登陆21世纪教育 助您教考全无忧
13.2 全等三角形的判定
斜边直角边
教学目标
1.知识与技能：通过学生画图探究，自己归纳出“HL”的全等判别法，通过推理论证，用己有的知识推出结论的正确 ( 21世纪教育网 )。21*
2.数学思考：使学生经历作图，比较，证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理能力。
3.解决问题：掌握直角三角形全等的“HL”的条件，并能利用这些条件判别两个直角三角形是否全等，解决一些简单的实际问题 ( 21世纪教育网 )。21世纪教育网版权所有
4.情感态度与价值观：通过探究，体验数学模型与实际生活中的问题之间的联系，解决一些问题，获得成功的体验，进一步激发探究的积极性．
学习目标21世纪教育网版权所有
1.掌握斜边直角边判定方法，并会用自然语言和符号语言表述 ( 21世纪教育网 )。
2.会用斜边直角边定理判定两个直角三角形全等。
重点难点21世纪教育网版权所有
重点：直角三角形全等的“HL”正确的灵活运用。
难点：直角三角形全等的判定定的探索过程。
教学准备21世纪教育网版权所有
圆规 直尺
教学过程
一、回顾与思考21世纪教育网版权所有
我们已经知道，对于两个三角形，如果有边边角（SSA）对应相等 ( 21世纪教育网 )，不能保证两个三角形全等， 如图△ABC和△ABD，有AC=AD，AB是公共边，∠B是公共角。满足“SSA”的条件，显然它们不全等。但两个三角形在满足了两边一对角对应相等的条件下，有全等的时候吗？那么在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形能否全等呢？
二、实践与探索21世纪教育网版权所有
如图已知两条线段（这两条线段长不相等），以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边，画一个直角三角形 ( 21世纪教育网 )。
步骤：
1．画一线段AB，使它等于2cm；
2．画∠MAB＝90°；
3．以点B为圆心，以3cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C；
4．连结BC．△ABC即为所求．
把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形进行比较，所有的直角三角形都全等吗？换两条线段，试试看，是否有同样的结 ( 21世纪教育网 )论？
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知∠ACB＝∠A′C′B′＝90°， AB＝A′B′， AC＝A′C′。由于直角边AC＝A′C′，我们移动其中的Rt△ABC，使点A与点A′、点C与点C′重合，且使点B与点B′分别位于线段A′C′的两侧．因为∠ACB＝∠A′C′B＝∠A′C′B′＝90°，故∠B′C′B＝∠A′C′B′＋∠A′C′B＝180°，因此点B、C′、B′在同一条直线上．于是在△A′B′B中，由AB＝A′B＝A′B′（已知），得∠B＝∠B′．由“角角边”，便可知这两个三角形全等。于是可得，
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为H．L．（或斜边直角边）．
符号语言:21世纪教育网版权所有
在Rt△ABC和Rt△A B C 中
∵ A B=A B
A C=A C 或（BC=B C ）
∴△ABC ≌△A B C （HL）
三、新知应用21世纪教育网版权所有
已知：如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC, AD⊥BD,垂足分别为C,D,AD=BC,
求证：△ABC≌△BAD。
证明：∵∠C=∠D=90°
∴△ABC 和△BAD都是直角三角形 ( 21世纪教育网 )
∵AB=BA
AC=BD
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)
四、课堂练习 21世纪教育网版权所有
1、如图∠C= ∠D=90，要证明△ACB≌ △BDA ，至少再补充几个条件，应补充什么条件 ( 21世纪教育网 )？把它们分别写出来？
2.如图在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE。说明△EBC≌ △DCB的理由。
五、巩固练习21世纪教育网版权所有
如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,BC=CD,∠ADC+∠B=180°试探究线段2AE与AB,AD的数量关系。
六、总结反思 ( 21世纪教育网 )纪教育网版权所有
1.学生谈谈收获、疑惑。总结本节学习直角三角形全等的识别，除了一般三角形全等识别法外，还有“HL”。
一般三角形的判定： ＳＡＳ ＡＳＡ ＡＡＳ ＳＳＳ
直角三角形的判定： ＳＡＳ ＡＳＡ ＡＡＳ ＳＳＳ ＨＬ
2.思考：
（1).任意两直角边相等的两个直角三角形全等吗？
（2).任意两对应边相等的两个直角三角形全等吗？ ( 21世纪教育网 )
（3).任意两边相等的两个直角三角形全等吗？
七、课后作业 21世纪教育网版权所有
1.如图，在△ABC中，BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足，DE=DF,
求证：△BED≌△CFD。
2.如图，AC=AD,∠C=∠D=90°，求证：BC=BD。
3.已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE求证：OB=OC ( 21世纪教育网 ).
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 3 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网(共15张PPT)
回顾与思考
如图△ABC和△ABD，有AC=AD，AB是公共边，∠B是公共角。满足“SSA”的条件，它们全等吗？
两个三角形在满足了“SSA”的条件下，有全等的时候吗？
画一个Rt△ABC,使得∠C=90°,一直角边CB=2cm,斜边AB=3cm.
3cm
2cm
C
B
A
B
对于两个一般的直角三角形，在满足斜边和一直角边对应相等的条件下，会不会全等呢？
实验探索
A
B
C
（1） 画∠MC＇N =90°；
（2）在射线C＇M上取B＇C＇=BC；
（3） 以B＇为圆心，AB为半径画弧，
交射线C＇ N于点A＇；
（4）连接A＇B＇．
现象：两个直角三角形能重合．
说明：这两个直角三角形全等．
画法：
A＇
N
M
C＇
B＇
做一做
归纳概括
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全
等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）．
A
B
C
A＇
B＇
C＇
几何语言：
∵ 在Rt△ABC 和 Rt△A＇B＇C＇中，
AB =A＇B＇，
BC =B＇C＇，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△A＇B＇C＇（HL） ．
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠C 和∠D 都是直角．
在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AB =BA，
AC =BD，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）．
∴ BC =AD（全等三角形对应边相等）．
新知运用
如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC =BD．求证：BC =AD．
A
B
C
D
新知运用
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？为什么？
证明：∵ AC⊥AB，DE⊥DF，
∴ ∠CAB 和∠FDE 都是直角．
在Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
BC =EF，
AC =DF，
∴Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）
新知运用
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？为什么？
证明：∴ ∠ABC =∠DEF
（全等三角形对应角相等）
∵ ∠DEF +∠DFE =90°，
∴ ∠ABC +∠DFE =90°
如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC
≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由．
（1） （ ）；
（2） （ ）；
（3） （ ）；
（4） （ ）。
AD = BC
AC = BD
∠DAB = ∠CBA
∠DBA = ∠CAB
HL
HL
AAS
AAS
课堂练习
A
B
C
D
课堂练习
练习1 如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时
出发，以相同的速度分别沿
两条直线行走，并同时到达
D，E 两地．DA⊥AB，EB⊥
AB． D，E 与路段AB的距离
相等吗？为什么？
A
B
C
D
E
课堂练习
练习2 如图，AB =CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂
足分别为E ，F，CE =BF．求证：AE =DF．
A
B
C
D
E
F
如图 在△ABC中，BD、CE是高， BD、CE相交于点O，OB=OC，说明AB=AC的理由。
C
B
E
A
D
∟
∟
O
）1
2（
证明∵ BD、CE是高（已知）
∴ ∠CDB= ∠BEC= 90°（垂直的定义）
又∵ OB=OC （已知）
∴ ∠1= ∠2（等边对等角）
在△EBC和△DCB中
∠1= ∠2
∠CDB= ∠BEC
BC=CB（公共边）
∴△EBC≌ △DCB(A.A.S)
∴ ∠ABC= ∠ACB(全等三角形的对应角相等)
∴AB=AC(等角对等边)
｛
知识拓展
一般三角形的判定
直角三角形的判定
SAS
ASA
AAS
SSS
SAS
ASA
AAS
SSS
HL
知识归纳
（1）“HL”判定方法应满足什么条件？与之前所学的四种判定方法有什么不同？
（2）判定两个直角三角形全等有哪些方法？
课堂小结
1、H.L的判定方法仅适用直角三角形，因此使用H.L的判定方法时首先要看清大前提。
2、对直角三角形全等的判定可先考虑一般的方法，若不行，再考虑H.L的判定方法。
1、必做题：课本习题13.2 第1、2、6题。
2、选做题：
如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,BC=CD,
∠ADC+∠B=180°,试探究线段2AE与AB,
AD的数量关系。
A
D
B
C
E
作业布置
