高中数学人教A版2019必修第二册 《复数的三角表示课时2》教学设计

《复数的三角表示》教学设计
课时2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.复数的三角表示式 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 直观想象 数学运算 逻辑推理 【考查内容】 复数的三角表示,复数乘、除运算的几何意义,复数与代数、三角、向量、几何之间的联系 【考查题型】 选择题、填空题
2. 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 直观想象 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容从复数的向量表示出发,结合三角函数知识,得到复数的另一种重要表示形式——三角表示,进而研究复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.复数乘、除运算的三角表示形式简洁,在很多情况下可以简化复数的乘、除运算;其几何意义就是平面向量的旋转、伸缩,因此,可以方便地解决很多平面向量与平面几何问题.本节侧重提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养.本节虽然被定位为选学内容,但是建议还是应加强学习复数与代数、向量、三角、几何的联系,使得学生通过复数的三角表示的学习,在直观想象和数学运算素养方面得到提升.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.复数的三角表示式 2.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 直观想象 数学运算 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
学生掌握了复数的四则运算的基本要领,但是大部分学生缺乏用联系的观点看问题的思维习惯.将复数与向量、三角函数、几何之间进行联系,是一个理解上和运用上的难点,学生对复数的三角表示理解不清,复数的代数形式与三角形式的转化不灵活,运用复数乘、除法的几何意义解决综合问题也是一个难点.而充分注意到复数本质上是一对有序实数,从复数的向量表示出发理解,并突出复数与向量、三角函数、几何之间的联系,是突破这个难点的关键.
学情补充:________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.复数的三角表示式
2.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
【教学目标设计】
1.了解复数的三角表示式,理解复数与三角函数之间的关系.
2.理解复数乘、除运算的几何意义,会用三角表示其乘、除运算.
【教学策略设计】
复数的三角表示将复数、平面向量和三角函数三者紧密相连,从复数的运算看,复数代数形式的加、减运算的几何意义,就是相应平面向量的加、减运算.复数乘、除运算的三角形式的几何意义,就是平面向量的旋转、伸缩.复数的代数表示、三角表示及其运算都具有明显的几何意义,注重在关键点上强化数形结合,要注重引导,注重联系,有助于学生深刻地认识、理解复数的表示与运算,提升学生的数学运算、直观想象、逻辑推理核心素养.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.复数的三角表示式.
2.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.
难点 1.复数与三角、向量、几何相关知识间的联系.
2.利用乘、除的几何意义解决问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:前面,我们研究了复数代数形式的乘、除运算,下面我们利用复数的三角形式研究一下复数的乘、除运算及其几何意义.我们设复数,其三角形式依次为:,同学们,你们先自己试一试计算的乘积,并将结果表示为三角形式.
【学生积极思考,动手演算,交流讨论】
师:根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式,可以得到:
.
【以学定教】
教师根据问题情境,引出新的问题,启发学生自主思考,回顾学过的知识,以学生的理解为中心,调整自己的讲课节奏
教学精讲
探究1 复数乘法运算的三角表示及其几何意义
【要点知识】
复数乘法运算的三角表示
若复数,且,则.即两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.
师:那么由复数乘法运算的三角表示,可以得到其几何意义吗
【要点知识】
复数乘法的几何意义
两个复数相乘时,可以如图示,先分别画出与对应的向量,然后把向量绕点按逆时针方向旋转角,再把它的模变为原来的倍,得到的向量即为乘积.注意:其中如果,就要把向量绕点按顺时针方向旋转角.再把它的模变为原来的倍,得到向量表示的复数就是积,这就是复数乘法的几何意义.
师:通过这个乘法的几何意义,我们可以很方便、很直观地解释一些结果.请同学们现在分小组,分别讨论下如何解释和的几何意义.
【观察记忆能力】
学生在具体的问题情境中,通过形象的图示理解概念,培养观察记忆能力
【学生分组讨论,积极思考、交流】
生:的几何意义:复数的模是1,辐角是,乘意味着再按逆时针方向旋转,模乘1,对应的复数是,即为.
生:的几何意义:复数的模是1,辐角是,再乘意味着再按逆时针方向旋转,模乘1,对应的复数是,即为1.
【先学后教】
教师先让学生分组交流,根据已学知识自行推导问题的答案,可以使学生加深对这一部分的知识和方法的理解
师:非常好！两组同学完成得都很好,通过这个小思考练习,我们可以将复数、向量、三角函数、几何恰当地联系起来,接下来,我们再看一些相应例题.
【典型例题】
复数乘法的三角表示及几何意义
例1 已知,求,请把结果化为代数形式,并作出几何解释.
生解:
.
首先作与对应的向量,然后把向量绕点按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为原来的2倍,这样得到一个长度为3,辐角为的向量.即为积所对应的向量.
【概括理解能力】
这一部分的解题过程,既需要乘法的运算基础,又需要对复数和向量、三角函数之间关系的深入理解,培养学生的概括理解能力
师:当不要求把计算结果化为代数形式时,也可以用三角形式表示.这道题目是由计算式作出几何解释,我们再练习一道由几何变化推导出复数的代数形式.
【典型例题】
由复数乘法的三角形式表示代数形式
例2 如图,向量对应的复数为,把绕点按逆时针方向旋转,得到.求向量对应的复数(用代数形式表示).
师:根据复数乘法的几何意义,向量对应的复数是复数与的积,其中复数的模是1,辐角的主值是.
生解:向量对应的复数为
.
【自主学习】
学生通过自己根据所学知识练习题目,实现自主学习,自我有意识地加强对所学概念的理解
探究2 复数除法运算的三角表示及其几何意义
师:同学们,掌握了复数乘法的三角表示及其几何意义之后,你能推导出复数除法相关的概念吗 我们先来看一下复数的除法运算的三角表示.
【要点知识】
复数的除法运算的三角表示
若复数,且,则
.
两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
【少教精教】
在掌握了复数乘法的三角表示及其几何意义之后,由于除法是其逆运算,所以可少教精教,多由学生自己去体会其中的知识关联
师:那复数除法运算的几何意义怎么表示呢 两个复数相除时,先分别画出与对应的向量,然后把向量绕点按顺时针方向旋转角,再把它的模变为原来的,得到的向量即为商.注意其中如果,就要把向量绕点按逆时针方向旋转角.除法也就是乘法的逆运算,通过一道例题练习一下.
【深度学习】
结合复数乘法的几何意义,根据图示,得到复数除法的几何意义,更全面、深入地理解这一部分知识
【典型例题】
复数除法运算的三角表示及其几何意义
例3 计算,并把结果化为代数形式.
生解:原式.
师:同学们要深入理解复数的乘、除法运算法则及其几何意义,注意代数形式和三角形式的互相转化.接下来,大家通过几道练习题巩固一下所学.
【巩固练习】
复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
1.计算:
(1);
(2);
(3);
(4).
2.计算:
(1);
(2);
(3);
(4).
3.在复平面内,把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转,求与所得的向量对应的复数(用代数形式表示).
【分析计算能力】
通过大量的题目练习,加深学生对这一节知识和方法的掌握,培养分析计算能力
师:同学们,现在梳理一下本节主要内容,请同学们分组讨论,梳理出本节的几个核心知识点以及做题方法
【学生分组交流,查阅课本、笔记,总结重要知识点】
【活动学习】
教师将学生分组,分组讨论,共同梳理出本节课重点知识,在活动中学习有助于学生加深对所学内容的理解和印象
【课堂小结】
复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
【设计意图】
以框图的形式展示本节课主要知识点,学生更容易梳理学习内容,对知识的系统性和关联性有了更加深刻的理解,提升了学生的概括理解能力和逻辑推理核心素养
【课后作业】教材P89~90习题7.3第3~4题,第6,8题（选做）
师:本节课我们主要学习了复数的乘、除法运算的三角形式及其几何意义,注意代数形式和三角形式的互相转化.
教学评价
本节课主要学习复数的三角形式,属于复数一章的选学部分,但是对于理解复数与其他知识间的关系意义重大,也很重要,本节深入研究了复数与实数、向量、三角函数、几何之间的关系,除了复数的代数形式,在有些问题情境下,其三角形式会更加直观、简便.通过复数的三角形式,可以赋予其乘、除运算的几何意义,即是平面向量在复平面内的旋转、伸缩.
应用所学知识,完成下题:
复数的代数形式与三角形式的互化:(1);(2).
解析:,因为对应的点在第一象限,
所以,即,所以.
(2)复数的模,辐角的主值为.
.
【设计意图】
教师引导学生思考,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,锻炼自己的学科能力（观察记忆、概括理解、分析计算）,从而达到数学运算、直观想象的核心素养目标要求
【以学定教】
教师要让学生理解复数的三角表示式,并能够通过其几何意义进行一些题目的简化,并能在不同的具体情境中合理应用
教学反思
本节课内容分为2课时,本节虽然属于复数一章的选学部分,但是对于理解复数与其他知识间的关系意义重大,在教学过程中,教师更注重引导学生,在不同的问题情境中,突出数学概念、启发学生独立思考,加强运算练习,必要的时候可以进行小组交流探讨,教师同时要加强复数与相关知识的联系,落实直观想象、数学运算、逻辑推理核心素养,通过例题和习题的思考和练习,着重培养学生的观察记忆能力、概括理解能力、分析计算能力.
【以学论教】
本节深入研究了复数与实数、向量、三角函数、几何之间的关系,教师注重观察学生课堂表现,巩固练习的做题效果,根据课堂学习效果使用不同的教学方法和策略,使学生理解和掌握复数的三角表示,落实学科能力和核心素养
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