高中数学人教A版2019必修第二册 8.3.1_棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积_导学案（含答案）

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．
2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；
2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；
3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用；
难点：棱台的体积公式的理解.
预习导入
阅读课本114-115页，填写。
（一）　棱柱、棱锥、棱台的表面积
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是由多个_______图形围成的多面体，因此它们的表面积等于_______的面积之和，也就是_______的面积．
（二）　棱柱、棱锥、棱台的表面积
1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝_______.
2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝_______.
3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝______________.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个几何体的展开图有多种形式,所以其表面积是不确定的. (　　)
(2)锥体的体积等于底面面积与高之积. (　　)
(3)任何一个三棱柱都可以分割成三个等体积的三棱锥. (　　)
2．若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积为(　　)
A．27 cm3　　　　　　　　 B．60 cm3
C．64 cm3 D．125 cm3
3．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积等于________．
题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1 已知如图，四面体的棱长均为，求它的表面积．
跟踪训练一
1、如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，问：制造这个滚筒需要________m2铁板(精确到0.1 m2)．
题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积
例2如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．
例3 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？
跟踪训练二
1、在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________；
2、　如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．
1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为(　　)
A．22　　　　　　　　　 B．20
C．10 D．11
2．已知高为3的棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B－AB1C的体积为(　　)
A. B.
C. D.
3．棱长都是3的三棱锥的表面积S为________．
4．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．
5．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．
(1)画出这个几何体(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
答案
小试牛刀
1. (1)× (2)× (3)√
2．B.
3．6＋2.
自主探究
例1【答案】
【解析】因为四面体S－ABC的四个面是全等的等边三角形，
所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．
不妨求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图所示．
因为BC＝SB＝a，SD＝,
所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2.
故四面体S－ABC的表面积S＝4×a2＝a2.　　
跟踪训练一
1、【答案】5.6
【解析】因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m，
所以底面正六边形的边长是0.46 m.
所以S侧＝ch＝6×0.46×1.6＝4.416 (m2)．
所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝4.416＋2××0.462×6≈5.6 (m2)．
故制造这个滚筒约需要5.6 m2铁板．
例2 【答案】.
【解析】　V三棱锥A－DED1＝V三棱锥E－DD1A＝××1×1×1＝.
例3 【答案】
【解析】由题意知长方体的体积，
棱锥的体积，
所以这个漏斗的容积
.
跟踪训练二
1、【答案】8.
【解析】由题意，设AC＝a(a＞0)，CC1＝b(b＞0)，则BD＝C1D＝，BC1＝，由△BC1D是面积为6的直角三角形，得×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又×a2＝6，∴a2＝8，∴b2＝16，即b＝4.∵S△ABC＝a2，∴V＝×8×4＝8.
2、　【答案】见解析
【解析】如图，连接EB，EC.
四棱锥E－ABCD的体积V四棱锥E－ABCD＝×42×3＝16.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC
＝×V四棱锥E－ABCD＝4.
∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.
当堂检测
1-2. AD
3. 9.
4. 8.
5．【答案】 (1)如图所示．(2) 表面积 (22＋4)cm2，体积 10(cm3)．
【解析】 (1)这个几何体如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．
由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.
故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝(22＋4)cm2，
所求几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．
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