高中数学人教A版2019必修第二册 7.3　复数的三角表示(共26张PPT)

(共26张PPT)
7.3*　复数的三角表示
一
二
三
一、复数的三角表示式
1.思考
(1)复数a+bi(a,b∈R)与复平面内的点和向量是如何一一对应的
提示根据复平面的建立原则,复数a+bi与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的,与平面向量 =(a,b)也是一一对应的.
(2)若角θ的顶点在坐标原点,始边在x轴非负半轴上,已知终边上一点P(x,y),如何表示角θ的三角函数
(3)终边相同的角有什么关系
提示终边相同的角相差2π的整数倍.
一
二
三
2.填空
(1)一般地,任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式.其中,r是复数z的模;θ是以x轴的非负半轴为始边,向量 所在射线(射线OZ)为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角.r(cos θ+isin θ)叫做复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分开来,a+bi叫做复数的代数表示式,简称代数形式.
(2)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值,且这些值相差 2π的整数倍.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的
(3)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
一
二
三
3.做一做
(1)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
①复数0的辐角一定是0.(　　)
②一个给定的复数,其辐角也是唯一确定的.(　　)
③复数i的辐角可以为- π.(　　)
答案:①×　②×　③√
(2)将下列复数表示为三角形式
①-5i　②-10　③2-2i
一
二
三
二、复数三角形式乘法法则与几何意义
1.思考
两个角θ1,θ2的和的正弦、余弦公式是什么
提示cos(θ1+θ2)=cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2,sin(θ1+θ2)=sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2.
一
二
三
2.填空
(1)已知z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.
(2)复数乘法的几何意义
一
二
三
3.做一做
一
二
三
三、复数三角形式除法法则与几何意义
1.思考
一
二
三
一
二
三
3.做一做
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
复数的三角形式
例1将下列复数表示成三角形式.
(1)5i　　(2)8　　(3)-3-3i　　(4)-1+ i
分析先确定模长及辐角主值,再写成三角形式.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 复数的代数形式z=a+bi化为复数三角形式的一般步骤是:
③写出复数的三角形式.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
变式训练1将下列复数中代数形式的表示成三角形式,三角形式的表示成代数形式.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
复数三角形式的乘法运算
例2计算下列各式
分析利用复数三角形式的乘法法则计算即可.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 两个复数三角形式乘法的法则可简记为:模数相乘,辐角相加,并且可以作以下推广:
(1)有限个复数相乘,结论亦成立.
即z1·z2…zn=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)…rn(cos θn+isin θn)=r1·r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].
(2)当z1=z2=…=zn=z时,即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ,有zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),这就是复数三角形式的乘方法则,即:模数乘方,辐角n倍.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
变式训练2计算下列各式
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
复数三角形式的除法运算
例3计算下列各式
反思感悟 进行两个复数的三角形式除法运算时,将模对应相除当模,用被除数辐角减去除数的辐角当做商的辐角,即可得两个复数的除法结果.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
变式训练3计算下列各式
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
数形结合思想求复数的模长及辐角范围
典例若z∈C,|z-2|≤1,求|z|的最大、最小值和arg z范围.
分析结合条件及特点,本题可用数形结合思想求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
解:由|z-2|≤1,知z的轨迹为复平面上以(2,0)为圆心,1为半径的圆面(包括圆周),|z|表示圆面上任一点到原点的距离.
显然1≤|z|≤3,∴|z|max=3,|z|min=1,
另设圆的两条切线为OA,OB,A,B为切点,
由|CA|=1,|OC|=2知∠AOC=∠BOC= ,
说明:本题在求解|z|的最大、最小值时,也可用代数形式,如下:设复数z=x+yi(x,y∈R),
则由|z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1,∴x2+y2≤4x-3.
∵(x-2)2+y2≤1,∴(x-2)2≤1,
∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
答案:D
2.复数z=-2+2i的三角形式是　　　　　.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
答案:1
解析:原式=cos(-2π)+isin(-2π)=1.