高中数学人教A版2019必修第二册 7.3.1_复数的三角表示式_导学案

7.3.1 复数的三角表示式
1. 掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化;
2. 培养学生的转化，推理及运算能力;
3. 通过学习本节知识，使学生体会数学的严谨美与图形美.
1.数学抽象：复数三角表示的理解;
2.直观想象：复数的辐角及辐角的主值的含义;
3.数学运算：复数的代数表示与三角表示之间的转化.
重点：复数三角表达式的理解及其与代数表达式之间的互化．
难点：复数三角表达式的理解.
预习导入
阅读课本83-85页，填写。
1 .复数的辐角
以x轴的正半轴为始边、_____________________为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。
适合于 ____________的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz, 即____________.
2.复数的三角表达式
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成____________的形式．其中，r是复数的_______；θ是复数z＝a＋bi的辐角．____________叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来____________叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
注意：复数三角形式的特点
____________________________________.
3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：
两个非零复数相等当且仅当它们____________与____________分别相等．
1．复数1＋i化成三角形式，正确的是(　　)
A．2(cos ＋isin )
B．2(cos ＋isin )
C．2(cos ＋isin )
D．2(cos ＋isin )
2．两个复数z1、z2的模与辐角分别相等，是z1＝z2成立的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．复数－2(sin 10°＋icos 10°)的三角形式为___________．
题型一 复数的三角形式
例1　下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．
(1) z1＝ cos 60°＋isin 30° ；
(2) z2＝2(cos －isin )；
(3) z3＝－sin θ＋icos θ .
跟踪训练一
1．下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．
(1)z1＝2(cos π＋isin π) ；
(2) z2＝(cosπ－isinπ)；
(3) z3＝ －2(cos θ＋isin θ)．
题型二 复数的代数形式表示成三角形式
例2 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
（1）； （2）.
跟踪训练二
1．把下列复数表示成三角形式：
(1)1；(2)－2i；(3)－i; (4)－2(sin＋icos)．
题型三 把复数表示成代数形式
例3 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：
（1）；（2）.
跟踪训练三
1．把下列复数表示成代数形式：
(1)z1＝3(cos ＋isin )；
(2)z2＝2[cos(－)＋isin (－)]；
(3)z3＝5(cos 135°＋isin 135°)．
1．复数的辐角主值是（ ）
A． B． C． D．
2．将复数化成代数形式，正确的是（ ）
A．4 B．-4 C． D．
3．复数的代数形式是_____________.
4．复数的模是_____________.
5．复数的代数形式与三角形式互化：
（1）；
（2）.
答案
小试牛刀
1. B.
2．A.
3. 2(cos 260°＋isin 260°).
自主探究
例1　【答案】(1) z1＝(cos ＋isin )． (2) z2＝2(cos ＋isin).
(3) z3＝cos (＋θ)＋isin (＋θ) .
【解析】(1)由“角相同”知，不是三角形式．
z1＝cos 60°＋isin 30°＝＋i，模r＝＝，cos θ＝，
与z1对应的点在第一象限，所以取θ＝.
即z1＝cos 60°＋isin 30°＝(cos ＋isin )．
(2)由“加号连”知，不是三角形式．复平面上的点Z2(2cos ，－2sin )在第四象限，不需要改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－”变换到第四象限．
所以z2＝2(cos －isin )＝2[(cos(2π－)＋isin (2π－)]＝2(cos ＋isin)．
(3)由“余弦前”知，不是三角形式．复平面上的点Z3(－sin θ，cos θ)在第二象限(假定θ为锐角)，需要改变三角函数名称，可用诱导公式“＋θ”将θ变换到第二象限．
所以z3＝ －sin θ＋icos θ＝cos (＋θ)＋isin (＋θ) .
跟踪训练一
1．【答案】(1)是三角形式． (2) z2＝(cosπ＋isin π)． (3) z3＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．
【解析】(1)z1＝2(cos π＋isin π)符合三角形式的结构特征，是三角形式．
(2)由“加号连”知，不是三角形式．
z2＝(cosπ－isinπ)＝－－i，
模r＝，cos θ＝－.复数对应的点在第三象限，所以取θ＝π，
即z2＝(cos π－isinπ)＝(cosπ＋isin π)．
(3) 由“模非负”知，不是三角形式．
复平面上的点Z1(－2cos θ，－2sin θ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cos θ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．所以z3＝－2(cos θ＋isin θ)＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．
例2【答案】（1）作图见解析;（2）作图见解析;
【解析】（1）复数对应的向量如图所示，
则.
因为与对应的点在第一象限，所以.
于是.
（2）复数对应的向量如图所示，
则.
因为与对应的点在第四象限，所以.
于是.
当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式.
跟踪训练二
1．【答案】(1) 1＝cos 0＋isin 0. (2)－2i＝2(cos ＋isin )．
(3)－i＝2[cos(－)＋isin(－)]． (4)－2(sin ＋icos)＝2(cos ＋isin )．
【解析】(1)r＝1，对应的点在x轴的正半轴上，所以arg(1)＝0.所以1＝cos 0＋isin 0.
(2) r＝2，对应的点在y轴的负半轴上，所以arg(－2i)＝.所以－2i＝2(cos ＋isin )．
(3) r＝2，对应的点在第四象限，且cos θ＝，所以取θ＝－.
所以－i＝2[cos(－)＋isin(－)]．
(4)－2(sin＋icos)＝－＋i，r＝2，
对应的点在第二象限，且cos θ＝－，所以取θ＝.所以－2(sin ＋icos)＝2(cos ＋isin )．
例3【答案】（1）复数的模，一个辐角，作图见解析,
（2）复数的模，一个辐角，作图见解析,
【解析】（1）复数的模，一个辐角，
对应的向量如图所示.
所以.
（2）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示.
所以.
跟踪训练三
1．【答案】(1)z1＝＋i. (2)z2＝－2i. (3)z3＝－＋i.
【解析】(1)z1＝3(cos ＋isin)
＝3×＋3×i＝＋i.
(2)z2＝2[cos(－)＋isin(－)]
＝2×0＋2×(－1)i
＝－2i.
(3)z3＝5(cos 135°＋isin 135°)
＝5×(－)＋5×i＝－＋i.
当堂检测
1-2.BD　
3．
4．3
5．【答案】（1）.（2）
【解析】（1），所以.
（2），所以=.
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