高中数学人教A版2019必修第二册 8.3.2_圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积_教学设计

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
教学设计
本节是在学生已从圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征和直观图两个方面认识了旋转体的基础上，进一步从度量的角度认识圆柱、圆锥、圆台、球，主要包括表面积和体积.
课程目标
1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．
2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
数学学科素养
1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；
2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；
3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
重点：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；
难点：圆台的体积公式的理解.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
前面已经学习了三种多面体的表面积与体积公式，那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本116-119页，思考并完成以下问题
1．圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、表面积公式各是什么？
2．圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？
3．球的表面积与体积公式各式什么？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
（一） 圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱(底面半径为r，母线长为l) 圆锥(底面半径为r，母线长为l) 圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l)
侧面展 开图
底面积 S底＝2πr2 S底＝πr2 S底＝π(r′2＋r2)
侧面积 S侧＝2πrl S侧＝πrl S侧＝π(r′＋r)l
表面积 S表＝2πr(r+l) S表＝πr(r+l) S表＝π(r′2＋r2)+ π(r′＋r)l
（二）　棱柱、棱锥、棱台的表面积
1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h.
(三) 球的体积公式与表面积公式　
1．球的体积公式V＝ (其中R为球的半径)．
2．球的表面积公式S＝.
四、典例分析、举一反三
题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1　若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.
【答案】8π　12π.
【解析】如图所示，∵轴截面是边长为4 cm的等边三角形，
∴OB＝2 cm，PB＝4 cm，
∴圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π (cm2)，
表面积S表＝8π＋π×22＝12π (cm2)．
解题技巧（求旋转体表面积注意事项）
旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．　　
跟踪训练一
1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为(　　)
A．81π B．100π
C．168π D．169π
【答案】C
【解析】选C　先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，
所以r＝2，R＝8.
故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积
例2 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）
【答案】423.9kg
【解析】一个浮标的表面积是，
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料.
解题技巧(求几何体积的常用方法)
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可．
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
跟踪训练二
1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．
【答案】10π.
【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
2.　梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥BC，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积和体积．
【答案】见解析
【解析】由题意知以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．
在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
∴CD＝＝2a，AB＝CDsin60°＝a，
∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，
∴DO＝DD′＝a.
由上述计算知，圆柱的母线长为a，底面半径为2a；圆锥的母线长为2a，底面半径为a.
∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，
圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，
∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2，
∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2.
又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V柱＝π·(2a)2·a＝4πa3，
V锥＝·π·a2·a＝πa3.
∴旋转体的体积V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3.
题型三 球的表面积与体积
例3 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.
【答案】
【解析】 设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
球的体积，圆柱的体积，
.
例4　平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)
A.π B．4π
C．4π D．6π
【答案】B
【解析】如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，
则OO′＝，O′M＝1.∴OM＝＝.
即球的半径为.∴V＝π()3＝4π.
解题技巧（与球有关问题的注意事项）
1．正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
2．球与正方体的各条棱相切
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝，如图(2)．
3．长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝ ，如图(3)．
4．正方体的外接球
正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.
5．正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a.
6、有关球的截面问题
常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.
跟踪训练三
1、将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是V球＝×π×13＝.
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．πa2 B.πa2
C.πa2 D．5πa2
【答案】B.
【解析】选B　由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R＝OA满足R2＝2＋2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本119页练习，119页习题8.3的剩余题.
本节课的重点是掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.须注意的是:求面积时看清求的是侧面积，还是底面积，还是表面积；②对本节课的难点的理解类比棱台与棱锥、棱锥的联系；③解决实际问题时先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.
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