数学人教A版2019选择性必修第二册4.1.1数列的概念与简单表示法 课件（共25张ppt）

(共25张PPT)
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4.1.1 数列的概念
与简单表示
情境导入
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在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.比如：
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记王芳第岁时的身高为，那么，，…，.
我们发现，中的反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数……是排在第17位的数，它们之间不能交换位置.所以，①是具有确定顺序的一列数.
情境1：王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高.将这些身高数据
(单位：)依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，
128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. ①
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记第天月亮可见部分的数为，那么，，…，.
这里，中的反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数……是排在第15位的数，它们之间不能交换位置.所以，②是具有确定顺序的一列数.
情境2：在两河流域发掘的一块泥版(编号，约产生于公元前7世纪)上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：5，10，20，40，80，112，128，144，160，176，192，208，224，240. ②
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思考1：你能仿造上面的叙述，说明也是具有确定顺序的一列数吗？上述例子的共同特征是什么？
情境3：的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：
，，，，…. ③
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①是按年龄从小到大的顺序排列的，②是按每月的日期从小到大的顺序排列的，③是按幂指数从小到大的顺序排列的，它们都是从第1项开始的.
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，常用符号表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项,用表示.其中第1项也叫首项.
项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.
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由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系：
序号 1 2 3 … …
项… …
数列的一般形式是
，简记为.
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所以数列是从正整数集(或它的有限子集)到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为.也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…就是数列.另一方面，对于函数，如果有意义()，那么，，…，，…构成了一个数列.
以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数.
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与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示.例如，数列①可以表示为下表.
它的图象如图所示.
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与函数类似，我们可以定义数列的单调性.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，各项都相等的数列叫做常数项.
如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.例如，数列的通项公式为
.显然，通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
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答案：×，√，×，√.
辨析1.判断正误.
(1)数列可表示为.( )
(2)数列1，1，1，…是无穷数列.( )
(3)所有的自然数构成的数列均为递增数列.( )
(4)有些数列没有通项公式.( )
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答案：5.
辨析2.若数列的通项满足，那么15是这个数列的第_____项.
答案：20.
辨析3.若数列的通项公式为
则等于______.
例析
例1.根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象.
(1)；(2).
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解(1)：当通项公式中的时，数列的前5项依次为1，3，6，10，15.图象如图所示.
(2)当通项公式中的时，数
列的前5项依次为1，0，-1，0，1.图象如图所示.
例析
例2.根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式.
(1)；(2).
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解(1)：这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为.
(2)这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为.
或常常用来表示正负相间的变化规律.
练习
题型一：数列的概念及分类
例1.下列说法正确的是( ).
A.是有穷数列
B.所有有理数能构成数列
C.-2，-1，1，3，4，5是一个项数为7的数列
D.数列1，2，3，4，…，2是无穷数列
答案：B.
练习
方法技巧：
1.有穷数列与无穷数列的判断
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.
2.数列单调性的判断
判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足，则是递增数列；若满足，则是递减数列；若满足，则是常数列.
练习
题型一：数列的概念及分类
变1.(多选)下面四个结论中正确的是( ).
A.数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数
B.数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C.数列的项数是无限的
D.数列的通项公式是唯一的
答案：AB.
练习
题型二：由数列的前几项求通项公式
例2.写出下列数列的一个通项公式：
(1)3，5，9，17，33，； (2)，8，
(2)观察可知，各项都可以化为分母为2，分子为对应项数的平方的形式，
∴该数列的一个通项公式为
解(1)：∵，，，
，，，
∴该数列的一个通项公式为.
练习
(3)2, (4)5，55，555，5555，.
(4)∵数列9，99，999，9999，的一个通项公式是，
∴将题中数列各项改写可得5=9，55=
由此可得该数列的一个通项公式为.
解(3)：数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为
再把各分母分别加上1，数列又变为
，∴.
练习
方法技巧：
(1)数列的通项公式实际上是以正整数集或它的有限子集为定义域的函数表达式.
(2)像不一定所有的函数关系都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.
练习
变2.数列的一个通项公式是（）.
A. B. C.D.
答案：C.
故.
解：已知数列可化为：，
练习
题型三：利用通项公式确定数列的项
例3.已知数列的通项公式为
(1)求这个数列的第5项，第10项.
(2)试问：15是不是中的项？3是不是中的项？
(2)，令，则有，
解得或(舍去).故15是该数列的第3项.
令，则有，
该方程不存在正整数解，故3不是该数列的项.
解(1)：∵，
∴当时，；当时，
练习
方法技巧：
已知数列的通项公式，判断某一个数是不是数列的项，即令通项公式等于该数，解关于的方程.若解得为正整数，则该数为数列的第项；若关于的方程无解有解但为非正整数解，则该数列不是数列中的项.
练习
变3.已知数列，则是该数列的第____项.
答案：7.
由，
∴是该数列的第7项.
解：∵，
∴
课堂小结
1.数列的定义：我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
2.项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，常用符
号表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项,用表示.
3.数列的表示：数列的一般形式是，简记为.
4.数列的通项公式：如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P5的练习1——4题；
(3)课本P8习题4.1第1、2、3、4题.