高中数学人教A版2019必修第二册 8.3 《圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》名师课件（共41张PPT）

(共41张PPT)
柱体、锥体、台体的表面积
各面面积之和
展开图
柱体、锥体、台体的体积
锥体
台体
柱体
复习引入
人教A版同步教材名师课件
简单几何体的表面积与体积
---圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
学习目标
学 习 目 标 核心素养
知道柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式 数学运算
能用公式解决简单的实际问题 数学建模
学习目标
课程目标
1.通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．
2.能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
数学学科素养
1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；
2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；
3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积与底面面积之和
h'
探究新知
探究新知
类比棱柱、棱锥、棱台的表面积推导过程，我们共同研究圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱的表面积
O
圆柱的侧面展开图是矩形
探究新知
类比棱柱、棱锥、棱台的表面积推导过程，我们共同研究圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆锥的表面积
圆锥的侧面展开图是扇形
O
探究新知
类比棱柱、棱锥、棱台的表面积推导过程，我们共同研究圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆台的表面积
O
O’
圆台的侧面展开图是扇环
O
O’
O
O
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
r’＝r
上底扩大
r’＝0
上底缩小
探究新知
1．棱长为a的正方体表面积为 .
2．底面半径为r，母线长为l的圆柱侧面积为 ，表面积为 .
3．底半径为r，母线长为l的圆锥侧面积为 ，表面积为 .
4．上、下底半径分别为r、R，母线长为l的圆台侧面积为 ，表面积为 .
6a2
2πrl
2πr(l＋r)
πrl
πr(l＋r)
π(R＋r)l
π(R2＋r2＋rl＋Rl)
探究新知
5.正方体的表面积为24，则棱长为 .
6.高为2，底半径为1的圆锥侧面积为 .
7.圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则其表面积为 .
2
6π
探究新知
π
我们知道柱体的体积公式是
高h
底面积S
探究新知
圆柱的体积公式就是
O
锥体的体积公式是
高
底面积
探究新知
O
圆锥的体积公式就是
台体的体积公式是
高h
下底面积S
上底面积S′
探究新知
O
O’
圆台的体积公式就是
探究新知
球的体积和面积
设球的半径为，它的表面积只与半径有关，是以为自变量的函数.
事实上，如果球的半径为，那么它的表面积是
探究新知
球的体积和面积
圆面积计算公式的导出方法如下：
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是
那么圆的面积就近似等于
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式．
分割
求近似和
化为准确和
探究新知
球的体积和面积
类比利用圆周长求圆面积的方法，我们利用球的表面积来求球的体积.
探究新知
球的体积和面积
如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”.
探究新知
球的体积和面积
当越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径.则每个小锥体的体积就是：
由于球的体积就是这个“小锥体”的体积之和，而这个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.因此，球的体积
探究新知
球的体积和面积
例1、圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是，那么圆台的表面积是多少？
如图所示,设圆台的上底面周长为c,因为扇环的圆心角是,
故c＝π·SA＝2π×10.
同理可得SB＝40,所以AB＝SB－SA＝20.
典例讲解
解析
所以
故圆台的表面积为.
求圆柱、圆锥、圆台的表面积的步骤
①得到空间几何体的展开图.
②依次求出各个平面图形的面积.
③将各平面图形的面积相加.
方法归纳
典例讲解
例2、如图,一圆柱被一平面所截,已知被截后几何体的最长母线长为4,最短母线长为1,且圆柱底面半径为2,求该几何体的体积.
解析
分割法
如图，该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上面的圆柱体积的一半之和下面的圆柱的高就是该几何体的最短母线长1，而上面的圆柱的高为3.
于是.
典例讲解
例2、如图,一圆柱被一平面所截,已知被截后几何体的最长母线长为4,最短母线长为1,且圆柱底面半径为2,求该几何体的体积.
解析
补形法
于是.
如图，将一个与已知的几何体完全相同的几何体与已知的几何体拼在一起组成一个高为5的圆柱，那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半.
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等．
求几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别
求体积．
方法归纳
方法归纳
补形常见情况如下：
a.将正四面体补为正方体，如图.
b.将相对棱长相等的三棱锥补成长方体，如图.
c.将三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体，如图所示PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC.
方法归纳
d.将三棱锥补成三棱柱或平行六面体，如图.
e.将三棱柱补成平行六面体，如图.
f.将台体补成锥体，如图.
变式训练
1.如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且均为正三角形， ∥,求该多面体的体积.
解析
.
如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为点.连接，容易求得.
所以,
典例讲解
例3、圆锥的高和底面半径相等,它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等,求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比及体积之比.
作几何体的轴截面如图所示,设圆柱和圆锥的底面半径分别是r,R,高分别为,,圆锥的母线长为l.
解析
由题意知则有 ,
所以 .
.
所以.
方法归纳
设圆锥中平行于底面的截面半径为r，原底面半径为R，则截得的小圆锥的高与原圆锥的高之比为，截得的小圆锥的侧（表）面积与原圆锥的R侧（表）面积之比为，截得的小圆锥的体积与原圆锥的体积之比为.
典例讲解
解析
组合体的表面积
组合体的体积.
例4、某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中,试求该组合体的表面积和体积.
典例讲解
例5、一个球内有相距的两个平行截面，面积分别为和.试求球的半径.
解析
当两个截面在球心同侧时，如图所示：
设，由题意知.
.同理可得
设球的半径为，依题意，得
即解得
.
典例讲解
例5、一个球内有相距的两个平行截面，面积分别为和.试求球的半径.
解析
当两个截面在球心异侧时，如图所示
设，则，
由题意得，
.同理可得.
设球的半径为，依题意，得,
即，此方程无正数解，故此种情况不存在.
综上可知，所求球的半径为25cm.
方法归纳
1.球的轴截面是一个圆面，它的半径与球的半径相等.
2.未明确球心与两平行截面间的位置关系时，需分两截面在球心同侧、异侧进行讨论.
3.与球有关的问题常常借助于球的轴截面性质列方程（组）求球的半径.轴截面为空间问题转化到平面几何问题创造了条件.
变式训练
解析
由题意知所得截面为圆，设该截面圆的半径为，
则
所以所得截面的面积与球的表面积的比值为.
2. 过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比值为（ ）
D
变式训练
3.已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且
,求球的表面积和体积.
解析
∵,∴是直角三角形，且∠ABC=90°.
设,则球的半径R、截面圆半径r存在于这一基本图形中，
由题设知,,
∵球心在截面的射影为截面圆的圆心，即是的外接圆圆心，
∴斜边AC为截面圆的直径（如图所示）
变式训练
解析
∴ ,即①
又将r=15代入①得=
∴球的表面积 ,
球的体积
3.已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且
,求球的表面积和体积.
3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”“补体思想”及“等价转化思想”．
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．
2．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．
素养提炼
当堂练习
1.若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为( )
A.2：1 B.2：3 C.2：π D.2：5
2.三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )
A.1倍 B.2倍 C. 倍 D. 倍
A
C
3.设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是( )
A.V1比V2大约多一半 B.V1比V2大约多两倍半
C. V1比V2大约多一倍 D.V1比V2大约多一倍半
4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为_________.
D
2:1
归纳小结
圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
球的表面积和体积
表面积：S球=4πR2
旋转体的表面积和体积
体积：V球=πR3
表面积
体积
S圆柱=2πr（r+l）
S圆台=
S圆锥=πr（r+l）
V圆柱=πr2h
V圆台=
V圆锥=π r2h
作 业
P119 练习：1、3