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整式的乘法与因式分解
14.1整式的乘法
14.1.4 整式的乘法（4） 整式的除法
一、同底数幂的除法
1、符号语言：am ÷an=am－n ( a≠0，m，n都是正整数，且m>n )
2、文字语言：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
3、规定：a0=1(a≠0)
即：任何不等于0的数的0次幂都等于1。
二、单项式与单项式相除
法则：单项式相除，把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式.
多项式除以单项式
1、法则：多项式除以单项式：是用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
2、注意：多项式除以单项式，就是将其转化为单项式除以单项式。
[命题角度1] 同底数幂的除法
【类型一】 直接用同底数幂的除法进行运算
【例1】计算：
(1)(－xy)13÷(－xy)8； (2)(x－2y)3÷(2y－x)2； (3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.
【类型二】 逆用同底数幂的除法进行计算
【例2】已知am＝4，an＝2，a＝3，求am-n-1的值．
【类型三】已知整式除法的恒等式，求字母的值
【例3】若a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，求a、m、n的值．
【类型四】整式除法的实际应用
【例4】一颗人造地球卫星的速度为2.88×107m/h，一架喷气式飞机的速度为1.8×106m/h，这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍？
[命题角度2] 零指数幂
【例5】若(x－6)0＝1成立，则x的取值范围是( )
A．x≥6 B．x≤6 C．x≠6 D．x＝6
[命题角度3] 单项式除以单项式
【例6】计算．
(1) (2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2； (2) (3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷(x2y6z)．
[命题角度4] 多项式除以单项式
【类型一】 直接利用多项式除以单项式进行计算
【例7】计算：(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)．
【类型二】 被除式、商式和除式的关系
【例8】已知一个多项式除以2x2，所得的商是2x2＋1，余式是3x－2，请求出这个多项式．
【类型三】 化简求值
【例9】先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.
1．下列说法正确的是( )
A．(π－3.14)0没有意义 B．任何数的0次幂都等于1
C．(8×106)÷(2×109)＝4×103 D．若(x＋4)0＝1，则x≠－4
2. 下列算式中，不正确的是( )
A．(－12a5b)÷(－3ab)＝4a4 B．9xmyn-1÷3xm-2yn-3＝3x2y2
C. 4a2b3÷2ab＝2ab2 D．x(x－y)2÷(y－x)＝x(x－y)
3. 已知28a3bm÷28anb2=b2，那么m，n的取值为( )
A．m=4，n=3 B．m=4，n=1 C．m=1，n=3 D．m=2，n=3
4. 一个长方形的面积为a2＋2a，若一边长为a，则另一边长为 .
5. 已知一多项式与单项式－7x5y4 的积为21x5y7－28x6y5，则这个多项式是 .
6. 计算：
(1) 6a3÷2a2； (2) 24a2b3÷3ab； (3)－21a2b3c÷3ab； (4) (14m3－7m2＋14m)÷7m.
先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝－3.
(1) 若32 92x＋1÷27x＋1=81，求x的值;
(2) 已知5x=36，5y=2，求5x－2y的值;
(3) 已知2x－5y－4=0，求4x÷32y的值．
1、2、3、
知识清单
能力拓展
课后训练
知识小结
课后反思
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整式的乘法与因式分解
14.1整式的乘法
14.1.4 整式的乘法（4） 整式的除法
一、同底数幂的除法
1、符号语言：am ÷an=am－n ( a≠0，m，n都是正整数，且m>n )
2、文字语言：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
3、规定：a0=1(a≠0)
即：任何不等于0的数的0次幂都等于1。
二、单项式与单项式相除
法则：单项式相除，把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式.
多项式除以单项式
1、法则：多项式除以单项式：是用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
2、注意：多项式除以单项式，就是将其转化为单项式除以单项式。
[命题角度1] 同底数幂的除法
【类型一】 直接用同底数幂的除法进行运算
【例1】计算：
(1)(－xy)13÷(－xy)8； (2)(x－2y)3÷(2y－x)2； (3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.
【解析】：利用同底数幂的除法法则即可进行计算，其中(1)应把(－xy)看作一个整体；(2)把(x－2y)看作一个整体，2y－x＝－(x－2y)；(3)注意(a2＋1)0＝1.
【解答】解：(1)(－xy)13÷(－xy)8＝(－xy)13－8＝(－xy)5＝－x5y5；
(2)(x－2y)3÷(2y－x)2＝(x－2y)3÷(x－2y)2＝x－2y；
(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2＝(a2＋1)6－4－2＝(a2＋1)0＝1.
【方法总结】：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，再根据法则计算．
【类型二】 逆用同底数幂的除法进行计算
【例2】已知am＝4，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．
【解析】：先逆用同底数幂的除法，对am－n－1进行变形，再代入数值进行计算．
【解答】解：∵am＝4，an＝2，a＝3，∴am－n－1＝am÷an÷a＝4÷2÷3＝.
【方法总结】：解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出am－n－1＝am÷an÷a.
【类型三】已知整式除法的恒等式，求字母的值
【例3】若a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，求a、m、n的值．
【解析】：利用积的乘方的计算法则以及整式的除法运算得出即可．
【解答】解：∵a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，∴ax3my12÷9x4y2n＝4x2y2，∴a÷9＝4，3m－4＝2，12－2n＝2，解得a＝36，m＝2，n＝5.
【方法总结】：熟练掌握积的乘方的计算法则以及整式的除法运算是解题关键．
【类型四】整式除法的实际应用
【例4】一颗人造地球卫星的速度为2.88×107m/h，一架喷气式飞机的速度为1.8×106m/h，这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍？
【解析】：求人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍，用人造地球卫星的速度除以喷气式飞机的速度，列出式子：(2.88×107)÷(1.8×106)，再利用同底数幂的除法计算．
【解答】解：(2.88×107)÷(1.8×106)＝(2.88÷1.8)×(107÷106)＝1.6×10＝16.则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的16倍．
【方法总结】：用科学记数法表示的数的运算可以利用单项式的相关运算法则计算．
[命题角度2] 零指数幂
【例5】若(x－6)0＝1成立，则x的取值范围是( )
A．x≥6 B．x≤6 C．x≠6 D．x＝6
【解析】：∵(x－6)0＝1成立，∴x－6≠0，解得x≠6.
【解答】故选C.
【方法总结】：本题考查的是0指数幂，非0数的0次幂等于1，注意0指数幂的底数不能为0.
[命题角度3] 单项式除以单项式
【例6】计算．
(1) (2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2； (2) (3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷(x2y6z)．
【解析】：先算乘方，再根据单项式除单项式的法则进行计算即可．
【解答】解：(1)(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2＝16a8b8c4z÷4a2b4c4＝4a6b4z；
(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷(x2y6z)＝81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z＝18x4y2z.
【方法总结】：掌握整式的除法的运算法则是解题的关键，有乘方的先算乘方，再算乘除．
[命题角度4] 多项式除以单项式
【类型一】 直接利用多项式除以单项式进行计算
【例7】计算：(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)．
【解析】：根据多项式除单项式，先用多项式的每一项分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加．
【解答】解：原式＝72x3y4÷(－9xy2)＋(－36x2y3)÷(－9xy2)＋9xy2÷(－9xy2)＝－8x2y2＋4xy－1.
【方法总结】：多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加．
【类型二】 被除式、商式和除式的关系
【例8】已知一个多项式除以2x2，所得的商是2x2＋1，余式是3x－2，请求出这个多项式．
【解析】：根据被除式、除式、商式、余式之间的关系解答．
【解答】解：根据题意得：2x2(2x2＋1)＋3x－2＝4x4＋2x2＋3x－2，则这个多项式为4x4＋2x2＋3x－2.
【方法总结】：“被除式＝商×除式＋余式”是解题的关键．
【类型三】 化简求值
【例9】先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.
【解析】：利用去括号法则先去括号，再合并同类项，然后根据除法法则进行化简，最后把x与y的值代入计算，即可求出答案．
【解答】解：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y＝[2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y]÷x2y＝x－y，把x＝2015，y＝2014代入上式得：原式＝x－y＝2015－2014＝1.
【方法总结】：熟练掌握去括号，合并同类项，整式的除法的法则．
1．下列说法正确的是( D )
A．(π－3.14)0没有意义 B．任何数的0次幂都等于1
C．(8×106)÷(2×109)＝4×103 D．若(x＋4)0＝1，则x≠－4
2. 下列算式中，不正确的是( D )
A．(－12a5b)÷(－3ab)＝4a4 B．9xmyn-1÷3xm-2yn-3＝3x2y2
C. 4a2b3÷2ab＝2ab2 D．x(x－y)2÷(y－x)＝x(x－y)
3. 已知28a3bm÷28anb2=b2，那么m，n的取值为（ A ）
A．m=4，n=3 B．m=4，n=1 C．m=1，n=3 D．m=2，n=3
4. 一个长方形的面积为a2＋2a，若一边长为a，则另一边长为 a＋2 .
5. 已知一多项式与单项式－7x5y4 的积为21x5y7－28x6y5，则这个多项式是 －3y3＋4xy .
6. 计算：(1) 6a3÷2a2； (2) 24a2b3÷3ab； (3)－21a2b3c÷3ab； (4) (14m3－7m2＋14m)÷7m.
解：(1) 6a3÷2a2＝(6÷2)(a3÷a2)=3a.
24a2b3÷3ab=(24÷3)a2－1b3－1=8ab2.
－21a2b3c÷3ab=(－21÷3)a2－1b3－1c=－7ab2c;
(14m3－7m2＋14m)÷7m
=14m3÷7m－7m2÷7m＋14m÷7m
= 2m2－m＋2.
先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝－3.
解：原式＝x2－y2－2x2＋4y2
＝－x2＋3y2.
当x＝1，y＝－3时，
原式＝－12＋3×(－3)2＝－1＋27＝26.
(1) 若32 92x＋1÷27x＋1=81，求x的值;
(2) 已知5x=36，5y=2，求5x－2y的值;
(3) 已知2x－5y－4=0，求4x÷32y的值．
解：(1) 32 34x＋2÷33x＋3=81，
即 3x＋1=34，
解得x=3；
52y=（5y）2=4，
5x－2y=5x÷52y=36÷4=9．
∵2x－5y－4=0，
移项，得2x－5y=4．
所以 4x÷32y=22x÷25y=22x－5y=24=16．
1、2、3、
知识清单
能力拓展
课后训练
知识小结
课后反思
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