高中数学人教A版2019必修第二册 8.3.2《简单几何体的表面积与体积课时2》教学设计

《简单几何体的表面积与体积》教学设计
课时2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 逻辑推理数学运算 直观想象 【考查内容】 主要是利用柱、锥、台、球的体积公式和表面积公式进行计算.应用较多的是棱锥的体积公式以及球的体积和表面积公式 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
2.棱柱、棱锥、棱台的体积 逻辑推理数学运算 直观想象
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积 逻辑推理数学运算 直观想象
4.圆柱、圆锥、圆台的体积 逻辑推理数学运算 直观想象
5.球的表面积与体积 逻辑推理数学运算 直观想象
一、本节内容分析
本节从学生熟悉的正方体和长方体的平面展开图入手,分析展开图与其表面积的关系,目的首先是复习表面积的概念,即表面积是各个面的面积的和:其次是介绍求几何体表面积的方法(把它们展成平面图形,利用平面图形求面积的方法求表面积).
本节根据圆柱、圆锥的几何结构特征,求它们的表面积,教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征,在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形,圆锥的侧面可以展开成为扇形,随后圆台表面积也可以按照这样的思路进行教学.柱体和锥体的体积计算,是经常要解决的问题,虽然有关公式学生已有所了解,但进步了解这些公式的推导,有助于学生理解和掌握这些公式,为此,要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之间的关系,教学中,可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论.对于球则直接给出了球的表面积并且引导学生推导了球的体积公式,并用例题说明其应用.
本节课在教学过程中应使学生了解简单几何体的表面积和体积公式,并能够利用这些公式解决简单的实际问题,同时感受转化、类比、一般化与特殊化、极限等数学思想方法,提高逻辑推理、直观想象等核心素养和空间想象等能力.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 2.棱柱、棱锥、棱台的体积 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积 4.圆柱、圆锥、圆台的体积 5.球的表面积与体积 逻辑推理 数学运算 直观想象 核心素养
二、学情整体分析
有初中所学的求三角形、圆等几何图形的面积的基础,本节课学起来相对容易一些,教师需要注意在学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积公式后,可以引导学生用运动、变化的观点来分析它们之间的关系,由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台,圆锥可看成上底面半径为零的圆台,因此圆柱、圆锥可以看成圆台的特例,这样,圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下,体积公式也可以做出类似的推理.
初中学习了圆的面积公式后,再来学习球的表面积和体积公式,应该顺理成章,容易接受一些,本节课的重难点知识是球的体积公式的应用不是公式的推导,教师应该把学生的注意力引导到公式的具体应用上来,为后续的课程的学习打下良好的基础.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积
4.圆柱、圆锥、圆台的体积
5.球的表面积与体积
【教学目标设计】
1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式.
2.了解圆柱、圆锥、圆台侧面积公式的推导过程.
3.了解柱体、锥体、台体体积公式的联系.
4.会用以上公式解决相应的面积与体积问题.
【教学策略设计】
1.多面体的表面积的计算可放手交给学生自己独立完成,教师做好引导即可.教学的重点是多面体的体积公式及计算,借助计算机辅助软件可直观展示出棱柱与棱锥的体积公式间的关系,然后再通过例题展示体积公式的使用,帮助学生掌握求简单组合体的体积.
2.引导学生回顾圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征,得出圆柱、圆锥的侧面展开图,进行表面积的探究过程.
3.得出柱体、锥体、台体的体积公式后,要引导学生思考这些公式之间的关系,建立它们的联系.
4.教学时除了利用极限思想得出球的体积公式外,还可以利用祖暅原理推导出球的体积公式.
【教学方法建议】
情境教学法、尝试教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点
1.掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积计算方法,能计算简单组合体的表面积和体积.
2.了解球的体积和表面积公式,并能够应用它们解决几何体的计算问题.
难点
1.用联系、类比、运动、变化的思想推导柱体、锥体、台体的表面积公式.
2.推导球的体积公式.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
探究1 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积
师:在前面我们已经学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积,那么对于圆柱、圆锥圆台等旋转体,它们的表面积和体积又该如何计算呢
【师生活动】学生思考问题后讨论、交流回答,教师点明课题.
师:在上一节课我们已经学习了如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积,你还记得用什么方法求的吗
生:通过展开转化为求平面图形面积.
师:圆柱的侧面展开图是什么 圆锥的侧面展开图是什么
生:圆柱的侧面展开图是一个矩形,圆锥的侧面展开图是一个扇形.
师:类比棱柱和棱锥,根据圆柱、圆锥的几何结构特征,如何求它们的表面积
生:它们的表面积等于侧面面积与底面面积的和.
师:如果圆柱的底面半径为,母线长为,那么圆柱的表面积如何表示
生:圆柱的表面积面积.
师:如果圆锥的底面半径为,母线长为,那么圆锥的表面积如何表示
生:圆锥的表面积.
师:联系圆柱、圆锥的侧面展开图,你能想象圆台侧面展开图的形状,并且画出它吗
【师生活动】学生独立画图,教师巡视教室.
师:如果圆台的上、下底面半径分别是,母线长为,你能计算出它的表面积吗
生:圆台的侧面展开图是一个扇环,它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧
面的面积,即.
【师生活动】学生归纳总结圆柱、圆锥、圆台的表面积公式,教师出示多媒体课件.
【设情境巧激趣】
通过提问,激发学生的学习兴趣,引起学生思考,点明课题
【自主学习】
让学生思考和讨论,类比棱柱、棱锥表面积的关系,推导出圆柱、圆锥的表面积公式,加深对公式的认识和理解,培养逻辑思维能力
【意义学习】
让学生联系、类比圆柱、圆锥的侧面展开图与表面积的关系,推导出圆台表面积公式,培养探索意识
【归纳总结】
圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图 矩形 扇形 扇环
表面积公式
师:请联想一下圆柱、圆锥和圆台的结构特征,它们的表面积之间有什么关系
【师生活动】教师提问,师生共同归纳总结,教师出示多媒体课件.
【归纳总结】
圆柱、圆锥、圆台的表面积之间的关系
圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上、下底面全等的圆台,圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台.
【猜想探究能力】
用联系的观点寻找圆台的表面积公式与圆柱、圆锥的表面积之间的关系,培养猜想探究能力
探究2 圆柱、圆锥、圆台的体积
师:我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式,你们还记得吗
生:圆柱的体积公式是是底面半径,是底面面积,是高).
生:圆锥的体积公式是(是底面半径,为底面面积,为高),它是同底等高的圆柱的体积的.
师:类比棱台体积的推导方式,那我们又如何得到圆台的体积公式呢
【师生活动】学生讨论交流,类比.
生:由于圆台是由圆锥截成的,因此可以利用两个圆锥的体积差,得到圆台的体积公式
(分别是上、下底面半径,是高).
师:圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系
【师生活动】学生思考、讨论、交流,教师引导学生通过类比得出结论,并适时点拨.
师:结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式,你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗
生:柱体的体积公式是(是底面面积,是高),
柱体的体积公式是(是底面面积,是高),
台体的体积公式是(分别是上、下底面面积,是高).
师:柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎么样的关系
生:柱体可以看作是上、下底面相同的台体,锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体,当时,台体的体积公式变为锥体的体积公式;当时,台体的体积公式变为柱体的体积公式.
【师生活动】教师归纳总结,并出示多媒体课件.
【情境学习】
回顾以前学习过的圆柱和圆锥的体积公式,推导圆台的体积公式,加深对体积公式的理解
【自主学习】
通过类比棱台体积公式的推导方法,得出圆台的体积公式,这一步放手交给学生去做,既帮助学生复习了旧知,又向学生渗透了类比的数学思想方法,培养了学生自主学习的能力
【深度学习】
学生思考和讨论,得出柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,形成体积公式体系,提升逻辑推理核心素养
【归纳总结】
柱体、锥体、台体体积公式之间的关系
探究3 球的表面积与体积
师:球没有底面,也无法像柱体、锥体、台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的表面积呢 圆的大小与半径有关,如何用半径来表示圆的表面积呢
【师生活动】学生思考、猜想.
生:圆的面积是.
师:若球的半径为,那么它的表面积只与球的半径有关,是以为自变量的函数,它的表面积是.
师:我们一起来看教材上的例题.
【师生活动】学生先思考,然后教师请学生板演,教师指出学生板演的问题进行点评总结.
【情境学习】
引出球的表面积,激发学生的好奇和学习热情,充分调动学生的学习积极性和参与性,使学生及时进入学习和思考状态
【典型例题】
与球有关的表面积计算
例1 如图,某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成,半球的直径是0.3m,圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆,每平方米需要0.5kg涂料,那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料 (取3.14)
解:一个浮标的表面积为,所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料.
【分析计算能力】
考查有关球的组合体的表面积的计算,以及学生对球表面积公式的掌握情况培养学生的分析计算能力
师:你们还记得如何求得圆的面积公式吗 类比这种方法你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗
【师生活动】先让学生回忆、思考圆的面积的公式的推导过程,教师鼓励学生类比圆的面积的公式推导过程,推导球的体积公式学生思考、尝试、讨论、交流和教师一起得出结论,教师总结.
【教师总结】应用分割、求近似和、求极限的方式得出球的体积公式.
类比利用圆周长求圆面积的方法,我们可以利用球的表面积求球的体积如图,把球的表面分成个小网格,连接球心和每个小网格的顶点,整个球体就被分割成个“小锥体”.
当越大,每个小网格越小时,每个“小锥体”的底面就越平,“小锥体”就越近似于棱锥,其高越近似于球半径.设是其中一个“小雉体”,它的体积是,由于球的体积就是这个“小锥体”的体积之和,而这个“小雉体”的底面积之和就是球的表面积,因此,球的体积,由此,我们得到球的体积公式.
师:接下来我们看一个例题.
【猜想探究能力】
通过类比圆的面积公式的推导方法,让学生利用分割、求近似和、求极限的方式推导球的体积公式,渗透了极限的数学思想,培养了直观想象、逻辑推理核心素养
【典型例题】
与球有关的体积计算
例2 圆柱的底面直径和高都等于球的直径,求球与圆柱的体积之比.
解:设球的半径为,则圆柱的底面半径为,高为.
【师生活动】学生思考,教师请学生板演,指出学生板演的问题进行点评总结.
师:本节课你学到了哪些内容
【分析计算能力】
通过例题的解答,教师的评价和指导,使学生巩固对球的体积公式的掌握,培养了学生的分析计算能力、空间想象能力,提升了学生的直观想象、数学运算核心素养
【课堂小结】
圆柱、圆台、圆锥、球的表面积和体积
本课主要内容如下:
1.本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积与体积的计算公式及应用,球的表面积及其体积公式的推导.
2.学生要学会用联系的观点看待柱体、锥体与台体之间的关系,更加方便于对空间几何体的了解和掌握.
3.学生还应该了解在推导球的体积公式时用到的解题方法—“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”,这是重要的教学思想方法(极限思想).要熟练掌握球的表面积与体积公式.
【课后作业】教材P9练习第1,3题,P19~120习题8.3第4~5题,第7~9题(选做)
教学评价
通过圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式的推导过程,学生体验到侧面展开,化曲面为平面的解题方法:通过柱体、锥体、台体体积公式的探究,学生体会到几何体体积的联系;通过球的表面积公式和体积公式的推导过程,提高分析问题和解决问题的能力应用所学知识,完成下面各题.
应用所学知识,完成下题:
1.若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
解析:先作出该正三棱柱的直观图,得到该直观图是底面等边三角形的高为,高为2的正三棱柱,由此可计算出底面边长为4,然后计算出正三棱柱各个面的面积再相加,得.
答案:C
【分析计算能力】
通过分析正三棱柱的视图,计算正三棱柱的表面积,提升学生的分析计算能力和直观想象核心素养
2.正方体外接球的体积是,那么正方体的棱长等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:画出球的轴截面,设正方体的棱长为,则其对角线为,所以球的半径为.由球的体积公式可得,解得.
答案:D
【观察记忆能力】
通过已知正方体的外接球的体积,求解正方体的棱长,需要正确绘制并观察球截面的特点,进行计算培养了学生的观察记忆、分析计算的能力,提升了直观想象、数学运算核心素养
3.两个平行于圆锥底面的平面将圆雉的高分成相等的三段,那么圆锥被分成三部分的体积的比是( )
A.1:2:3
B.1:7:19
C.3:4:5
D.
解析:因为圆锥的高被分成的三部分相等,所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为,于是自上而下三个圆雉的体积之比为,所以圆锥被分成的三部分的体积之比为
答案:B
【概括理解能力】
通过练习使学生掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式,培养了学生的概括理解、分析计算的能力,提升了直观想象、数学运算核心素养
【以学定教】
根据学情,因材施教,以人为本,以生为本,根据学生逐步掌握的体积、表面积计算公式,依据生活实例和模型,采取情境教学法、尝试教学法等,让学生逐步掌握简单几何体的表面积与体积
教学反思
本节案例紧扣教材内容,在教学过程中通过多面体表面积计算的探讨,让学生体验到面积累加的思想方法:通过圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式的推导过程,让学生体验到侧面展开,化曲面为平面的解题方法:通过柱体、锥体、台体体积公式的探究,使学生体会到几何体体积的联系:在利用球的表面积公式推导体积公式过程中,充分调动学生的积极性,提高学生分析问题和解决问题的能力.同时感受转化、类比、一般化与特殊化、极限等数学思想方法,提高数学运算、直观想象等核心素养.
【以学论教】
对教学活动整个过程的学习情况进行追踪,根据学生实际学习情况和课堂效果充分调动学生的积极性,感受转化类比等数学思想方法,提升数学能力和核心素养
1 / 12