第11章 三角形单元测试题(含答案)
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第十一章《三角形》单元检测题
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，图中直角三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（ ）
A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
3．下列物品不是利用三角形稳定性的是（ ）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．照相机的三脚架 D．放缩尺
4．边长为1、2、3、4、5、6的木棍各一根．随意组成三角形，共有（ ）种取法．
A．20 B．15 C．10 D．7
5．等腰三角形的周长为13 cm，其中一边长为3 cm，则该等腰三角形的底边长为( )
A．7 cm B．3 cm C．9 cm D．5 cm
6.下列说法中正确的是 ( )
A.三角形的外角大于任何一个内角 B.三角形的内角和小于外角和
C.三角形的外角和小于四边形的外角和
D.三角形的一个外角等于两个两个内角的和.
7．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的三条高是三条直线 B．直角三角形只有一条高
C．锐角三角形的三条高都在三角形内 D．三角形每一边上的高都小于其他两边
8．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．两定确定一条直线 D．三角形的稳定性
9．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（ ）个五边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
10．已知△ABC，
（1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+∠A；
（2）如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A；
（3）如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A．
上述说法正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题(每题3分，共24分)
11．三角形三边长分别为3，2a﹣1，4．则a的取值范围是 ．
12．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB=5，则它的周长等于 ．
13．如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A= ．
14．△ABC中，∠B=40°，D在BA的延长线上，AE平分∠CAD，且AE∥BC，则∠BAC= ．
15．如图，五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A=147°，∠B=121°，则∠C= ．
16．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C＝ 度．
17．一个机器人从点O出发，每前进1米，就向右转体a°（1＜a＜180），照这样走下去，如果他恰好能回到O点，且所走过的路程最短，则a的值等于 ．
18．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 ．
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19．如图：
(1)在△ABC中，BC边上的高是AB；
(2)在△AEC中，AE边上的高是CD；
(3)若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，求△AEC的面积及CE的长．
20．已知一个多边形的内角和与外角和之比为11∶2.
(1)求这个多边形的内角和；
(2)求这个多边形的边数．
21．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，CE是AB边上的高，且∠ACB＝60°，∠ADB＝97°，求∠A和∠ACE的度数．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B；求证：CD⊥AB；
23．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，点D是BC边上的一点，将△ACD沿AD折叠，点C恰好落在BC边上的点E处．
（1）直接填空：∠ADE的大小是 ；
（2）求∠BAE的大小．
24．阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝ ．
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A．
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．
答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D D B B C D B B
二、填空题
11．
【分析】根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为3，2a﹣1，4，
∴4﹣3＜2a﹣1＜4+3，
即1＜a＜4．
故答案为：1＜a＜4．
【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系的性质．
12．
【分析】分两种情况讨论：①Rt△ABC中，CD⊥AB，CD=AB=；②Rt△ABC中，AC=BC，分别依据勾股定理和三角形的面积公式，即可得到该三角形的周长为5+3或5+5．
【解答】解：如图所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，CD=AB=，
设BC=a，AC=b，则
，
解得a+b=5，或a+b=﹣5（舍去），
∴△AB长度周长为5+5；
如图所示，Rt△ABC中，AC=BC，
设BC=a，AC=b，则
解得
∴△AB长度周长为3+5；
综上所述，该三角形的周长为5+3或5+5．
故答案为：5+3或5+5．
【点评】本题主要考查了三角形的高线以及勾股定理的运用，解决问题给的关键是利用勾股定理进行推算．
13．
【分析】先根据角平分线的定义得到∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，则∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB），由于∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，所以∠BOC=90°+∠A，然后把∠BOC=110°代入计算可得到∠A的度数．
【解答】解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴∠BOC=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A，
而∠BOC=110°，
∴90°+∠A=110°
∴∠A=40°．
故答案为40°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
14．100°
15．92°
16．解：∵∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，
∴∠ABD＝∠ADB＝50°，
由三角形外角与外角性质可得∠ADC＝180°﹣∠ADB＝130°，
又∵AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC＝（180°﹣∠ADC）＝25°，
∴∠C＝25°．
17．解：根据题意，机器人所走过的路线是正多边形，
∴边数n＝360°÷a°，
走过的路程最短，则n最小，a最大，
n最小是3，a°最大是120°．
故答案为：120．
18．解：第一个是1×3，
第二个是2×4，
第三个是3×5，
…
第 n个是n （n+2）＝n2+2n
故答案为：n2+2n．
三、解答题
19．解：(1)AB
(2)CD
(3)∵AE＝3cm，CD＝2cm，∴S△AEC＝AE·CD＝×3×2＝3(cm2)．(5分)∵S△AEC＝CE·AB＝3cm2，AB＝2cm，∴CE＝3cm.
20.．解：(1)360°×＝1980°.
即这个多边形的内角和为1980°.
(2)设该多边形的边数为n，
则(n－2)×180°＝1980°，
解得n＝13.
即这个多边形的边数为13.
21．解：∵∠ADB＝∠DBC＋∠ACB，
∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB＝97°－60°＝37°.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABC＝74°，
∴∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝46°.
∵CE是AB边上的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝90°－∠A＝44°.
22．证明：
∵∠ACB=90° ∴∠A+∠B=90° ∵∠ACD=∠B ∴∠A+∠ACD=90° ∴∠ADC=90°
∴CD⊥AB
23．解：（1）∵将△ACD沿AD折叠，点C恰好落在BC边上的点E处，
∴∠ADE＝∠ADC＝180°＝90°，
故答案为：90°；
（2）由图形折叠的性质可得：∠AED＝∠C＝60°，
∵∠AED＝∠B+∠BAE，
∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝60°﹣40°＝20°．
24．解；（1）如图1，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB
∴∠OBC+∠OCB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠BAC）
＝（180°﹣60°）
＝60°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；
如图2，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACD
∵∠ACD＝∠ABC+∠A
∴∠OCD＝（∠ABC+∠A）
∵∠OCD＝∠OBC+∠O
∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC
＝∠ABC+∠A﹣∠ABC
＝∠A
＝30°
如图3，
∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD
∴∠OBC＝∠EBC，∠OCB＝∠BCD
∴∠OBC+∠OCB
＝（∠EBC+∠BCD）
＝（∠A+∠ACB+∠BCD）
＝（∠A+180°）
＝（60°+180°）
＝120°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°
如图4，
∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2
∴∠O2BC＝∠ABC，∠O2CB＝∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1平分BO2C
∴∠O2BC+∠O2CB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠BAC）
＝（180°﹣60°）
＝80°
∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100°
∴∠BO2O1＝∠BO2C＝50°
故答案为：120°，30°，60°，50°；
（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A．
（3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°
∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°
∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°
∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°
或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，
∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°
∴α＝20°，β＝25°
∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，
∴∠A＝70°．
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第十一章《三角形》单元检测题
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，图中直角三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（ ）
A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
3．下列物品不是利用三角形稳定性的是（ ）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．照相机的三脚架 D．放缩尺
4．边长为1、2、3、4、5、6的木棍各一根．随意组成三角形，共有（ ）种取法．
A．20 B．15 C．10 D．7
5．等腰三角形的周长为13 cm，其中一边长为3 cm，则该等腰三角形的底边长为( )
A．7 cm B．3 cm C．9 cm D．5 cm
6.下列说法中正确的是 ( )
A.三角形的外角大于任何一个内角 B.三角形的内角和小于外角和
C.三角形的外角和小于四边形的外角和
D.三角形的一个外角等于两个两个内角的和.
7．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的三条高是三条直线 B．直角三角形只有一条高
C．锐角三角形的三条高都在三角形内 D．三角形每一边上的高都小于其他两边
8．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．两定确定一条直线 D．三角形的稳定性
9．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（ ）个五边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
10．已知△ABC，
（1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+∠A；
（2）如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A；
（3）如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A．
上述说法正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题(每题3分，共24分)
11．三角形三边长分别为3，2a﹣1，4．则a的取值范围是 ．
12．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB=5，则它的周长等于 ．
13．如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A= ．
14．△ABC中，∠B=40°，D在BA的延长线上，AE平分∠CAD，且AE∥BC，则∠BAC= ．
15．如图，五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A=147°，∠B=121°，则∠C= ．
16．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C＝ 度．
17．一个机器人从点O出发，每前进1米，就向右转体a°（1＜a＜180），照这样走下去，如果他恰好能回到O点，且所走过的路程最短，则a的值等于 ．
18．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 ．
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19．如图：
(1)在△ABC中，BC边上的高是AB；
(2)在△AEC中，AE边上的高是CD；
(3)若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，求△AEC的面积及CE的长．
20．已知一个多边形的内角和与外角和之比为11∶2.
(1)求这个多边形的内角和；
(2)求这个多边形的边数．
21．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，CE是AB边上的高，且∠ACB＝60°，∠ADB＝97°，求∠A和∠ACE的度数．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B；求证：CD⊥AB；
23．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，点D是BC边上的一点，将△ACD沿AD折叠，点C恰好落在BC边上的点E处．
（1）直接填空：∠ADE的大小是 ；
（2）求∠BAE的大小．
24．阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝ ．
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A．
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．
答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D D B B C D B B
二、填空题
11．
【分析】根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为3，2a﹣1，4，
∴4﹣3＜2a﹣1＜4+3，
即1＜a＜4．
故答案为：1＜a＜4．
【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系的性质．
12．
【分析】分两种情况讨论：①Rt△ABC中，CD⊥AB，CD=AB=；②Rt△ABC中，AC=BC，分别依据勾股定理和三角形的面积公式，即可得到该三角形的周长为5+3或5+5．
【解答】解：如图所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，CD=AB=，
设BC=a，AC=b，则
，
解得a+b=5，或a+b=﹣5（舍去），
∴△AB长度周长为5+5；
如图所示，Rt△ABC中，AC=BC，
设BC=a，AC=b，则
解得
∴△AB长度周长为3+5；
综上所述，该三角形的周长为5+3或5+5．
故答案为：5+3或5+5．
【点评】本题主要考查了三角形的高线以及勾股定理的运用，解决问题给的关键是利用勾股定理进行推算．
13．
【分析】先根据角平分线的定义得到∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，则∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB），由于∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，所以∠BOC=90°+∠A，然后把∠BOC=110°代入计算可得到∠A的度数．
【解答】解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴∠BOC=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A，
而∠BOC=110°，
∴90°+∠A=110°
∴∠A=40°．
故答案为40°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
14．100°
15．92°
16．解：∵∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，
∴∠ABD＝∠ADB＝50°，
由三角形外角与外角性质可得∠ADC＝180°﹣∠ADB＝130°，
又∵AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC＝（180°﹣∠ADC）＝25°，
∴∠C＝25°．
17．解：根据题意，机器人所走过的路线是正多边形，
∴边数n＝360°÷a°，
走过的路程最短，则n最小，a最大，
n最小是3，a°最大是120°．
故答案为：120．
18．解：第一个是1×3，
第二个是2×4，
第三个是3×5，
…
第 n个是n （n+2）＝n2+2n
故答案为：n2+2n．
三、解答题
19．解：(1)AB
(2)CD
(3)∵AE＝3cm，CD＝2cm，∴S△AEC＝AE·CD＝×3×2＝3(cm2)．(5分)∵S△AEC＝CE·AB＝3cm2，AB＝2cm，∴CE＝3cm.
20.．解：(1)360°×＝1980°.
即这个多边形的内角和为1980°.
(2)设该多边形的边数为n，
则(n－2)×180°＝1980°，
解得n＝13.
即这个多边形的边数为13.
21．解：∵∠ADB＝∠DBC＋∠ACB，
∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB＝97°－60°＝37°.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABC＝74°，
∴∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝46°.
∵CE是AB边上的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝90°－∠A＝44°.
22．证明：
∵∠ACB=90° ∴∠A+∠B=90° ∵∠ACD=∠B ∴∠A+∠ACD=90° ∴∠ADC=90°
∴CD⊥AB
23．解：（1）∵将△ACD沿AD折叠，点C恰好落在BC边上的点E处，
∴∠ADE＝∠ADC＝180°＝90°，
故答案为：90°；
（2）由图形折叠的性质可得：∠AED＝∠C＝60°，
∵∠AED＝∠B+∠BAE，
∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝60°﹣40°＝20°．
24．解；（1）如图1，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB
∴∠OBC+∠OCB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠BAC）
＝（180°﹣60°）
＝60°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；
如图2，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACD
∵∠ACD＝∠ABC+∠A
∴∠OCD＝（∠ABC+∠A）
∵∠OCD＝∠OBC+∠O
∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC
＝∠ABC+∠A﹣∠ABC
＝∠A
＝30°
如图3，
∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD
∴∠OBC＝∠EBC，∠OCB＝∠BCD
∴∠OBC+∠OCB
＝（∠EBC+∠BCD）
＝（∠A+∠ACB+∠BCD）
＝（∠A+180°）
＝（60°+180°）
＝120°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°
如图4，
∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2
∴∠O2BC＝∠ABC，∠O2CB＝∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1平分BO2C
∴∠O2BC+∠O2CB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠BAC）
＝（180°﹣60°）
＝80°
∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100°
∴∠BO2O1＝∠BO2C＝50°
故答案为：120°，30°，60°，50°；
（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A．
（3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°
∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°
∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°
∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°
或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，
∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°
∴α＝20°，β＝25°
∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，
∴∠A＝70°．
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