高中数学人教A版2019必修第二册 8.1.1 《棱柱、棱锥、棱台》导学案（含答案）

棱柱、棱锥、棱台
1．通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型．
3．与平面几何体的有关概念、图形和性质进行适当类比，初步学会用类比的思想分析问题和解决问题．
1.数学抽象：多面体与旋转体等概念的理解；
2.逻辑推理：棱柱、棱锥、棱台的结构特点；
3.直观想象：判断空间几何体；
4.数学建模：通过平面展开图将空间问题转化为平面问题解决，体现了转化的思想方法.
重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征；
难点：棱柱、棱锥和棱台的侧面展开图问题.
预习导入
阅读课本97-100页，填写。
1、空间几何体
定义：如果只考虑物体的_________和_________，而不考虑其它因素，那么这些由物体抽象出来的_________就叫做空间几何体。
2、多面体与旋转体
多面体的定义：由__________________围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的______；相邻两个面的__________叫做多面体的棱；棱与棱的__________叫做多面体的顶点．
旋转体的定义：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定_________旋转所形成的_________叫做旋转体．
3、、几种基本空间几何体的结构特征
（1）棱柱：有两个面互相_________，其余各面都是_________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相_________。棱柱中，两个互相_________的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的_________叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的_________叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
用各顶点_________表示棱柱，如棱柱ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。
（2）棱锥：有一个面是_________，其余各面都是__________________的三角形.
底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又叫_________。
棱锥也用顶点和底面_________表示，如棱锥S-ABCD。
（3）棱台：用一个_________于棱锥底面的平面区截棱锥，_________之间的部分叫做棱台。
原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，棱台也有侧面、侧棱、顶点。
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
用各_________表示棱柱，如棱台ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)棱柱的侧面都是平行四边形．(　　)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．(　　)
(3)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台．(　　)
2．下面图形中，为棱锥的是(　　)
A．①③　　B．①③④ C．①②④ D．①②
3．下列图形中，是棱台的是(　　)
4．一个棱柱至少有______个面，顶点最少的一个棱台有______条侧棱．
题型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特点
例1　(1)下列命题中正确的是________．(填序号)
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
②棱柱的一对互相平行的平面均可看作底面；
③三棱锥的任何一个面都可看作底面；
④棱台各侧棱的延长线交于一点．
(2)关于如图所示几何体的正确说法的序号为________．
①这是一个六面体.
②这是一个四棱台.
③这是一个四棱柱.
④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到．
⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．　
跟踪训练一
1、棱台不具备的特点是(　　)
A．两底面相似　B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点
2、给出下列几个命题，其中错误的命题是(　　)
A．棱柱的侧面都是平行四边形
B．棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点
C．多面体至少有四个面
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
题型二 简单结合体的判断
例2　如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．
跟踪训练二
1、如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体有几个面、几个顶点、几条棱？
题型三 空间几何体的侧面展开图
例3　如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
例4　长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．
跟踪训练三
1．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是(　　)
2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是(　　)
A．1 B．2
C．快 D．乐
1．下面图形中，为棱锥的是(　　)
A．①③ B．①③④
C．①②④ D．①②
2．下列说法正确的是(　　)
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱
3．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．
4．一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图所示，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.
5．如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
答案
小试牛刀
1. (1) √ (2)× (3)×
2．C.
3．C.
4. 5 3.
自主探究
例1　【答案】(1)③④　(2)①③④⑤.
【解析】(1)结合有关多面体的定义及性质判断．对于①，还可能是棱台；对于②，只要看一个正六棱柱模型即知是错的；对于③，显然是正确的；④显然符合定义．故填③④.
(2)①正确．因为有六个面，属于六面体的范围．②错误．因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确．③正确．如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱．
④⑤都正确．如图所示．
跟踪训练一
【答案】1、C. 2、D.
【解析】1.由棱台的定义及特征知，A、B、D是棱台的特点，故选C.
2.根据各种几何体的概念与结构特征判断命题的真假．A、B均为真命题；对于C，一个图形要成为空间几何体，则它至少需有4个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应有4个面，而且这样的面必是三角形，故C也是真命题；对于D，只有当截面与底面平行时才对．
例2　【答案】(1)该长方体是棱柱，并且是四棱柱，祥见解析．
(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．
截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面.
【解析】(1)该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．
(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．
截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面.　
跟踪训练二
1、【答案】这个几何体有8个面；6个顶点；12条棱．
【解析】这个几何体有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．
例3　【答案】 ①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．
【解析】　①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．
例4　【答案】最短路线长为.
【解析】沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：
(1)若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝＝＝4.
(2)若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝＝＝3.
(3)若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝＝.
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.
跟踪训练三
【答案】1、C.2、B.
【解析】1、选C　将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以围成正方体．
2、选B　由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与2相对，0与快相对，所以下面是2.
当堂检测
1-2. CD 3. 5 6 9. 4. 60°.
5．【答案】见解析
【解析】过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC－A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(答案不唯一).
1 / 9