24.6.2 正多边形的性质课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
正多边形的性质
24.6.2 正多边形的性质
学习目标
1. 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念.
2. 掌握正多边形的性质并能加以应用.
24.6.2 正多边形的性质
问题1 什么是正多边形？
问题2 如何作出正多边形？
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
将一个圆n等分，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.
回顾复习
24.6.2 正多边形的性质
讲授新课
O
A
B
C
D
问题1 以正方形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
E
F
G
H
∵EF是边AB、CD的垂直平分线，∴OA=OB，OD=OC.
∵GH是边AD、BC的垂直平分线，∴OA=OD；OB=OC.
∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.
正多边形的性质
24.6.2 正多边形的性质
O
A
B
C
D
E
F
G
H
∵AC是∠DAB和∠DCB的平分线，BD是∠ABC 和∠ADC的平分线，
∴OE=OH=OF=OG.
∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.
24.6.2 正多边形的性质
所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？
想一想：
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
24.6.2 正多边形的性质
O
A
B
C
D
E
F
G
H
R
r
知识要点
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形
的中心角.正多边形的每个中心角都等于 .
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.
24.6.2 正多边形的性质
画出下列各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？
24.6.2 正多边形的性质
要点精析：
(1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形一共有n条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心.
(2)当边数为偶数时，正多边形具有：轴对称性、中心
对称性,它的中心就是对称中心.
(3)当边数为奇数时，正多边形具有：轴对称性
其中：对称轴条数与边数相等．
24.6.2 正多边形的性质
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于 度 ；
② OC BC (填＞、＜或＝）；
③△OBC是 三角形；
④圆内接正六边形的面积是
△OBC面积的 倍.
⑤圆内接正n边形面积公
式：________________________.
C
D
O
B
E
F
A
P
60
=
等边
6
正多边形的有关计算
S正多边形=周长×边心距/2
24.6.2 正多边形的性质
求边长为a的正六边形的周长和面积.
如图，过正六边形的中心O作OG⊥BC，垂足是G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为C 和S.
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC = 60°， △BOC是等边三角形.
∴C = 6BC = 6a.
在△BOC中，有
解：
例1
24.6.2 正多边形的性质
例2 一个上、下底面为全等正六边形的礼盒，高为10 cm，上、下底面正六边形的边长为12 cm，如果用彩色胶带按如图所示方式包扎礼盒，所需胶带长度至少为________________．
24.6.2 正多边形的性质
胶带包括上、下面各3段，侧面6段．上、下面中的每
段胶带长等于图中的OC的2倍．利用中心角可求得
∠COB＝30°，由正六边形的边长为12 cm，易得
BC＝6 cm，所以OB＝12 cm，由勾股定理得OC＝
cm，从而求得上、下面每段胶带
长为 cm，进而求
出所需胶带的长度．
分析：
24.6.2 正多边形的性质
例3 如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．
（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
24.6.2 正多边形的性质
（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
解：连接BF，CE，则有BF∥AG，CE∥AG．
理由如下：
∵ABCDEFGH是正八边形，
∴它的内角都为135°．
又∵HA=HG，∴∠HAG=22.5°.
∴∠GAB=135°-∠1=112.5°．
∴∠GAB=135°-∠1=112.5°．
∵正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，
即∠BAG+∠ABF=180°，故BF∥AG．
同理，可得CE∥BF，
∴CE∥AG；
24.6.2 正多边形的性质
P
N
M
Q
（2）有题意可知∠PHA=∠PAH=45°，
∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，
∴四边形PQMN是矩形．
∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，
∴△PAH≌△QCB≌△MDE，
∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，
故四边形PQMN是正方形．
（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
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在Rt△PAH中，∵∠PAH=45°，AB=2，
P
N
M
Q
故S四边形PQMN=
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2. 作边心距，构造直角三角形.
1. 连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
圆内接正多边形的辅助线
方法归纳
O
边心距r
边长一半
半径R
B
M
中心角一半
24.6.2 正多边形的性质
如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)图①中∠MON=_______;图②中∠MON= ;
图③中∠MON= ;
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
.
A
B
C
M
N
M
N
M
N
O
O
O
90°
72°
120°
图①
图②
图③
24.6.2 正多边形的性质
正多边 形边数 内角 中心角 外角
3
4
6
n
60 °
120 °
120 °
90 °
90 °
90 °
120 °
60 °
60 °
1.完成下面的表格：
随堂练习
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正多边形边数 半径 边长 边心距 周长 面积
3
4 1
6
2. 填表：
2
1
2
8
4
2
2
12
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3.如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于 度 ；
② OC BC (填＞、＜或＝）；
③△OBC是 三角形；
④圆内接正六边形的面积是
△OBC面积的 倍.
C
D
O
B
E
F
A
P
60
=
等边
6
4. 若正多边形的边心距与半径的比为1∶2，则这个
正多边形的边数是 .
4
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5.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是 （ ）
A．60° B．45° C． 36° D． 30°
·
A
B
C
D
E
O
C
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6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
解：∵正方形的面积等于4，
则半径为
∴⊙O的面积为
∴正方形的边长AB=2.
24.6.2 正多边形的性质
A
B
C
D
E
F
P
7.如图，正六边形ABCDEF的边长为 ，点P为六边形内任一点，则点P到各边距离之和是多少？
∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．
解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.
H
K
∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和，均为HK的长.
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK.
∵CG⊥BD，
∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.
G
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课堂小结
正多边形的性质
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正多边形的对称性
24.6.2 正多边形的性质
THANKS
“
”
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