高中数学人教A版2019必修第二册 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 导学案（含答案）

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．
2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；
2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；
3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
重点：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；
难点：圆台的体积公式的理解.
预习导入
阅读课本116-119页，填写。
（一） 圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱(底面半径为r，母线长为l) 圆锥(底面半径为r，母线长为l) 圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l)
侧面展 开图
底面积 S底＝2πr2 S底＝____ S底＝________
侧面积 S侧＝____ S侧＝____ S侧＝________
表面积 S表＝________ S表＝________ S表＝_________ _____________
（二）　棱柱、棱锥、棱台的表面积
1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝_________.
2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝_________.
3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝__________________.
(三) 球的体积公式与表面积公式　
1．球的体积公式V＝_________ (其中R为球的半径)．
2．球的表面积公式S＝_________.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个球的半径之比为1：3，则其表面积之比为1：9.(　　)
(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．(　　)
(3) 圆台的高就是相应母线的长. (　　)
2．直径为1的球的体积是(　　)
A．1　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D．π
3.已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm2,高为4 cm,现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗),那么铸成的铜块的棱长是 (　　)
A.2 cm　　　B.3 cm　　　C. 4cm　　　D.8 cm
4．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台的侧面面积是________．
题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1　若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.
跟踪训练一
1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为(　　)
A．81π B．100π
C．168π D．169π
题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积
例2 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）
跟踪训练二
1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．
2.　梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥BC，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积和体积．
题型三 球的表面积与体积
例3 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.
例4　平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)
A.π B．4π
C．4π D．6π
跟踪训练三
1、将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　　)
A. B.
C. D.
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．πa2 B.πa2
C.πa2 D．5πa2
1．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是(　　)
A．4πS B．2πS
C．πS D.πS
2．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为(　　)
A．7 B．6
C．5 D．3
3．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．
4．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.
5．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm，求球的体积．
答案
小试牛刀
1. (1)√ (2) √ (2)×
2．B.
3．C
4. 54π.
自主探究
例1【答案】8π　12π.
【解析】如图所示，∵轴截面是边长为4 cm的等边三角形，∴OB＝2 cm，PB＝4 cm，
∴圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π (cm2)，
表面积S表＝8π＋π×22＝12π (cm2)．
跟踪训练一
1．【答案】C
【解析】选C　先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.
故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
例2 【答案】423.9kg
【解析】一个浮标的表面积是，
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料.
跟踪训练二
1.【答案】10π.
【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
2.　【答案】见解析
【解析】由题意知以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．
在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
∴CD＝＝2a，AB＝CDsin60°＝a，
∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，
∴DO＝DD′＝a.
由上述计算知，圆柱的母线长为a，底面半径为2a；圆锥的母线长为2a，底面半径为a.
∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，
圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，
∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2，
∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2.
又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V柱＝π·(2a)2·a＝4πa3，
V锥＝·π·a2·a＝πa3.
∴旋转体的体积V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3.
例3【答案】
【解析】 设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
球的体积，圆柱的体积，
.
例4　【答案】B
【解析】如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，
则OO′＝，O′M＝1.∴OM＝＝.
即球的半径为.∴V＝π()3＝4π.
跟踪训练三
1.【答案】A.
【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是V球＝×π×13＝.
2．【答案】B.
【解析】选B　由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R＝OA满足R2＝2＋2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2.
当堂检测
1-2. AA
3. π.
4. 4.
5．【答案】π cm3.
【解析】如图所示，作出轴截面，O是球心，与边BC，AC相切于点D，E.连接AD，OE，∵△ABC是正三角形，∴CD＝AC.
∵Rt△AOE∽Rt△ACD，
∴＝.
∵CD＝1 cm，∴AC＝2 cm，AD＝ cm，
设OE＝r，则AO＝(－r)，
∴＝，∴r＝ cm，
V球＝π3＝π(cm3)，
即球的体积等于π cm3.
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