高中数学人教A版2019必修第二册 8.3.1_棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积_导学案（含答案）

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法；
2.会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．
1.教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；
2.教学难点：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的 ．
2．棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱的体积公式V＝ (S为底面面积，h为高)；
棱锥的体积公式V＝ 。(S为底面面积，h为高)；
棱台的体积公式V＝ ．其中，台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h.
一、探索新知
探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
思考1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
思考2：棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
思考3：棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
1.结论： 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
例1.四面体P-ABCD的各棱长均为a，求它的表面积。
2.一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。
3.棱锥的体积是与它同底同高的棱柱的体积的三分之一，即。
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。
思考4：根据台体的特征，如何求台体的体积？
思考5：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5cm，公共面ABCD是边长为1cm的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精准到0.01m3）？
1．判断正误
(1)锥体的体积等于底面积与高之积．(　　)
(2)台体的体积，可转化为两个锥体体积之差．(　　)
(3)正方体的表面积为96，则正方体的体积为64.(　　)
2．如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1 ACD的体积是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D．1
3．已知高为3的棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1 ABC的体积为(　　)
A. B.
C. D.
4．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为 ．
5．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P ABC的体积V.
这节课你的收获是什么？
参考答案：
思考1.
侧面展开图是几个矩形，表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和。
思考2.
【答案】棱锥的侧面展开图是几个三角形。表面积是侧面展开图的面积加上底面积。
思考3.
【答案】侧面展开图为几个梯形，表面积为侧面几个梯形面积的和再加上上下底面面积。
例1.解：因为是正三角形，其边长为a，所以，
因此，四面体P-ABC 的表面积
思考4. 由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到棱台的体积公式。
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作
垂线，这点与垂足之间的距离。
思考5.
例2.1.解：由题意知，
所以这个漏斗的容积。
达标检测
1.【答案】　(1)×　(2)√　(3)√
2.【答案】A　
【解析】三棱锥D1 ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝.故选A。
3.[答案]　D
4.【答案】18a2　
【解析】原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为a，每个小正方体的表面积S1＝a2×6＝a2，所以27个小正方体的表面积是a2×27＝18a2.
5.【解析】三棱锥的体积V＝Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．
故V＝S△PAC·PB＝××2×4×3＝4.
1 / 6