高中数学人教A版2019必修第二册 8.2 《立体图形的直观图》导学案（含答案）

立体图形的直观图
1．掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图．
2．通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图．
1.数学抽象：斜二测画法的理解；
2.数学运算：与直观图还原的有关计算；
3.数学建模：画平面几何和空间几何体的直观图.
重点：用斜二测画法画空间几何值的直观图；
难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图.
预习导入
阅读课本107-111页，填写。
1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴， 两轴相交于点O′，且使____________________________，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成_____于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中_______________，平行于y轴的线段，______________________.
2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出__________(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．
(3)擦去辅助线，__________用虚线表示．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°(　　)
(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变 (　　)
2．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的 (　　)
3.已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为________．
题型一 水平放置的平面图形直观图的画法
例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
跟踪训练一
1.画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图.
题型二 几何体的直观图画法
例2　用斜二测画法画长、宽、高分别是3 cm、2 cm、1.5 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．
例3 已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长为3cm的圆柱的直观图.
跟踪训练二
1．用斜二测画法画一个底面边长为4 cm，高为6 cm的正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图．
2.一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3 cm,高为4 cm,圆锥的高为3 cm,画出此几何体的直观图.
题型三 与直观图还原有关的计算问题
例4　如图所示，水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1 cm的正方形O′A′B′C′，则原图形的周长是______ cm.
跟踪训练三
1、已知△ABC是正三角形，且它的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
1．利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（ ）
①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形.
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
2．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）．
A． B．
C． D．
3．用斜二测画法画出的水平放置的一角为60°，边长是4的菱形的直观图的面积是______.
4．如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是______.（填序号）①；②；③；④.
5． 画棱长为2 cm的正方体的直观图．
答案
小试牛刀
1. (1)× (2)×
2．A.
3．9.
自主探究
例1 【答案】见解析.
【解析】（1）如图（1），在正六边形中，取所在直线为x轴，
的垂直平分线为y轴，两轴相交于点O.在图（2）中，画相应的
轴与轴，两轴相交于点，使.
（2）在图（2）中，以为中点，在x轴上取，在轴上取以点为中点，画平行于轴，并且等于；再以为中点，画平行于轴，并且等于.
（3）连接，并擦去辅助线轴和轴，便获得正六边形水平放置的直观图图（3）.　　
跟踪训练一
1.【答案】见解析
【解析】　(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，在y′轴上截取O′A′＝AO＝ cm，连接A′B′、A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．
(3)擦去坐标轴得直观图△A′B′C′.
例2　【答案】见解析
【解析】　(1)画轴．如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝3cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1cm.分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱，过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取1.5 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.
(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)．
例3 【答案】见解析
【解析】(1)画轴.如图所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.
(2)画下底面.在x轴上取A,B两点,使OA=OB= 1 cm.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.
(3)画上底面.在Oz上截取点O′,使OO′=3cm,过O′作Ox的平行线O′x′,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.
(4)成图.连接AA′，BB′,整理得到圆柱的直观图.
跟踪训练二
1．【答案】见解析
【解析】(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，记坐标原点为O，如图①所示．
(2)画底面：按x′轴、y′轴画边长为4 cm的正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′，使它们都等于6 cm.
(4)成图：顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图，如图②所示．
2.【答案】见解析
【解析】(1)画轴.如图1所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.
(2)画圆柱的两底面.在x轴上取A,B两点,使AB的长度等于3 cm,且OA=OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点O′,使OO′=4cm,过O′作Ox的平行线O′x′,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.
(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO′等于圆锥的高3 cm.
(4)成图.连接A′A,B′B,PA′,PB′,整理得到此几何体的直观图,如图2所示.
例4　【答案】 8．
【解析】将直观图还原为原图形，如图所示，可知原图形为平行四边形，且AO⊥BO.又 OA＝O′A′＝1 cm，OB＝2O′B′＝2 cm，所以AB＝＝3 cm.
故原图形的周长为2×(1＋3)＝8(cm)．
跟踪训练三
1、【答案】D.
【解析】选D　由于S△ABC＝a2，且＝，所以S△A′B′C′＝S△ABC＝×a2＝a2.
当堂检测
1-2. BA
3. .
4. ③.
5．【答案】见解析
【解析】(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2 cm，AD＝1 cm.
(2)过点A作z′轴，使∠BAz′＝90°，分别过点A，B，C，D，沿z′轴的正方向取AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2 cm.
(3)连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1如下图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形如下图②就是所求的正方体的直观图．
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