高中数学人教A版2019必修第二册 第七章 复数 章末测试（解析版）

第七章 复数式章末测试
一、单选题（每题5分，共60分）
1．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．复数(为虚数单位)的模是（ ）
A. B. C.1 D.2
3．若，则复数的实部与虚部之和为（　　）
A.1 B.-1 C.-2 D.-4
4．复数，则（ ）
A.5 B. C.18 D.25
5．已知关于的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点是，则这个方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知集合，（为虚数单位），则集合与集合的关系是（ ）
A. B. C. D.
7．设复数满足，则复数在复平面内对应的点位于　　
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8．若复数满足（其中为虚数单位），则（ ）
A.1 B. C.2 D.
9．设复数满足，则( )
A. B.2 C. D.4
10．设i为虚数单位，表示复数z的共轭复数，若，则（ ）
A. B.2 C. D.1
11．设有下面四个命题:
(1)若复数满足则
(2)若复数满足则
(3)若复数满足则
(4)若复数满足则
则正确命题的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
12．若(是虚数单位),则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分，共20分）
13．已知为虚数单位，则集合中元素的个数为______.
14．若复数，，（为虚数单位）则实数__________．
15．已知复数满足，则________
16．计算:______.
三、解答题（17题10分，其余12分，共70分）
17．已知复数的实部大于零，且满足，的虚部为2．
（1）求复数；
（2）设在复平面上的对应点分别为，求的值．
18．已知虚数满足.
（1）求的取值范围；
（2）求证：是纯虚数.
19．已知复数（是虚数单位）
（1）复数是实数，求实数的值；
（2）复数是虚数，求实数的取值范围；
（3）复数是纯虚数，求实数的值.
20．已知为虚数单位，复数满足，
（1）求．
（2）在复平面内，为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若是直角，求实数的值．
21．（1）在复数范围内解方程（为虚数单位）
（2）设是虚数，是实数，且
（i）求的值及的实部的取值范围；
（ii）设，求证：为纯虚数；
（iii）在（ii）的条件下求的最小值．
22．已知△的三个内角、、所对应的边分别为、、，复数，，（其中是虚数单位），且.
（1）求证：，并求边长的值；
（2）判断△的形状，并求当时，角的大小.
第七章 复数式章末测试答案
一、单选题（每题5分，共60分）
1．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【来源】2019年贵州省铜仁市第一中学高三上学期第二次模拟考试数学试题（理科)
【答案】C
【解析】由，选择C.
2．复数(为虚数单位)的模是（ ）
A. B. C.1 D.2
【来源】广西柳州铁一中学、玉林高中2019-2020学年高三9月联考数学（理)试题
【答案】B
【解析】因为，所以，选B。
3．若，则复数的实部与虚部之和为（　　）
A.1 B.-1 C.-2 D.-4
【来源】2019年10月黑龙江省哈尔滨市第六中学第二次调研考试数学（文)试题
【答案】D
【解析】，所以复数实部为，虚部为，所以和为，故选D.
4．复数，则（ ）
A.5 B. C.18 D.25
【来源】河南河北两省重点高中2019-2020学年度高三上学期段性考试（三)数学文科试题
【答案】B
【解析】依题意，所以.故选：B.
5．已知关于的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点是，则这个方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
【来源】上海市静安区2018-2019学年高二下学期期末统考数学试题
【答案】A
【解析】因为方程的根在复平面内对应的点是，
可设根为：，(为虚数单位)，所以方程必有另一根，
又，，
根据选项可得，该方程为.故选：A
6．已知集合，（为虚数单位），则集合与集合的关系是（ ）
A. B. C. D.
【来源】上海市上海交通大学附属中学2016-2017学年高二下学期期中数学试题
【答案】B
【解析】.
.
因此，.
故选：B.
7．设复数满足，则复数在复平面内对应的点位于　　
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【来源】2019年10月广东省广州市天河区高考数学一模（理)试题
【答案】B
【解析】设复数，
，；
，；
复数，，
复数在复平面内对应的点位于第二象限．
故选：．
8．若复数满足（其中为虚数单位），则（ ）
A.1 B. C.2 D.
【来源】山东省济南市2019届高三5月学习质量针对性检测理科数学试题
【答案】D
【解析】由复数满足，则，
则，故选D．
9．设复数满足，则( )
A. B.2 C. D.4
【来源】2019年河南省安阳市高三毕业班第一次调研考试数学（理)试题
【答案】C
【解析】， ，
10．设i为虚数单位，表示复数z的共轭复数，若，则（ ）
A. B.2 C. D.1
【来源】湖北省鄂州市颚南高中2019-2020学年高三上学期10月月考数学（文)试题
【答案】A
【解析】依题意，故，故选A.
11．设有下面四个命题:
(1)若复数满足则
(2)若复数满足则
(3)若复数满足则
(4)若复数满足则
则正确命题的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高二上学期期末数学试题
【答案】B
【解析】设复数，则，对于(1),因为所以，则,故(1)正确；，因为所以或，当时，为纯虚数，故(2)不正确；因为所以，，故(3)正确；设，因为所以，当，显然满足条件，但，故(4)不正确，所以正确命题的个数为2.
故选：B
12．若(是虚数单位),则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【来源】上海市向明中学2018-2019学年高二下学期3月质量监控数学试题
【答案】D
【解析】由复数的几何意义可知：表示的点在单位圆上，
而|z 2 2i|表示该单位圆上的点到复数表示的点的距离，
由图象可知：的最小值应为点到的距离，
而 ，圆的半径为1，
故的最小值为，
故选：D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．已知为虚数单位，则集合中元素的个数为______.
【来源】2018年上海市宝山区高三下学期期中（二模)教学质量监测数学试题
【答案】4
【解析】（4个一周期）共4个元素.故答案为：4.
14．若复数，，（为虚数单位）则实数__________．
【来源】上海市宜川中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题
【答案】
【解析】由题得,所以.故答案为：
15．已知复数满足，则________
【来源】上海市格致中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题
【答案】
【解析】由题意，复数，可得，所以，
又由
.
故答案为：
16．计算:______.
【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高二上学期期末数学试题
【答案】
【解析】
故答案为：
三、解答题（17题10分，其余12分，共70分）
17．已知复数的实部大于零，且满足，的虚部为2．
（1）求复数；
（2）设在复平面上的对应点分别为，求的值．
【来源】2019年上海市上海中学高三下学期数学测试2数学试题
【答案】（1） （2）-2
【解析】（1）由及已知条件得：，,所以，
又复数的实部大于零，，
（2）由（1）知，
所以，所以，
故得解.
18．已知虚数满足.
（1）求的取值范围；
（2）求证：是纯虚数.
【来源】上海市静安区2018-2019学年高二下学期期末统考数学试题
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】设，（且），因为，所以，
因此可看作以坐标原点为圆心的单位圆上的点；
（1）表示点与定点之间的距离；
又点到坐标原点的距离为，
所以（为单位圆半径），
因此；
（2），
因此是纯虚数.
19．已知复数（是虚数单位）
（1）复数是实数，求实数的值；
（2）复数是虚数，求实数的取值范围；
（3）复数是纯虚数，求实数的值.
【来源】上海市华师大二附中2018-2019学年高二上学期期末数学试题
【答案】（1）；（2）且；（3）或.
【解析】（1）复数是实数，则，
解得；
（2）复数是虚数，则，
解得且；
（3）复数是纯虚数，则，
解得或。
20．已知为虚数单位，复数满足，
（1）求．
（2）在复平面内，为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若是直角，求实数的值．
【来源】福建省三明市2019-2020学年高二下学期期末数学（理)试题
【答案】（1）z＝3+4i；（2）c＝8
【解析】（1）设，
由，
得，
∴，解得．
∴；
（2）由题意，的坐标分别为
∴，，
∵是直角，∴，即．
21．（1）在复数范围内解方程（为虚数单位）
（2）设是虚数，是实数，且
（i）求的值及的实部的取值范围；
（ii）设，求证：为纯虚数；
（iii）在（ii）的条件下求的最小值．
【来源】河北省唐山市开滦第二中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析；（iii）
【解析】（1）
设，则
，解得：
（2）（i）设且
为实数 ，整理可得：
即
（ii）
由（i）知：，则
且
是纯虚数
（iii）
令，则，
（当且仅当时取等号）
即的最小值为：
22．已知△的三个内角、、所对应的边分别为、、，复数，，（其中是虚数单位），且.
（1）求证：，并求边长的值；
（2）判断△的形状，并求当时，角的大小.
【来源】上海市长宁区2019届高三上学期期末质量检测（一模)数学试题
【答案】（1）证明见解析，；（2） 或.
【解析】（1）证明：由余弦定理得 ，
则
所以 ．
由题意得 ，
即 ，
由复数相等的定义可得
，且 ，
即 ．
（2）由（1）得 ．
由正弦定理得 ，
即 ．
因为 、，
所以 或 ，
即 或，即或．
所以 知等腰三角形或直角三角形．
当时， ，所以；
当时，，所以 ．