湖南省湘潭市第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（含解析）

湘潭市重点中学2022-2023学年高三上学期期中考试
数学
时间：120分钟 总分：150分
一、单选题：（本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的）
1.已知全集，集合，集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，则在复平面上对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.在等差数列中，若，则的值为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
4.已知向量，，若，则（ ）
A. B.4 C.5 D.
5.某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位：小时）与工资（单位：元）之间的关系如下表：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 50 60 70
若与的线性回归方程为，预测当工作时间为9小时时，工资大约为（ ）
A.75元 B.76元 C.77元 D.78元
6.若，，则（ ）
A. B. C. D.
7.如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，是的中点，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A. C. B. D.
8.已知函数，的图象上存在点，函数的图象上存在点，且M，N关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.以下关于函数的命题，正确的是（ ）
A.函数的最小正周期为
B.点是函数图象的一个对称中心
C.直线是函数图象的一条对称轴
D.将函数的图象向右平移个单位后得到的函数的图象关于原点对称.
10.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则（ ）
A. B.
C. D.的坐标为
11.已知函数，若是的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A.函数的值域与的值域相同
B.若是函数的极大值点，则是函数的极小值点
C.把函数的图象向右平移个单位，就可以得到函数的图象
D.函数和在区间上都是增函数
12.在棱长为1的正方体中，为正方形的中心，则下列结论正确的是（ ）
A. B.平面
C.点到平面的距离为 D.直线与直线的夹角为
三、填空题（每题5分，共20分）
13.展开式中的系数为______.
14.如图，直线是曲线在处的切线，则______.
15.已知为圆上任意一点，则的最大值为______.
16.已知椭圆与抛物线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率是______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）已知数列满足，.
（1）证明数列为等差数列；
（2）设，证明：.
18.（本小题12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角；
（2）若，求周长的最大值.
19.（本小题12分）2022年8月7日是中国传统二十四节气“立秋”，该日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，据此，学校社会实践小组随机调查了该地区100位奶茶爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.
（1）估计奶茶爱好者的平均年龄；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）估计奶茶爱好者年龄位于区间的概率；
（3）以频率替代概率进行计算，若从该地区所有奶茶爱好者中任选3人，求3人中年龄在30岁以下的人数的分布列和期望.
20.（本小题12分）如图，四棱雉中，底面是矩形，，.为上的点，且平面；
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
21.（本小题12分）已知双曲线）的右焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程.
（2）过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点，在轴上是否存在点，使得点到直线，的距离相等 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22.（本小题12分）已知函数.
（1）若是的极值点，求的单调区间；
（2）求在区间上的最小值.
湘潭市重点中学2022-2023学年高三上学期期中考试
数学参考答案及解析
时间：120分钟 总分：150分
一、单选题（每题5分，共40分）
1.【答案】B
【分析】根据补集以及交集的定义求解即可.
【解答】解：，，故选B.
2.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案.
【解答】解：，
∴在复平面上对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：A.
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.
先根据题意，运用等差数列的性质得到，再通过等差数列的性质化简所求，代入计算，即可得到答案.
【解答】解：由，∴，
∴，故选C.
4.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查向量的模的求法，考查向理垂直、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.
利用向量垂直的性质得，再由平面向量坐标运算法则求出，由此能求出.
【解答】
解：∵向量，，，∴，解得，
∴，∴.故选：C.
5.【答案】B
【解析】
【分析】本题考查回归直线方程及其应用，属于基础题.
先求出，再求预测值即可.
【解答】解：由题意，得，，
将样本中心点代入，
则，
故性回归方程为，
当时，元，故选B.
6.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同角三角函数的基本关系和二倍角公式的应用，是中档题.
利用同角三角函数的基本关系求得、和的值，再利用二倍角公式求值即可.
【解答】解：因为，，
∴两边平方得，
∴，∴为针角，
所以，
∴，，则，
则.故本题选D.
7.【答案】B
解：因为平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，所以平面，
因为，，，所以为直角三角形，
所以球心在过的中点且与平行的直线上，
又因为，
所以点为的中点，所以，
所以外接球的表面积是.故选B.
8.【答案】：A
解：因为函数与函数的图象关于轴对称，
根据已知得函数，的图象与函数的图象有交点，
即方程在上有解，
即在上有解.
令，，
则，
可知在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，
由于，，且，所以.
二、多选题（每题5分，共20分）
9.【答案】AD
【解析】
【分析】本题考查三角函数的图象的对称性，单调性以及图象变换，是基本知识的考查，属于基础题.
根据周期性可得A正确；根据对称中心和对称轴的性质，可判断B、C错误；利用诱导公式和平移法则可得D正确.
【解答】解：因为函数的最小正周期为，故A正确；
，故B错；
当时，，
所以不是函数的图象的对称轴方程，故C错；
将函数的图象向右平移个单位后得到的函数，满足，故函数的图象关于原点对称，故D正确.故答案为：AD.
10.【答案】AC
【解析】
【分析】本题考查抛物线的概念及标准方程、抛物线的性质及几何意义，属于基础题.
根据题意对各选项逐项判定，即可求出结果.
【解答】解：抛物线，所以，
所以抛物线的焦点坐标为，所以D不正确；
点在抛物线C上，
所以，所以，所以A正确；
将代入抛物线方程，可得，所以B不正确；
，所以C正确.故选AC.
11.【答案】AD
解：，
.
A.与的值域均为，故A正确；
B.若是函数的极大值点，则，即，
即是函数的零点，故B错误；
C.函数的图象向右平移个单位，得
故C错误；
D.当时，，单调递增；
当时，，单调递增，
故D正确.故选AD.
12.【答案】ABC
解：如图，连接，，则，
连接，交于，连接，则，且则，
可得四边形为平行四边形，则，
∵，为的中点，∴，可得，故A正确；
由上可知，，平面，平面，
∴平面，故B正确；
∵，∴点、到平面的距离相等，
，，
设到平面的距离为，则，得，故C正确；
直线与直线的夹角等于，故D错误.故选：ABC.
三、填空题（每题5分，共20分）
13.【答案】35
【解析】
【分析】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.
利用二项式定理得出的通项，令得的系数，由此即可解题，本题搞清楚展开式中项的来历是解题关键.
【解答】解：因为二项式的通项为，
令，则的系数为，故答案为35.
14.【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了导数的几何意义，属于基础题.
根据导数的几何意义，是曲线在处的切线斜率，结合，即可得解.
【解答】解：由题意，，，所以；
故答案为7.
15.【答案】
【解析】
【分析】本题考查直线的斜率，考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的位置关系，属于中档题.
代表圆上的点与点连线的斜率，画出图形结合图象可知当直线与圆相切时，取得最值，求解即可.
【解答】解：圆的圆心坐标为，半径，
代表圆上的点与点连线的斜率，
如图：结合图象可知当直线与圆相切时，取得最值，此时直线斜率存在，
设直线，即，
由，解得或.
结合图象可知：的最大值为，即有最大值是.故答案为.
16.【答案】
【解析】
【分析】本题考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的焦点与抛物线的焦点，属于一般题.
【解答】依题意，抛物线的焦点也是椭圆的焦点，所以.因为点是两曲线的一个公共点，且轴，所以点的横坐标为，代入抛物线方程得或，将其代入椭圆方程得，又，所以.又椭圆的离心率，，所以，解得.因为椭圆离心率的取值范围为，所以，即.
四、解答题（共70分，请写出必要的文字说明和解答步骤）
17.【答案】证明：（1）根据题意，，
在等式左右两边同时除以得，，
由此可得，数列是首项为，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可得，.
∴
∴从而得证.
【解析】（1）根据递推关系式，使用构造法结合等差数列的定义，进行验证；
（2）使用裂项相消法求解前项和，然后判定最后结果.
本题考查等差数列的性质和证明，以及裂项相消法在数列求和中的使用，属于基础题.
18.【答案】解：（1）由题意，，
由正弦定理，，由，即，
所以，
从而，解得，又，所以；
（2）由余弦定理，从而，
即，且，
解得，当且仅当时取最大值，
此时周长取最大值.
【解析】本题考查余弦两角差公式，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题.
（1）通过余弦两角差公式和正弦定理化简等式，可以求出的大小；
（2）利用余弦定理表示出a，c之间的关系，利用基本不等式求出的最大值，进而得到周长的最大值.
19.【答案】
解：（1）估计奶茶爱好者的平均年龄
（岁）
（2）由题图，得奶茶爱好者年龄位于区间的频率为
，用频率估计概率，
故奶茶爱好者年龄位于区间的概率为0.48.
（3）年龄在30岁以下的概率为 的取值为0，1，2，3
的分布列为
X 0 1 2 3
P
【解析】本题考查频率直方图的应用，考查条件概率求法，属基础题.
（1）根据频率分布直方图计算平均数即可；
（2）根据频率分布直方图计算奶茶爱好者年龄位于区间的频率即可求解.
20.【答案】
解：（题目做了调整，第（2）问只给中间数据和答案）（5）
平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的正弦值为.
21.【答案】解：（1）由题可知，
又是双曲线的一条渐近线，
所以，解得，所以，
所以双曲线的标准方程为.
（2）假设存在，设，，
设直线，则得，
则
因为使得点到直线，的距离相等，所以是的角平分线，则，
即，，
，
，即，因为，所以，
故存在.
【解析】本题考查双曲线的概念和标准方程、直线和双曲线的概念和标准方程
（1）由题可知，再结合双曲线的渐近线方程求出a，b，即可求解；
（2）假设存在，设，，设直线，结合点到直线，的距离相等，所以是的角平分线，则，进行求解即可；
22.【答案】
解：（1）的定义域为，
.
因为是的极值点，
所以，解得，
所以，
当时，；当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），
则，
令，得或.
（1）当，即时，在上为增函数，；
（2）当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以；
（3）当，即时，在上为减函数，
所以.
综上所述，
【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题.（1）由于是函数的一个极值点，可得，解出并验证即可求解单调区间；
（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，得到函数的单调性，求出的解析式即可.