高中数学人教A版2019必修第二册 8.3 《棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》名师课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
锥顶柱身立海天，
高低大小也浑然.
平行垂直皆风景，
有棱有角足壮观.
复习引入
底面
顶点
侧棱
侧面
空间几何体的结构
复习引入
上底面
侧面
下底面
侧棱
顶点
轴
底面
侧面
母线
复习引入
人教A版同步教材名师课件
简单几何体的表面积与体积
---棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
学习目标
学 习 目 标 核心素养
知道柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式 数学运算
能用公式解决简单的实际问题 数学建模
学习目标
课程目标
1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究,掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．
2.能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
数学学科素养
1.数学抽象:棱柱、棱锥、棱台的体积公式;
2.数学运算:求多面体或多面体组合体的表面积和体积;
3.数学建模:数形结合,运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
思考:面积是相对于平面图形而言的，体积是相对于空间几何体而言的.你知道面积的含义吗？
面积:平面图形所占平面的大小
探究新知
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
探究新知
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
平面图形面积
空间问题
平面问题
探究新知
正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和．
棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
探究新知
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
h
棱柱的展开图
正棱柱的侧面展开图
探究新知
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱锥的展开图
正三棱锥的侧面展开图
探究新知
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱锥的展开图
侧面展开
正棱锥的侧面展开图
探究新知
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱台的展开图
侧面展开
h'
h'
正棱台的侧面展开图
探究新知
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积与底面面积之和
h'
探究新知
思考1:你还记得正方体、长方体和圆柱的体积公式吗？它们可以统一为一个什么公式？
思考2:推广到一般的棱柱和圆柱，你猜想柱体的体积公式是什么？
高h
底面积S
探究新知
思考3:关于体积有如下几个原理：
（1）相同的几何体的体积相等；
（2）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和； （3）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等； （4）体积相等的两个几何体叫做等积体.
探究新知
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？
1
2
3
1
2
3
探究新知
思考4:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜想锥体的体积公式是什么？
高h
底面积S
探究新知
思考5:根据棱台和圆台的定义，如何计算台体的体积？
设台体的上、下底面面积分别为S′、S,高为h,那么台体的体积公式是什么？
高h
下底面积S
上底面积S′
探究新知
思考6:在台体的体积公式中,若,则公式分别变形为什么？
探究新知
例1、已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积 ．
D
B
C
A
S
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
因为BC=a，
所以：
先求的面积，过点S 作 ，交BC于点D．
因此，四面体S-ABC 的表面积为：
典例讲解
解析
例2、已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为，如图所示，则正四棱锥的侧面积和表面积分别为_______________．
正棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.
典例讲解
因为所以.
因此
,
解析
求棱柱、棱锥、棱台表面积的基本步骤
①清楚各侧面的形状，求出每个侧面的面积．
②求出其底面的面积．
③求和得到表面积．
方法归纳
例3、如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．
(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥A -A1BD的体积及高．
典例讲解
.
故剩余部分的体积.
设三棱锥的高为
.
解析
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等．
求几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
方法归纳
例4、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为( 　)
A．72　　　　 B．66 C．60 D．30
由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱，且底面为直角三角形，直角边长分别为3和4，斜边长为5，三棱柱的高为5，如右图所示
A
典例讲解
解析
已知几何体的三视图求其表面积或体积时，先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中所给数据，得到直观图中计算表面积和体积所需要的有关数据，再利用表面积或体积公式求解．
方法归纳
变式训练
如图，已知某几何体的三视图如下（单位：cm）求这个几何体的表面积及体积.
解析
这个几何体的直观图如图所示.
这个几何体可看作是正方体与直三棱柱的组合体.由，，可得.
故这个几何体的表面积
，
这个几何体的体积
典例讲解
解析
把三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，
再转化为三棱锥的体积.
例5、在三棱柱中，，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形.设点分别是棱的中点，则三棱锥的体积是__________.
思路分析
由题意知三棱柱是一个直三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，如图所示，
则
.
方法归纳
等体积转化法主要用于解决三棱锥的体积问题，运用时注意以下两点：
（1）三棱锥的“等积性”，即计算三棱锥的体积时可以用任意一个面作为三棱锥的底面.
（2）求三棱锥的体积时，可选择容易计算高（或底面三角形的面积）的方式来计算.
素养提炼
2.在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”“补体思想”及“等价转化思想”．
1.计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．
当堂练习
1.正四棱台的两底面边长分别为1cm，2cm，高是1cm，它的表面积为( )
2.正三棱锥的底面周长为6，高为，则此棱锥的体积为( )
3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )
D
D
B
柱体、锥体、台体的表面积
各面面积之和
展开图
柱体、锥体、台体的体积
锥体
台体
柱体
归纳小结
作 业
P116 练习：1、3