高中数学人教A版2019必修第二册 第七章 复数 章末总结 练习（解析版）

第七章 复数
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．，为虚数单位，若，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
3．（ ）
A．2 B．-2 C．2 D．
4．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（ ）
A．+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣﹣i
5．复数的共轭复数是，是虛数单位，则点为（ ）
A． B． C． D．
6．将复数(对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
7．设，若（为虚数单位）为正实数，则( )
A．2 B．1 C．0 D．
8．已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
9．已知i为虚数单位,下列命题中正确的是( )
A．若,则是纯虚数 B．虚部为的虚数有无数个
C．实数集是复数集的真子集 D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等
10．设复数z满足,i为虚数单位,则下列命题正确的是( )
A． B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为 D．复数z在复平面内对应的点在直线上
11．设，，为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）
A．对应的点在第一象限 B．一定不为纯虚数
C．一定不为实数 D．对应的点在实轴的下方
12．已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（ ）
A．若复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上
B．若复数z满足，则复数
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则
三、填空题
13．则复数，（为虚数单位），则的虚部等于 .
14．若复数（为虚数单位），则______________.
15．在复平面上，设点A、B、C ，对应的复数分别为，顺次过A、B、C 做平行四边形ABCD,则点D的坐标为_______________．
16．若，，则的最大值是______.
四、解答题
17．计算:
(1) ； (2) .
18．已知复数.当实数取什么值时，复数是：
（1）实数；
（2）纯虚数；
（3）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.
19．已知复数满足.
（1）求复数的共轭复数；
（2）若，且复数对应向量的模不大于复数所对应向量的模，求实数的取值范围.
20．已知复数和，若，试求的取值范围.
21．设，已知，，求.
22．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为，（其中为原点）.已知点对应的复数，求和分别对应的复数.
第七章 复数答案
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
的实部为，虚部为，.故选
2．，为虚数单位，若，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】A
【解析】由（m+i）（2﹣3i）＝（2m+3）+（2﹣3m）i＝5-i，得，即m＝1．故选A．
3．（ ）
A．2 B．-2 C．2 D．
【答案】C
【解析】
故选：C.
4．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（ ）
A．+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣﹣i
【答案】C
【解析】由给出复平面坐标系，，，则.
5．复数的共轭复数是，是虛数单位，则点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，共轭复数为，所以为，故选C．
6．将复数(对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】复数的三角形式是,向量对应的复数是
.故选：A
7．设，若（为虚数单位）为正实数，则( )
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】B
【解析】，因为为正实数，所以，故选B
8．已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由于，可知点位于第四象限，故选D．
二、多选题
9．已知i为虚数单位,下列命题中正确的是( )
A．若,则是纯虚数 B．虚部为的虚数有无数个
C．实数集是复数集的真子集 D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等
【答案】BCD
【解析】对于A,若,则,不是纯虚数,故A错误；对于B,虚部为的虚数可以表示为,有无数个,故B正确；根据复数的分类,判断C正确；两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,充分性不成立,故D正确.故选:BCD.
10．设复数z满足,i为虚数单位,则下列命题正确的是( )
A． B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为 D．复数z在复平面内对应的点在直线上
【答案】AC
【解析】,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B不正确;z的共轭复数为,C正确;复数z在复平面内对应的点不在直线上,D不正确.
故选:AC
11．设，，为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）
A．对应的点在第一象限 B．一定不为纯虚数
C．一定不为实数 D．对应的点在实轴的下方
【答案】CD
【解析】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A错误；当，即或时，为纯虚数，故B错误；因为恒成立，所以一定不为实数，故C正确；由选项A的分析知，对应的点在实轴的上方，所以对应的点在实轴的下方，故D正确. 故选：CD.
12．已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（ ）
A．若复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上
B．若复数z满足，则复数
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则
【答案】CD
【解析】满足的复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上，A错误；在B中，设，则.由，得，解得，B错误；由复数的模的定义知C正确；由的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确.
故选：CD
三、填空题
13．则复数，（为虚数单位），则的虚部等于 .
【答案】
【解析】因.故应填答案.
14．若复数（为虚数单位），则______________.
【答案】
【解析】为，所以.因此.
故答案为：
15．在复平面上，设点A、B、C ，对应的复数分别为，顺次过A、B、C 做平行四边形ABCD,则点D的坐标为_______________．
【答案】．
【解析】设，由复数的几何意义，得,即，即，解得，即的坐标为．
16．若，，则的最大值是______.
【答案】24
【解析】设，因为，所以，显然有. ，把代入上式得：，因为，所以当时，有最小值，最小值为；当时，有最大值，最大值为24.故答案为： 24
四、解答题
17．计算:
(1) ；
(2) .
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)
(2)
18．已知复数.当实数取什么值时，复数是：
（1）实数；
（2）纯虚数；
（3）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.
【答案】(1) 或.（2）.（3）或.
【解析】 ，
（1）为实数，则，则或
（2）为纯虚数，则，则.
（3），则或.
19．已知复数满足.
（1）求复数的共轭复数；
（2）若，且复数对应向量的模不大于复数所对应向量的模，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】⑴，所以复数的共轭复数为
⑵ 复数对应向量为，此时.
又复数对应的向量 . ， ，
即，实数的取值范围为
20．已知复数和，若，试求的取值范围.
【答案】.
【解析】∵，∴，∴，消去得：，∴，
∵，∴当时，.当时，.所以的取值范围为：.
21．设，已知，，求.
【答案】
【解析】（方法一）设，，由题设知，，
.
又由，可得.
∴.∴.
（方法二）∵，将已知数值代入，可得，
∴.
（方法三）作出，对应的向量，，以，为邻边作平行四边形，如图所示.
∵，
又∵，不共线（若，共线，则或0），∴平行四边形为菱形.
又∵，∴，∴平行四边形为正方形，∴.
22．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为，（其中为原点）.已知点对应的复数，求和分别对应的复数.
【答案】，.
【解析】根据题意画出草图，如图所示.
由复数运算的几何意义知
，
.
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