24.5 三角形的内切圆课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
三角形的内切圆
24.5 三角形的内切圆
学习目标
1. 了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.
2. 掌握三角形内心的性质并能加以应用.
3. 学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.
24.5 三角形的内切圆
有一块三角形材料，如何从中裁下一个面积最大的圆？
情境引入
24.5 三角形的内切圆
讲授新课
若要使裁下的圆形最大，则它与三角形三边应有怎样的位置关系？
最大的圆与三角形三边都相切
24.5 三角形的内切圆
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
B
A
C
I
知识要点
☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.
24.5 三角形的内切圆
问题1 如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？
圆心O在∠ABC的平分线上.
N
C
O
M
A
B
探究
24.5 三角形的内切圆
C
O
A
B
问题2 如图，如果⊙O与 △ABC的内角∠ABC 的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？
圆心O在∠ABC与∠ACB这两个角的平分线的交点上.
线段AO，BO ，CO 分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线.
F
E
D
线段线段OD，OE， OF的长度相等，等于三角形内切圆的半径.
24.5 三角形的内切圆
1.如图，作ΔABC中∠A，∠C的角平分线，交于点O
问题3 现在你知道如何画△ABC的内切圆了吗？
2.过点O作OQ⊥AC于Q
3.以O点为圆心，OQ长度为半径画圆
则☉O即为所求
求作一个圆，使它和已知三角形的各边相切
24.5 三角形的内切圆
三角形内心的性质：
三角形的内心在三角形的角平分线上.
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
C
O
A
B
F
E
D
知识归纳
24.5 三角形的内切圆
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边垂直平分线的交点
1.OA = OB = OC
2.不一定在三角形内部
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边距离相等
2. AO、BO、CO 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.在三角形内部
A
B
O
C
A
B
C
O
类比归纳
24.5 三角形的内切圆
例1 如图，△ABC中，∠ABC=43°，∠ACB=61 °，点 I 是△ABC的内心，求∠BIC的度数.
解：连接IB，IC.
A
B
C
I
∵点 I 是△ABC的内心，
∴ BI，CI 分别是∠ABC，∠ACB的平分线.
在△IBC中，
24.5 三角形的内切圆
例2 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为 3 cm，求圆柱底面圆的半径.
该问题可以抽象为如下所示的几何图形.
24.5 三角形的内切圆
C
A
B
r
O
D
解： 如图，设圆 O 切 AB 于点 D，连接 OA、OB、OD.
∵ 圆 O 是等边△ABC 的内切圆，
∴ AO、BO 是∠BAC、∠ABC 的平分线.
∴ ∠OAB =∠OBA = 30°.
∵ OD⊥AB，AB = 3 cm，
∴ AD = BD = AB = 1.5 (cm).
∴ OD = AD·tan30° = (cm).
答：圆柱底面圆的半径为 cm.
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例3 △ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB = 13 cm，BC = 14 cm，CA = 9 cm，求 AF、BD、CE 的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
B
A
C
E
D
F
O
24.5 三角形的内切圆
解:
设 AF = x cm，则 AE = x cm.
∴CE = CD = AC - AE = 9 - x (cm)，
BF = BD = AB - AF = 13 - x(cm).
由 BD + CD = BC，可得
(13 - x) + (9 - x) = 14，
∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm.
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.
解得 x = 4.
B
A
C
E
D
F
O
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例4 如图所示，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求⊙O的半径r.
连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，利用S△ABC＝S△COB＋S△BOA＋S△AOC求解．还可以发现四边形OECD 为正方形，则可利用切线长定理，用含r的代数式表示 AB的长，再求解．
分析：
24.5 三角形的内切圆
方法一：如图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，
则OD＝OE＝OF＝r，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.
在Rt△ABC中，AB＝
∵S△ABC＝S△COB＋S△BOA＋S△AOC，
∴
∴r＝
解：
24.5 三角形的内切圆
方法二：如图，连接OD，OE，则OE⊥AC，OD⊥BC，
又∵EC⊥CD，且OE＝OD＝r，
∴四边形OECD是正方形 ．
∴EC＝CD＝r .
∴AB＝AF＋BF＝AE＋BD
＝(AC－EC)＋(BC－CD)
＝3－r＋4－r＝7－2r .
又易知AB＝
∴7－2r＝5 ，即r＝1 .
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当堂练习
（3）若∠BIC=100 °，则∠A = 度.
（2）若∠A=80 °，则∠BIC = 度.
130
20
1.如图，在△ABC中，点I是内心，
（1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，∠BIC=_____.
A
B
C
I
120°
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2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则它的内切圆与外接圆半径分别为(　　)
A．1.5，2.5 B．2，5
C．1，2.5 D．2，2.5
3. 如图，正三角形ABC的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为(　　)
A．2 B．3 C. D．2
D
C
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A
B
C
O
c
D
E
r
4.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为___________（以含a、b、c的代数式表示r）.
解析：如图，过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.
F
则AD=AC-DC=b-r,
BE=BC-CE=a-r,
因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,
所以a-r+b-r=c,
所以
b
a
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C
A
B
O
D
5.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,
∠ABC=60°，OD⊥BC，BO平分∠ABC.
∴∠OBD=30°，BD=3cm,
△OBD为直角三角形.
内切圆半径
外接圆半径
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6. △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
B
A
C
E
D
F
O
解:
设AF=xcm，则AE=xcm.
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
BF=BD=AB-AF=13-x(cm).
由 BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
∴ AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.
解得 x=4.
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三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.
有关概念
内心概念及性质
应用
课堂小结
24.5 三角形的内切圆
THANKS
“
”
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