2.2 二次函数的图象与性质（第5课时）课件 (共35张PPT)

(共35张PPT)
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
北师大版九年级下册
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讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.注意一般式转化为顶点式时a值的提取；
2、将一般式转化为顶点式后，会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
3、灵活运用一般式，熟练掌握一般式的性质，注意要结合图象来研究；
导入新课
温故知新
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
向上
向下
(h ,k)
(h ,k)
x=h
x=h
当xh时，y随着x的增大而增大.
当xh时，y随着x的增大而减小.
x=h时,y最小=k
x=h时,y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
顶点坐标 对称轴 最值
y=-3x2
y=-x2-2
y=-3(x+1)2
y=-(x+2)2-3
y=(x-3)2+5
y=-x2+2x
y=3x2+x-6
(0,0)
y轴
0
(0,-2)
y轴
-2
(-1,0)
直线x=-1
0
(-2,-3)
直线x=-2
-3
(3,5)
直线x=3
5






试试看，能不能把最后两个二次函数的顶点坐标、对称轴和最值求出来，写在表格里
讲授新课
知识点一 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
合作探究
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？
问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？
提示：采用配方法可以将该一般式化成y=a(x-h)2+k的形式
配方可得
熟悉左边的计算过程，总结一下，配方法将二次函数的一般式化成顶点式，需要注意什么？一般的步骤是什么？
配方
你知道是怎样配方的吗？
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？
答：平移方法1：
先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
问题4 如何用描点法画二次函数 的图象？
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
解: 先利用图形的对称性列表
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
5
10
x
y
5
10
然后描点画图，得到图象
如右图.
O
问题5 结合二次函数 的图象，说出其增减性.
5
10
x
y
5
10
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小；
当x>6时，y随x的增大而增大.
试一试
你能用上面的方法讨论二次函数y=2x2-8x+7的图象和
性质吗？
O
要点归纳
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即
因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
对称轴是：直线
(1)
x
y
O
如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大；当x= 时，函数达到最小值，最小值为 .
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
(1)
x
y
O
如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大；当x= 时，函数达到最小值，最小值为 .
典例精析
例1 已知二次函数y=－x2＋4bx＋c，当x＞2时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－2 B．b≤－2
C．b≥2 D．b≤2
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞2时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋4bx＋c的对称轴应在直线x=2的左侧而抛物线y=－x2＋4bx＋c的对称轴 ，即b≤2，故选择D .
D
知识点二 二次函数的系数与图象的关系
合作探究
问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：
x
y
O
y=k1x+b1
x
y
O
y=k2x+b2
y=k3x+b3
k1 ___ 0
b1 ___ 0
k2 ___ 0
b2 ___ 0
＜
＞
＞
＜
k3 ___ 0
b3 ___ 0
＞
＞
x
y
O
问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a1 ___ 0
b1___ 0
c1___ 0
a2___ 0
b2___ 0
c2___ 0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，a＞0
对称轴在y轴左侧，
对称轴在y轴右侧，
x=0时，y=c.
x
y
O
a3___ 0
b3___ 0
c3___ 0
a4___ 0
b4___ 0
c4___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，a＜0
对称轴是y轴，
对称轴在y轴右侧，
x=0时，y=c.
例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　)
A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4
D
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝
－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
当堂练习
1．抛物线y=-x2+4x+2的对称轴是直线（　　）
A．x=-2 B．x=2 C．x=4 D．x=-4
【答案】B
【分析】先将抛物线的解析式化成顶点式，即可由顶点式直接写出抛物线的对称轴．
【详解】解：∵y=-x2+4x+2=-(x-2)2+6，
∴抛物线y=-x2+4x+2的对称轴是直线x=2，
故选：B．
2．二次函数y=-x2+2x-4，当-1＜x＜2时，y的取值范围是（ ）
A．-4＜y≤-3 B．-7＜y＜-4
C．-7≤y＜-3 D．-7＜y≤-3
【答案】D
【分析】先把二次函数化为顶点式得到函数的最大值，再求解x=-1,x=2时的函数值，从而可得答案．
【详解】解：∵二次函数y=-x2+2x-4=-(x-1)2-3，
∴当x=1时，函数最大值为：-3，
当x=-1时，y=-7，
当x=2时，y=-4，
∴当-1＜x＜2时，y的取值范围为：-7＜y≤-3，
故选D．
3．抛物线y=x2-2x-3向左平移三个单位、再向上平移两个单位，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(-4,-2) B．(-2,2) C．(-2,-2) D．(4,2)
【答案】C
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：抛物线y=x2-2x-3=(x-1)2-4向左平移三个单位、再向上平移两个单位，
得到的抛物线为y=(x-1+3)2-4+2=(x+2)2-2，
即y=(x+2)2-2，顶点坐标为(-2,-2)．
故选C．
4．关于x的二次函数y=x2-2mx+5，当x＞2时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＞2 D．m≥2
【答案】B
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】将二次函数y=x2-2mx+5化成顶点式为：y=(x-m)2+5-m2，
二次函数y=x2-2mx+5的开口向上，对称轴是x=m，
∵当x＞2时，y随x的增大而增大，
∴2≥m，
即m≤2，
故选：B．
5．二次函数y=x2-2x-3的顶点坐标为_________，对称轴方程为__________．
【答案】 (1,-4) x=1
【分析】先把抛物线化为顶点式y=x2-2x-3=(x-1)2-4，从而可得答案．
【详解】解：∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
∴抛物线的顶点坐标为(1,-4)，对称轴为直线x=1．
故答案为：(1,-4)，x=1．
6．将二次函数y=-3x2+6x的图象绕顶点旋转180°所得抛物线解析式为_________．
【答案】y=3x2-6x+6
【详解】解：∵y=-3x2+6x=-3(x-1)2+3，
∴原抛物线的顶点为(1,3)，
由题意得：旋转后的图象和原图象关于顶点对称，开口方向相反，
∴新图象的顶点为(1,3)，a=3，
∴所得的图象的解析式为：y=3(x-1)2+3，即y=3x2-6x+6．
故答案为：y=3x2-6x+6．
7．已知二次函数y=-x2-2x+3，当-2≤x＜m时，函数值的取值范围是3≤x≤4，则m的取值范围是______．
【答案】-1＜m≤0
【分析】利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，代入x=0求出y的值，结合当-2≤x＜m时y的取值范围是3≤y≤4，即可得出m的值，验证后即可得出结论．
【详解】解：∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，顶点坐标为(-1,4)，开口向下
当x=-1时，取得最大值y=4，
当x=0，y=3，根据对称性可得x=-2时，y=3
∴-2≤x≤0时，函数值的取值范围是3≤y≤4，
∵当-2≤x＜m时，函数值的取值范围是3≤y≤4，
∴结合图象可得：-1＜m≤0，
故答案为：-1＜m≤0．
8．对于函数y=-x2+4x+3，当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，则a的取值范围是________．
【答案】2≤a≤4
【详解】∵函数y=-x2+4x=3=-（x-2)2+7，
∴开口向下，对称轴为型，顶点坐标为（2,7），最大值为7，
∵当x=0时，y=3，
∴根据二次函数对称性可得，当x=4时，y=3，
∵0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，
∴a的取值范围是2≤a≤4．
故答案为：2≤a≤4．
9．已知二次函数y=x2+2x-1
(1)写出二次函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴；
(2)在图中画出二次函数的图象；
(3)当y=7时，求的值．
【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式，即可求解；
（2）列出表格，描点，连线，即可；
（3）把y=7代入解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵y=x2+2x-1=(x-1)2-2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标(-1,-2)，对称轴x=-1；
（2）解：列表如下：
x …… -3 -2 -1 0 1 ……
y …… 2 -1 -2 -1 2 ……
（3）解：当y=7时，x2+2x-1=7，
解得：x=-4或x=2．
10．抛物线y=-2x2+8x-6
(1)用配方法求顶点坐标，对称轴；
(2)x取何值时，y随x的增大而减小？
(3)x取何值时，y＝0；x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0
【答案】(1)顶点坐标为(2,2)，对称轴为直线x=2
(2)当x≥2时，y随x的增大而减小
(3)当x=1或x=3时，y=0，当1＜x＜3时，y＞0，当x＜1或x＞3时，y＜0
【分析】（1）根据二次函数一般式化为顶点式的方法可进行求解；
（2）由二次函数的性质可直接进行求解；
（3）令y=0时代入二次函数解析式进行求解即可．
【详解】（1）解：由y=-2x2+8x-6可知：
y=-2(x2-4x)-6=-2(x-2)2+2，
∴该二次函数的顶点坐标为(2,2)，对称轴为直线x=2；
（2）解：由y=-2x2+8x-6可知：a=-2＜0，即开口向下，
∴当x≥2时，y随x的增大而减小；
（3）解：令y=0时，则-2x2+8x-6=0，
解得：x1=1,x2=3，
∴二次函数与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0)，
∴当1＜x＜3时，y＞0，当x＜1或x＞3时，y＜0．
课堂小结
顶点：
对称轴：
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)