高中数学人教A版2019必修第二册 8.2 《立体图形的直观图》导学案（含答案）

立体图形的直观图
1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．
2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．
1.教学重点：斜二测画法的步骤；
2.教学难点：会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图。
1．斜二测画法
我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的 画法．
2．空间几何体直观图的画法
(1)与平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的 轴，直观图中与之对应的是 轴；
(2)平面 表示水平平面，平面 和 表示竖直平面；
(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中 和 都不变．
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为 ．
一、探索新知
思考：如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？
1.斜二测画法。利用平行投影，人们获得的画直观图的方法是斜二测画法。
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤：
练习：用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图．
例1.用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图。
规则：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的轴和轴,两轴相交于,且使 ,它们确定的平面表示水平面；
（2）已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段；
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
结论：画直观图时，除多边形外，还会遇到画圆的直观图的问题，生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来象椭圆，因此一般用椭圆作为圆的直观图，画图时，常用如图椭圆模板。
练习：
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确。
(1) 相等的线段在直观图中仍然相等。 （ ）
(2) 平行的线段在直观图中仍然平行。 （ ）
(3)一个角的直观图仍然是一个角。 （ ）
(4) 相等的角在直观图中仍然相等。 （ ）
例2.已知长方体的长,宽,高分别是3cm,2cm,1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图。
已知圆柱的底面半径为1cm.侧面母线长3cm，画出它的直观图。
结论：圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线。画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心得截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性。
例4.某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合。画出这个组合体的直观图。
1.判断正误
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
(1)原来相交的仍相交. (　　)
(2)原来垂直的仍垂直. (　　)
(3)原来平行的仍平行. (　　)
(4)原来共点的仍共点. (　　)
2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
3．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为 ．
4．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．
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参考答案：
思考：平行四边形
1.
练习：解：①以正方形的中心为原点，平行与边的直线为x轴,y轴建立如图所示的坐标系；
②建立=45°的坐标系
③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x’、y’轴，但横向长度不变，纵向长度减半
例1.解：（1）在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O。画相应的轴和轴，两轴相交于点，使
（2）以为中心，在轴上取，在轴上 取，以点为中心，画平行与轴，并且等于BC；再以为中心，画平行于轴，并且等于EF。
（3）连接 ，并擦去辅助线轴和轴，便获正六边形ABCDEF水平放置的直观图 。
练习：（1）× （2）√ （3） √ （4） ×
例2.解：画法：（1）画轴。画三轴交于点O，使。
画底面。在x轴正半轴上取线段AB，使AB=3cm，在y轴正半轴上取线段AD，使AD=1cm,过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C,则平行四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图。
（3）画侧棱。在z轴正半轴上取线段，使，过B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段
（4）成图。顺次连接，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线），就可得到长方体的直观图。
例3.
例4.解：画法：如图，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图。
达标检测
1.【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2.【答案】C　
【解析】正方形的直观图应是一个内角为45°的平行四边形，且相邻的两边之比为2∶1，故选C.
3.【答案】10　
【解析】由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2.故原四边形OPQR的周长为10.
4.【解析】　(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．
　　　①　　　　 ②　　　　　　③
(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC.
(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，
四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．
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