2.3 确定二次函数的表达式 课件 (共36张PPT)

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第二章 二次函数
2.3 确定二次函数的表达式
北师大版九年级下册
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，注意设二次函数的形式一般有：一般式、顶点式和交点式；
2、利用待定系数法求二次函数的表达式，并且熟练运用二次函数的表达式解决问题；
导入新课
温故知新
回忆一下：我们求一次函数解析式时，是用什么方法的？
待定系数法
求一次函数解析式，我们需要知道几个点的坐标就可以求出解析式？
2个
回答一下：求一次函数解析式的一般步骤；
待定系数法
(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
讲授新课
知识点一 顶点式求二次函数的表达式
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8，
解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
练一练
1. 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(1,-3)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(1,-3)，因此，可以设函数表达式为
y=a(x-1)2-3.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 1=a(0-1)2-3.
解得 a=4
∴所求的二次函数的表达式是
知识点二 交点式求二次函数的表达式
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
归纳总结
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
知识点三 一般式求二次函数解析式
合作探究
问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.
9a-3b+c=0，
a-b+c=0，
c=-3，
解得
a=-1，
b=-4，
c=-3.
∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
待定系数法
步骤：
1.设：
（表达式）
2.代：
（坐标代入）
3.解：
方程（组）
4.还原：
（写表达式）
典例精析
　　例3.已知二次函数的图象经过点(－1,10),(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
解: 设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
a=2，
∴
10=a-b+c，
7=4a+2b+c，
c=5.
解得
4=a+b+c
b=-3，
∴二次函数图像对称轴为直线 ，顶点坐标为 .
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
归纳总结
一般式法求二次函数表达式的方法
练一练
1. 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1.
又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得
4a+2b+1=4，
9a+3b+1=10，
解这个方程组，得
∴所求的二次函数的表达式是
知识点四 根据题干条件灵活求二次函数的表达式
∴
典例精析
　　例4.已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)
和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
3=4a+c，
－3=a+c，
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
a=2，
c=－5.
解得
{
关于y轴对称
{
　　1.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)
和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），
针对训练
图象经过
原点
8=4a-2b，
5=a-b，
∴
解得
∴ y=-x2-6x.
{
{
a=-1,
b=-6.
当堂练习
1．已知P（m，2m2)是平面直角坐标系的点，则点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是（ ）
A．y=2x2 B．y=2(x-2)2+1
C．y=2x2-1 D．y=2x2+x
【答案】A
【分析】根据点坐标特征，消去m得到y与x关系式即可．
【详解】解：∵P(m,2m2)是平面直角坐标系的点，
∴x=m,y=2m2，
则y=2x2，即点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是y=2x2，
故选：A．
2．若抛物线y=a(x-h)2+k的顶点为A(1,-1)，且经过点A关于原点O的对称点，则抛物线的解析式为（ ）
A．y=2(x-1)2-1 B．y=2(x+1)2+1
C．y= D． y=(x-1)2-1
【答案】D
【分析】根据题意得抛物线的解析式为y=a(x-1)2-1，再求得点A关于原点O的对称点的坐标，代入求解即可
【详解】解：∵抛物线y=a(x-h)2+k的顶点为A(1,-1)，
∴抛物线的解析式为y=a(x-1)2-1，
∵点A关于原点O的对称点，
∴(-1,1)，
把(-1,1)代入y=a(x-1)2-1，
得1=a(-1-1)2-1，
解得：a=，
∴抛物线的解析式为y=(x-1)2-1，
故选：D
3．在二次函数y=-x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列判断中不正确的是（　　）
x … －1 0 1 3 …
y … －3 1 3 1 …
A．该二次函数的图象开口向下
B．b=3c
C．该二次函数的图象与y轴交于正半轴
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【答案】D
【详解】解：在二次函数y=-x2+bx+c中，a=-1，
∴该二次函数的图象开口向下，
故选项A说法正确，不符合题意；
∵当x=0时，y=1，
∴c=1，
∵当x=1时，y=3，
∴3=-1+b+1，
b=3，
∴b=3c，
故选项B说法正确，不符合题意；
∴二次函数的解析式为：y=-x2+3x+1，
∵当x=0时，y=1，
∴该二次函数的图象与y轴的正半轴，
故选项C说法正确，不符合题意；
该函数的对称轴为直线x=，
∴当x＞时，y随着x的增大而减小，
故选项D说法错误，符合题意；
故选：D．
4．若二次函数y=ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2-4m2-4n+9的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】解：∵二次函数y=ax2+2的图象经过P（1，3），
∴3=a+2，
∴a=1，
∴二次函数的解析式为y=x2+2，
∵二次函数y=ax2+2的图象经过Q（m，n），
∴n=m2+2即m2=n-2，
∴n2-4m2-4n+9
=n2-4(n-2)-4n+9
=n2-8n+17
=(n-4)2+1，
∵(n-4)2≥0，
∴n2-4m2-4n+9的最小值为1，
故选：A．
5．把抛物线y=绕原点旋转180°，所得抛物线的解析式为________．
【答案】y=-
【分析】先确定抛物线线y=的顶点坐标为(0,1)，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点变换后所得对应点的坐标为（0，-1），然后利用顶点式写出旋转后抛物线．
6．已知二次函数y=的图像经过点A(c,-2)，且这个二次函数图像的对称轴是x=3，则二次函数的解析式为___________．
【答案】y=-3x+2
【详解】解：二次函数y=+bx+c的图像经过点A(c,-2)，且这个二次函数图像的对称轴是x=3，
，
解得
∴二次函数的解析式为：y=-3x+2；
7．一个二次函数的图象与抛物线y=3x2的形状相同，且顶点为(1,-4)，那么这个函数的解析式是____．（结果写成一般式）
【答案】y=3x2-6x+7或y=-3x2+6x+1
【详解】∵一个二次函数的图象与抛物线y=3x2的形状相同，
∴可设该二次函数的解析式为y=±3(x-h)2+k．
∵该二次函数的顶点为(1,4)，
∴该二次函数的解析式为y=±3(x-1)2+4,
∴该二次函数的解析式为y=3x2-6x+7或y=-3x2+6x+1．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A(4，7)在抛物线y=ax2-1上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点，当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为______．
【详解】解：把A（4，7）代入y=ax2-1中得7=16a-1，
解得a=，
∴y=x2-1，
设点C横坐标为m，则CD=CE=2m，
∴点F坐标为（m，7-2m），
∴7-2m=m2-1，
解得m=-2-2（舍）或m=-2+2．
∴CD=2m=-4+4．
故答案为：-4+4．
9．已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(-1,0)，与y轴的交点为(0,3)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)结合函数图象，直接写出当y≤0时x的取值范围．
【详解】（1）解：把(-1,0)，(0,3)代入y=-x2+bx+c，得：
解得
∴二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3；
（2）解：y=-x2+2x+3，令y=0，则-x2+2x+3=0，
解得：x1=-1,x2=3
∴抛物线与x轴的交点坐标为：(-1,0),(3,0)
根据二次函数图像与x轴的交点坐标可知：当y≤0时，x≤-1或x≥3．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=ax2+x+m(a≠0)的图象与x轴交于A、C两点，与直线y2=-x-4交于点A、B，其中点B坐标为(0,-4)，点C坐标为(2,0)
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)根据图象，直接写出y2＜y1时，x的取值范围．
【详解】（1）∵抛物线y1=ax2+x+m(a≠0)的图象经过点B(0,-4)，C(2,0)，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y1=x2+x-4；
（2）∵点A在y2=-x-4上，
令y=0，得x=-4
∴A(-4,0)，
又B(0,-4)
根据函数图像可知，当y2＜y1时，x的取值范围为：x＜-4或x＞0．
课堂小结
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
已知条件
所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1,x2为交点的横坐标）
待定系数法
求二次函数解析式