人教A版（2019）数学必修第一册5.1.1任意角 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
5.1.1　任意角
高一
必修一
情景引入
O
A
顺时针
仅有0°~ 360°范围内的角是不够的，因此有必要将角的范围推广到任意角。
本节目标
1．理解正角、负角、零角与象限角的概念．
2．掌握终边相同角的表示方法．
任务一：知识预习
课前预习
(1)正角、负角、零角是怎样规定的？ 　
(2)终边相同的角如何表示？
(3) 象限角与终边落在坐标轴上的角如何规定的？
预习课本P168～171，思考并完成以下问题
任务二：简单题型通关
课前预习
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．(　　)
(2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(　　)
(3)终边相同的角的表示不唯一．(　　)
√
√
√
课前预习
3．下列说法：
①第一象限角一定不是负角；
②第二象限角大于第一象限角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中错误的序号为____________(把错误的序号都写上)．
① ② ③ ④
①角的概念：角可以看成平面内_________绕着端点从一个位置_____到另一个位置所形成的图形．
一条射线
旋转
新知精讲
1.任意角的概念
②角的表示：如图，
(1)始边：射线的_____位置OA，
(2)终边：射线的_____位置OB，
(3)顶点：射线的_____O.
这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
端点
新知精讲
1.任意角的概念
开始
终止
正角 按_________方向旋转形成的角
零角 射线_____作任何旋转形成的角
负角 按_________方向旋转形成的角
逆时针
没有
顺时针
新知精讲
③角的分类：按旋转方向，角可以分为三类：
1.任意角的概念
①象限角：以角的_____为坐标原点，角的_____为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．
②轴线角：如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角．
顶点
始边
新知精讲
2.象限角与轴线角
α＋k·360°，k∈Z
周角
新知精讲
3.终边相同的角
①前提：α表示任意角．
②表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝_____________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个_____的和．
题型探究
题型一 任意角的概念
例1　(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　)
A．A＝B＝C B．A C
C．A∩C＝B D．B∪C C
D
题型探究
题型一 任意角的概念
(2)下面与－850°12′终边相同的角是(　　)
A．230°12′ B．229°48′
C．129°48′ D．130°12′
α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)
当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′
B
归纳总结
1．判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
归纳总结
2．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中β就是所求角．
(2)如果所给角的绝对值不大，可以通过如下方法完成：
当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；
当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求．
活学活用
1．有下列说法：
①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；
②终边相同的角一定相等；
③终边关于x轴对称的两个角α，β之和为k·360°，(k∈Z)．
其中正确说法的序号是________．
×
×
√
③
题型探究
题型二 象限角与区域角的表示
例2　(1)如图终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是(　　)
A．{α|k·360°＋30°<αB．{α|k·180°＋150°<αC．{α|k·360°＋150°<αD．{α|k·360°＋30°<αC
题型探究
题型二 象限角与区域角的表示
(2)已知角β的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围．
{β|n·180°＋60°≤β归纳总结
表示区间角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
活学活用
2．写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合．
{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}
易错误区
所在象限的判定方法及角的终边对称问题
探究1　由α所在象限如何求(k∈N*)所在象限？
(1)画图法：将各象限k等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1，2，3，4，循环下去，直到填满为止，则当α在第n象限时，就在n号区域．
易错误区
所在象限的判定方法及角的终边对称问题
探究1　由α所在象限如何求(k∈N*)所在象限？
(2)代数推导法：运用代数式一步一步推理．如：当角α在第二象限时，90＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，则30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z，所以在第一、二、四象限．
易错误区
所在象限的判定方法及角的终边对称问题
探究2　若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
(1)关于y轴对称
若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.
(2)关于x轴对称
若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.
(3)关于原点对称
若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.
(4)关于直线y＝x对称
若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.
易错误区
例3　(1)若α是第四象限角，则180°－α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
α是第四象限角
k·360°－90°<α－k·360°<－α<－k·360°＋90°
－k·360°＋180°<180°－α<－k·360°＋90°＋180°，k∈Z
当k＝0时，180°<180°－α<270°
C
易错误区
(2)已知α为第二象限角，则2α，分别是第几象限角？
90°＋k·360°<α<180°＋k·360°
180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z
2α是第三或第四象限角，
或是终边落在y轴的非正半轴上的角
45°＋·360°<<90°＋·360°
当k为偶数时，令k＝2n，n∈Z，
则45°＋n·360°< <90°＋n·360°
此时， 为第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，
则225°＋n·360°< <270°＋n·360°，
此时， 为第三象限角．
∴ 为第一或第三象限角．
达标检测
1．若α是第一象限角，则－是(　　)
A．第一象限角　　　 B．第一、四象限角
C．第二象限角 D．第二、四象限角
D
达标检测
2．与－457°角终边相同的角的集合是(　　)
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
C
达标检测
3．下列各角中，与角330°的终边相同的角是(　　)
A．510° B．150°
C．－150° D．－390°
D
达标检测
4．若角α与角β终边相同，则α－β＝_______________．
k·360°(k∈Z)
本课小结