作图即可；
（2）作交于点；作交于点；构造；即可得出结论；
【详解】（1）解：作图如下：
（2）证明：如图，作交于点；作交于点；
由（1）可知：平分
∴
∵点是的中点
∴
在和中
∴
∴
【点睛】本题考查了尺规作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
10．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．
【答案】见解析
【分析】证明即可证明BE＝CF．
【详解】证明：∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
，
∴，
∴BE＝CF．
【点睛】本题考查了HL证明三角形全等，以及全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
11．（2022·上海·八年级期末）如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且AB=CD，AC=CE，
求证：△ACE是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】先根据垂直的定义得到∠B=∠D=90°，再根据“HL”判断Rt△ABC≌Rt△CDE，得到∠1=∠3，由于∠2+∠3=90°，所以∠1+∠2=90°，则可利用平角的定义得到∠ACE=90°，于是可判断△ACE是直角三角形．
【详解】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△CDE中
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），
∴∠1=∠3，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠ACE=90°，
∴△ACE是直角三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
12．（2022·上海·八年级阶段练习）如图，四边形ABCD中，BC=CD，CB⊥AB于B，CD⊥AD于D
求证：AB=AD．
【答案】见解析
【分析】连接AC，证明Rt△ABC≌Rt△ADC，即可得到AB=AD．
【详解】解：证明：如图，连接AC，
∵CD⊥AD，CB⊥AB，
∴∠B=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴AB=AD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
【能力提升】
一、单选题
1．（2021·上海·八年级专题练习）如图在Rt△ABC=90，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，AC=2，BC=4，那么下列结论中错误的是（ ）
A．∠ACD=∠B B．CM= C．∠B=30 D．CD=
【答案】C
【分析】根据同角的余角相等判断A；根据勾股定理和直角三角形的性质判断B；根据三角形的面积公式计算，判断D．
【详解】∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°．
∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B，故A正确，不符合题意；
在Rt△ACB中，AB2．
∵∠ACB=90°，CM是斜边上的中线，∴CM，故B正确，不符合题意；
在Rt△ACB中，AB=2，AC=2，∴∠B≠30°，故C错误，符合题意；
2×42CD，解得：CD，故D正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
2．（2022·上海·八年级期末）已知下列说法，其中结论正确的个数是（ ）
①等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】分别根据等腰三角形三线合一的性质、等腰三角形的对称性、线段垂直平分线的性质、直角三角形全等的判定定理分别对各项进行判断即可．
【详解】解：①等腰三角形底边上的高就是这条边上的中线，故原说法错误；
②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线所在的直线，故原说法错误；
③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，只能说明这个点在这条线段的垂直平分线上，此说法错误；
④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等，正确．
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称的性质、轴对称图形、全等三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
3．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题中，假命题是（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
B．三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等
C．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
D．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
【答案】C
【分析】由线段的垂直平分线的性质可判断A，由三角形的角平分线的性质可判定B，由判定两个三角形全等可判断C，由判定两个直角三角形全等可判断D，从而可得答案.
【详解】解：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是真命题，故A不符合题意；
三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等，是真命题，故B不符合题意；
两腰对应相等的两个等腰三角形不一定全等，因为两腰的夹角不一定相等，故C符合题意；
如图，
则
一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，是真命题，故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握“判定命题真假的方法”是解本题的关键.
4．（2022·上海·八年级单元测试）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
B．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
C．每个命题都有逆命题；
D．每个定理都有逆定理．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定、角平分线的判定、命题和定理的定义判断即可．
【详解】A、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，是真命题；
B、根据角平分线的判定：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，是真命题；
C、每个命题都有逆命题，是真命题；
D、每个定理不一定都有逆定理，每个定理都有逆命题，而命题有真有假，故每个定理都有逆定理是假命题；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
二、填空题
5．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=26，BD=24，M、N分别是AC、BD的中点，则线段MN的长为_____．
【答案】5
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到BM=DM=13，根据等腰三角形的性质得到BN=12，根据勾股定理得到答案.
【详解】连接BM、DM，
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM=AC，DM=AC，
∴BM=DM=13，又N是BD的中点，
∴BN=DN=BD=12，
∴MN==5，
故答案为5.
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图：△ABC中，∠ACB＝90°，CD,CE,CF分别是中线，角平分线，高，则 和的大小关系：_________________
【答案】相等
【分析】根据角平分线的定义可得∠ACE=∠BCE，再根据高线的定义以及直角三角形的性质可得∠BCF=∠A，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，然后根据等边对等角的性质得到∠ACD=∠A，最后根据图形写出角的关系即可得证．
【详解】证明：∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE=∠BCE．
∵CF⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠BCF=∠A（同角的余角相等）．
∵CD是AB边上的中线，∠ACB=90°，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A（在同一个三角形中，等边对等角），
∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=∠ACE-∠A，
∠FCE=∠BCE-∠BCF=∠ACE-∠A，
∴∠DCE = FCE．
故答案为：相等．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，准确识图，理清图中角度之间的关系是解题的关键．
7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3cm，则它的腰长为______cm.
【答案】6
【分析】画出图形，可求得底角为30度，结合已知，由含30°的直角三角形的性质可求得腰的长．
【详解】如图，
AB=AC，AD⊥BC于点D，AD=3cm，∠BAC=120°，
∵∠BAC=120°，AB=AC
∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）÷2=30°
∵AD⊥BC
∴AB=3÷=6cm．
故填：6．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，求得30°的角是正确解题的关键．
8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，已知D是直角三角形ABC中BC边的延长线上的一点，CD＝AC，∠ACB=60°，则BC∶CD= ______
【答案】1:2
【分析】由条件可求得∠BAC =30°，在Rt△ABC中利用含30°角直角三角形的性质可求得AC=2BC的长，进而求出结果．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AC=2BC，
∵CD＝AC，
∴CD=2BC，
∴BC∶CD=1:2，
故答案为1:2．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，掌握在直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边所成的锐角为角，那么这个直角三角形的较小的内角是________.
【答案】25
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，证明得到，再利用外角性质求出，再得到，从而得解.
【详解】如图所示，
∵是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵斜边上的中线与斜边所成的锐角为，即，
∴，
解得：，
另一个锐角，
∴这个直角三角形的较小内角是.
故答案为：.
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和外角的性质，比较基础.
10．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）如图，点A为的平分线上一点，过A任意作一条直线分别与的两边相交于B、C，P为中点，过P作的垂线交射线于点D，若，则的度数为_度．
【答案】75
【分析】过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，求出∠EDF，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据线段垂直平分线性质求出BD＝CD，证Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB＝∠CDF，推出∠BDC＝∠EDF，即可得出答案．
【详解】如图：过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，
则∠DEB＝∠DFC＝∠DFO＝90°，
∵∠MON＝105°，
∴∠EDF＝360° 90° 90° 105°＝75°，
∵DE⊥OM，DF⊥ON，OD∠MON，
∴DE＝DF，
∵P为BC中点，DP⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠EDB＝∠CDF，
∴∠BDC＝∠BDF＋CDF＝∠BDF＋∠EDB＝∠EDF＝75°．
故答案为：75．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
11．（2022·上海·八年级专题练习）如图，是的高，，，，则__．
【答案】##20度
【分析】：证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质求出，计算即可．
【详解】解：是的高，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
三、解答题
12．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，，分别为垂足，的垂直平分线交于点，交于点，.
求证：（1）；（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据条件可以得出△ADF≌△FCB就可以得出∠DAF=∠CFB；
（2）根据∠DAF+DFA=90°可以得出∠AFB=90°，就可以得出△AFB是等腰直角三角形， 从而求解．
【详解】证明：（1）∵的垂直平分线交于点，交于点，
∴AF=BF，AE=BE．
∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴∠D=∠C=90°．
在Rt△ADF和Rt△FCB中 ，
∴△ADF≌△FCB（HL），
∴∠DAF=∠CFB；
（2）∵∠D=90°，
∴∠DAF+∠DFA=90°，
∴∠CFB+∠DFA=90°，
∴∠AFB=90°．
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，垂直平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键、
13．（2022·上海·八年级专题练习）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．
（1）求证：PM＝PN；
（2）联结MN，求证：PD是MN的垂直平分线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可得到答案；
（2）利用“HL”证明Rt△PDM≌Rt△PDN，根据全等三角形对应边相等可得DM＝DN，然后根据线段的垂直平分线性质定理的逆定理即可得到结论；
【详解】解：(1) ∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
,
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）在Rt△PDM和Rt△PDN中，
，
∴Rt△PDM≌Rt△PDN（HL），
∴DM＝DN，
∴D在MN的垂直平分线上，
∵PM＝PN，
∴P在MN的垂直平分线上，
∴PD是MN的垂直平分线．
【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB和DM=DN是解题的关键．
14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD＝DC，DF，DE分别垂直于AB，AC，垂足分别为F，E；求证：BF＝CE
【答案】证明见解析
【分析】根据角平分线的性质可得到DE=DF，再根据BD=DC，利用HL来判定Rt△DBF≌Rt△DCE，由全等三角形的性质即可得到BF＝CE．
【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE，DF分别垂直于AC，AB，
∴DE=DF，
在Rt△DBF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△DBF≌Rt△DCE（HL），
∴BF＝CE ．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，用到的知识点是角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，得到DE=DF是解题的关键．
15．（2021·上海市莘光学校八年级期中）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转．
(1)当C转到AB边上点C′位置时，A转到A′，（如图1所示）直线CC′和AA′相交于点D，试判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)将Rt△ABC旋转至A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数．
【答案】(1)，证明见解析
(2)成立，证明见解析
(3)
【分析】（1）设，先根据直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，，都是等边三角形，从而可得，由此即可得出结论；
（2）在上截取，连接，先根据旋转的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得出结论；
（3）如图（见解析），先根据旋转的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据旋转角即可得．
(1)
解：，证明如下：
设，
在中，，
，
由旋转的性质得：，
，和都是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
；
(2)
解：成立，证明如下：
如图，在上截取，连接，
由旋转的性质得：，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
；
(3)
解：如图，当点三点在一条直线上时，
由旋转的性质得：，
，
在和中，，
，
，
则旋转角．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
16．（2021·上海民办行知二中实验学校八年级期中）如图，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝（x＞0）的图象于点A，C．
(1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标；
(2)若点B是y＝（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积．
(3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由轴，轴，可得A、C的纵坐标和横坐标，代入即可得出点A、C的坐标；
（2）设，由（1）同理得，即可得出△ABC的面积；
（3）延长BC交x 轴于D点，利用角平分线的性质可得CD＝CB'，再证Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），得S△OCD＝S△OB'C，从而解决问题．
（1）
解：（1）∵轴，B（1，2），
∴当x＝1时，y＝1，
即C（1，1），
∵轴，
∴当y＝2时，x＝，
即；
（2）
解：当点B是（x＞0）的图象上任意一点时，
设，
由（1）同理得，
∴S△ABC＝AB×BC＝；
（3）
解：延长BC交x轴于D点，
∵轴，轴，则∠ABC＝90°，
∴∠CDO＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴CD⊥x轴，
∵将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，
∴∠CB'O＝∠ABC＝90°，
∴CB'⊥OA，
∵OC平分∠AOD，CD⊥x轴，CB'⊥OA，
∴CD＝CB'，
在Rt△OCD和Rt△OCB'中，
，
∴Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），
∴，
由（2）知，S△OCD＝，S△ABC＝，
∴四边形OABC的面积为．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，坐标与图形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练的运用反比例函数的性质是解本题的关键．
17．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在△ABC中，
(1)用直尺和圆规分别作∠ACB的平分线、线段AB的中垂线、它们的交点M（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M）；
(2)过点M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：BE＝AF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用尺规作出的角平分线，线段的中垂线即可；
（2）证明，可得．
（1）
解：如图，点即为所求；
（2）
解：证明：如图，连接，，
点在的垂直平分线上，
，
平分，，，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
18．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．
(1)求证：CE=CDBE；
(2)如果CE=3BE，求的值．
【答案】(1)证明见详解；
(2)=．
【分析】（1）过点A作AF⊥CD交CD延长线于F，先根据AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，得出AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，再证Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），得出BE=DF，然后证明Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）即可；
（2）先求出BC= 4BE， CD= 2BE,，然后S△ABC=，S△ADC=即可．
（1）
证明：过点A作AF⊥CD交CD延长线于F，
∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴CE=CF，
∴CE=CF=CD+DF=CD+BE；
（2）
解：BC=BE+EC=BE+3BE=4BE，
∴S△ABC=，
∴CD=CF-FD=CE-BE=3BE-BE=2BE，
∴S△ADC=，
∴=．
【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，三角形面积，线段和差倍分，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，三角形面积，线段和差倍分是解题关键．
19．（2022·上海·八年级专题练习）（1）已知，如图，在三角形中，AD是BC边上的高．尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔
（2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）直接运用“角平分线——尺规作图”的方法进行作图即可．
（2）过点E作EH⊥AB于H，将AB分成两部分，再证明ВH=BD，AH=CD，即可求证．
【详解】（1）∠ABC的角平分线如图所示：
（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，ED⊥ВC，
∴EH=ED，
∵BE=BE，
∴△BDE≌△BHE（HL），
∵ВH=BD，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
∴△BDE≌△ADC（HL），
∴DE=DC，
∴HE=CD，
∵AD=BD，∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°，
∵HE⊥AB，
∴∠HEA=∠HAE=45°，
∴HE=AH=CD，
∴BC=BD+CD=BH+AH=AB．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质及角平分线的尺规作图，掌握全等三角形的判定定理和正确作出辅助线是解题关键．
20．（2022·上海·八年级单元测试）已知：如图，点是的边上的一点，过点作，，、为垂足，再过点作，交于点，且．
(1)求证：；
(2)当点是边的中点时，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，先根据，且可知，再根据，即可得出，进而可得出，由等角对等边可知；
（2）先根据（1）中可知，由全等三角形的判定定理可得出，再根据全等三角形的性质可得出，，同理证明，得出，推出，由等腰三角形三线合一即可得出．
（1）
证明：连接．
，且，
，
又，
，
，
；
（2）
证明：由（1）可知，，
在与中，
，，，
，
，，
在与中，
，，，
，
，
，
又为的中点，
垂直平分．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定及性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
21．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE.求证：∠AFC＝2∠ADC.
【答案】证明见解析
【分析】根据HL证明Rt△ABD≌Rt△AED，得出∠BAD＝∠EAD再由AB∥CD可推出∠EAD＝∠ADC，最后根据外角的性质即可得出结论.
【详解】证明：在Rt△ABD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），
∴∠BAD＝∠EAD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADC，
∴∠EAD＝∠ADC，
∵∠AFC＝∠EAD+∠ADC，
∴∠AFC＝2∠ADC.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）如图，在中，是的中点，，，于点，若，，求的长．
【答案】
【分析】作，交的延长线于点；连接 、 ；构造和，通过全等三角形的性质转化线段求解即可；
【详解】解：如图，作，交的延长线于点；连接 、 ；
∵
∴
∵，
∴
∵是的中点，
∴
在和中
∴
∴
在和中
∴
∴
设 ,则 ，
∴
解得：
故
【点睛】本题考查了中垂线的性质，角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质；构造全等三角形转化线段是解题的关键．
23．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，CE∥AB，AD平分∠EAB
(1)延长AD、CE相交于点F，求证:AB＝CE+AE
(2)当点E和点C重合时，试判断△ABC的形状，请画出图形，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）等腰三角形，图形及理由见解析.
【分析】（1）先证明△ABD≌△FCD，然后利用平行及角平分线证明AE=EF，最后结合全等的性质即可证明结论；
（2）当点E和点C重合时，AD平分∠EAB即AD平分∠CAB，然后过点D向另外两边作垂线DM和DN，证三角形△BDM和△CDN全等，得到∠B=∠C，即可得到三角形形状.
【详解】（1）证明：∵点D是边BC的中点，
∴BD=CD，
∵CE∥AB，
∴∠BAD=∠F，
在△ABD和△FCD中，,
∴△ABD≌△FCD（AAS），
∴AB=CF，
∵AD平分∠EAB，
∴∠BAD=∠DAE，
∴∠F=∠DAE，
∴AE=EF，
∵CF=CE+EF，
∴AB=CE+AE；
（2）解：△ABC为等腰三角形，图形及理由如下：
过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，
∵AD平分∠EAB即AD平分∠CAB，且DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，∠DMB=∠DNC=90°，
∵点D是边BC的中点，
∴BD=CD，
在Rt△BDM和Rt△CDN中，，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形.
【点睛】本题为全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及角平分线性质的综合应用，熟练掌握各判定、性质是解题的关键。