高中数学人教A版2019必修第二册 《复数的三角表示课时1》教学设计

《复数的三角表示》教学设计
课时1 复数的三角表示式
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.复数的三角表示式 学习理解能力 观察记忆 概括理解 应用实践能力 分析计算 迁移创新能力 直观想象 数学运算 逻辑推理 【考查内容】 复数的三角表示,复数乘、除运算的几何意义,复数与代数、三角、向量、几何之间的联系 【考查题型】 选择题、填空题
2. 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 直观想象 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容从复数的向量表示出发,结合三角函数知识,得到复数的另一种重要表示形式——三角表示,进而研究复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.复数乘、除运算的三角表示形式简洁,在很多情况下可以简化复数的乘、除运算;其几何意义就是平面向量的旋转、伸缩,因此,可以方便地解决很多平面向量与平面几何问题.本节侧重提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养.本节虽然被定位为选学内容,但是建议还是应加强学习复数与代数、向量、三角、几何的联系,使得学生通过复数的三角表示的学习,在直观想象和数学运算素养方面得到提升.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.复数的三角表示式 2.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 直观想象 数学运算 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
学生掌握了复数的四则运算的基本要领,但是大部分学生缺乏用联系的观点看问题的思维习惯.将复数与向量、三角函数、几何之间进行联系,是一个理解上和运用上的难点,学生对复数的三角表示理解不清,复数的代数形式与三角形式的转化不灵活,运用复数乘、除法的几何意义解决综合问题也是一个难点.而充分注意到复数本质上是一对有序实数,从复数的向量表示出发理解,并突出复数与向量、三角函数、几何之间的联系,是突破这个难点的关键.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.复数的三角表示式
2.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
【教学目标设计】
1.了解复数的三角表示式,理解复数与三角函数之间的关系.
2.理解复数乘、除运算的几何意义,会用三角表示其乘、除运算.
【教学策略设计】
复数的三角表示将复数、平面向量和三角函数三者紧密相连,从复数的运算看,复数代数形式的加、减运算的几何意义,就是相应平面向量的加、减运算.复数乘、除运算的三角形式的几何意义,就是平面向量的旋转、伸缩.复数的代数表示、三角表示及其运算都具有明显的几何意义,注重在关键点上强化数形结合,要注重引导,注重联系,有助于学生深刻地认识、理解复数的表示与运算,提升学生的数学运算、直观想象、逻辑推理核心素养.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.复数的三角表示式.
2.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.
难点 1.复数与三角、向量、几何相关知识间的联系.
2.利用乘、除的几何意义解决问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:前面我们研究了复数及其四则运算,同学们都了解到复数和平面向量的联系很大,我们知道,复数可以用的形式来表示,复数与复平面内的点是一一对应的,与平面向量也是一一对应的.大家思考这样一个问题:借助复数的几何意义,复数还能不能用其他形式来表示呢？
【学生回顾复习,交流讨论】
师:我们知道复平面内向量的坐标可以唯一确定一个复数,而向量也可以由它的大小和方向唯一确定,那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？这将引出我们本节课重点:复数的三角表示.
【设计意图】
以向量和复数做对比,引出课程主题,让学生形成数学系统,并引出复数的另一种表示方式
教学精讲
师:同学们,向量的大小可以用模来刻画,那么向量的方向如何刻画 联系一下《三角函数》一章中的任意角表示,我们可以借助以轴的非负半轴为始边,以向量所在射线(射线)为终边的角来刻画的方向.
【要点知识】
复数的三角表示式
记向量的模,由图可以得到,
【以学定教】
从学生的角度出发,以向量和三角作知识铺垫,引入复数的三角形式相关概念,有助于学生对概念最初的把握
师:设复数,大家试着将和以这种形式代回到复数的代数形式中,写出表达式.
【学生思考问题,展开计算、讨论】
生:得到.
师:正确!我们再进行一下简化.
【归纳总结】
复数的三角表示式的推导
,
其中,
.
【观察记忆能力】学生通过完成思考题目,形成完整的思路,通过观察图形可以建立对复数三角形式的认识,培养观察记忆能力
师:当点在实轴或虚轴上时,这个结论还成立吗
生:成立,当点在实轴上时,;
当点在虚轴上时,.
师:正确!这样,我们就可以用刻画向量大小的模和刻画向量方向的角表示了复数.
【要点知识】
复数的三角表示式
一般地,任何一个复数都可以表示成的形式.
其中,是复数的模;是以轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线)为终边的角,叫做复数的辐角;叫做复数的三角表示式,简称三角形式.叫做复数的代数表示式,简称代数形式.
师:显然,任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值,联系前面所学任意角的概念,这些角相差为哪个数的整数倍 例如复数的辐角怎么表示 复数呢
【学生积极思考,教师指定一名同学回答】
生:相差的整数倍,复数的辐角是,复数的辐角是.
师:非常好!那么复数0呢 因为复数0对应着零向量,而零向量的方向是任意的,所以复数0的辐角也是任意的.
【以学论教】
从学生的角度出发,以学生熟悉的任意角的概念引入,把复数的辐角概念展示出来,有助于后面对辐角主值的理解
【要点知识】
复数的辐角主值
我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值,通常记作.
注意:(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值,且这些值相差的整数倍.
(2)复数0的辐角是任意的.
(3).
师:所以我们在表示时这样书写:.
师:同学们,我们明白了复数的三角表示式后,来通过几个题目练习一下,加深印象.
【典型例题】
复数的三角表示式
例1 画出下列复数对应的向量,并把这些复数表示成三角形式:
(1);
(2)1-i.
【情境学习】
学生在具体问题情境中,巩固所学概念,深入理解复数的三角表示式
师:同学们注意,只需要确定复数的模和一个辐角,就能将复数的代数形式转化为三角形式.同学们认真思考,稍后请两位同学到黑板上书写.
【学生积极思考、练习计算,教师指定学生在黑板上完成作答并予以肯定和点评】
师:很好,同学们完成得都非常好！我们配合图示可以更清晰地、直观地了解它的几何意义.
【典例解析】
复数的三角表示式
解:(1)
(2)
【概括理解能力】
学生通过独立完成练习题目,再结合形象的图示,可以建立对复数三角形式的认识,培养概括理解能力
师:注意到第(1)题中,.因为与对应的点在第一象限,所以,所以.而第题中,.但与对应的点在第四象限,所以.所以.
师:以上是将复数的代数形式转化为三角形式,概括一下步骤,可以总结为.
【归纳总结】
复数的代数形式化三角形式的步骤
复数的代数形式化三角形式的步骤:
(1)先求复数的模.
(2)决定辐角所在的象限.
(3)根据象限求出辐角.
(4)复数的三角形式.
【分析计算能力】通过不断练习之后,教师总结做题步骤,更有助于学生提升自己的分析计算能力
师:但是同学们要注意:把一个复数表示成三角形式时,辐角不一定取主值,例如:也是的三角形式.接下来,我们再练习几道由三角形式转化为代数形式的题目.
【典型例题】
复数的代数表示式
例2 分别指出下列复数的模和一个辐角,画出它们对应的向量,并把这些复数表示成代数形式:
(1);
(2).
师:由三角形式转化为代数形式,那也就是上述步骤逆过程了.请另外两名同学到黑板上作答.
【教师指定学生回答,并予以肯定,教师展示解答】
【少教精教】
教师在教授相关知识方法之后,让学生先自主完成典型题目,使学生在独立计算中,加深对这一部分概念的理解程度,教师少教,达到精教的目的
【典例解析】
复数的代数表示式
解: (1)复数的模,一个辐角,对应的向量如图①所示.所以
.
(2)复数的模,一个辐角,对应的向量如图②所示.所以
.
师:同学们再思考这样一个问题:两个用三角形式表示的复数在什么条件下相等
【学生积极思考,同学间互相交流讨论,教师总结并展示】
【自主学习】
教师在具体的问题情境中启发学生主动思考,学生进行了自主思考之后,对这一部分的知识理解会更加深入
【归纳总结】
三角形式的复数相等条件
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值,并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
师:好了,同学们,理解了复数的这种表示方式后,我们进行一下练习,来看一下这几道题.
【巩固练习】
复数的三角表示
1.把下列复数表示成三角形式,并且画出与它们对应的向量:
(1)4;
(2)-i;
(3);
(4).
2.下列复数是不是三角形式 如果不是,把它们表示成三角形式:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
3.把下列复数表示成代数形式:
(1);
(2).
【分析计算能力】
在具体的问题中,不断加强练习复数的三角形式与代数形式,加深对概念的理解,培养分析计算能力
师:同学们,现在梳理一下本节主要内容,请同学们分组讨论,梳理出本节的几个核心知识点以及做题方法.
【学生分组交流,查阅课本、笔记,总结重要知识点】
【课堂小结】
复数的三角表示式
1.复数的三角表示式
2.复数的代数形式化为三角形式的步骤
3.三角形式的复数相等条件
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值,并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等
【设计意图】
通过本节课的学习,学生理解复数的三角表示式、会进行复数的代数形式与三角形式的互化、掌握三角形式的复数相等条件等知识,通过课堂小结,锻炼了学生的归纳总结能力
【课后作业】教材P89习题7.3第1~2题
师:本节课我们主要学习了复数的三角表示式,注意复数和向量、三角函数、几何之间的密切联系,在不同的问题情境中可以选用恰当的形式进行化简、计算,必要时画出复平面坐标系中的向量图示,方便理解.
教学评价
本节课主要学习复数的三角形式,属于复数一章的选学部分,但是对于理解复数与其他知识间的关系意义重大,也很重要,本节深入研究了复数与实数、向量、三角函数、几何之间的关系,除了复数的代数形式,在有些问题情境下,其三角形式会更加直观、简便.通过复数的三角形式,可以赋予其乘、除运算的几何意义,即是平面向量在复平面内的旋转、伸缩.
应用所学知识,完成下题:
复数的代数形式与三角形式的互化:(1);(2).
解析:,因为对应的点在第一象限,
所以,即,所以.
(2)复数的模,辐角的主值为.
.
【设计意图】
教师引导学生思考,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,锻炼自己的学科能力（观察记忆、概括理解、分析计算）,从而达到数学运算、直观想象的核心素养目标要求
【以学定教】
教师要让学生理解复数的三角表示式,并能够通过其几何意义进行一些题目的简化,并能在不同的具体情境中合理应用
教学反思
本节课内容分为2课时,本节虽然属于复数一章的选学部分,但是对于理解复数与其他知识间的关系意义重大,在教学过程中,教师更注重引导学生,在不同的问题情境中,突出数学概念、启发学生独立思考,加强运算练习,必要的时候可以进行小组交流探讨,教师同时要加强复数与相关知识的联系,落实直观想象、数学运算、逻辑推理核心素养,通过例题和习题的思考和练习,着重培养学生的观察记忆能力、概括理解能力、分析计算能力.
【以学论教】
本节深入研究了复数与实数、向量、三角函数、几何之间的关系,教师注重观察学生课堂表现,巩固练习的做题效果,根据课堂学习效果使用不同的教学方法和策略,使学生理解和掌握复数的三角表示,落实学科能力和核心素养
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