【同步练习】苏科版初二数学上册 4.3 实数（巩固练习）（含解析）

4.3实数（巩固练习）
一、单选题
1．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中互为相反数的是（　　）
A．3和 B．﹣|﹣|和﹣（﹣）
C．﹣和 D．﹣2和
3．下列各数：，，0，，，其中比－3小的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为1和，点B是线段AC的中点则点C所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C横坐标所表示的数在哪两个整数之间（　　　）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间
6．的值为(　　)
A． B． C． D．
7．下列实数中，最小的正数是（　　）
A．10－3 B．3－10 C．51－10 D．18－5
8．已知实数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，卡片的长为，宽为）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为4）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．比较大小：__________6．（用“>”或“<”连接）
11．如图甲，是由27个同样大小的立方体组成的三阶魔方，总体积为216．图甲中ABCD是一个正方形，把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数-1重合，则点B在数轴上表示的数为______；第1次旋转以点B为中心，将正方形ABCD按照顺时针方向旋转90°，则点C落在数轴上；第2次旋转继续以点C为中心，将正方形ABCD按照顺时针方向旋转90°……如此下去，将正方形ABCD第2022次旋转，该点落在数轴上表示的数为_________．
（甲）（乙）
12．3－的相反数是___________．
13．比较大小：______0.5．
14．将1，，，按如图方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（6，3）与（2000，4）表示的两数之积是_______．
15．设x，y是有理数，且x，y满足等式，则的平方根是___________.
16．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC与△DBC面积的大小关系为：S△ABC ______ S△DBC（填“＞”，“＝”或“＜”）．
17．对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b＝，则★（★）＝_________．
18．小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
那么，当输入数据是8时，输出的数据是_______；当输入数据是ｎ时，输出的数据是_____
三、解答题
19．实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，b＝|a |＋|2 a|
(1)求b的值；
(2)已知b＋2的小数部分是m，8－b的小数部分是n，求2m＋2n＋1的平方根．
20．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中m、n为有理数，x为无理数，那么m=0且n=0．
（1）如果，其中a、b为有理数，那么a=，b=；
（2）如果，其中a、b为有理数，求的平方根；
（3）若x，y是有理数，满足，求的算术平方根．
21．把下列各数填入相应的集合内．
、π、－、、、、0、－、、0.3737737773…（相邻两个3之间的7逐次加1个），
(1)有理数集合{ … }
(2)无理数集合{ … }
(3)负实数集合{ … }
22．细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．
，；
，；
，…
(1)直接写出：______．
(2)请用含有（是正整数）的等式表示上述变化规律：______=______，______；
(3)求出的值．
23．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝3厘米，DA＝DC＝4厘米，∠DAB＝∠DCB＝90°，点P从A点开始沿射线AB方向运动，点Q从点C开始沿射线BC方向运动，P、Q两点运动速度均为1厘米/秒，两点同时运动．
（1）在P、Q两点运动过程中，请问∠PDQ的大小是否发生变化？请说明理由；
（2）当点P在线段AB上运动时（如图1），请求出四边形PDQB的而积；
（3）如图2，P点运动到AB延长线上，设DP与线段BC的交点为E．
①当P、Q运动了多少秒时，S△CDE=S△BPE．
②当P、Q运动了多少秒时，第①小问中两个三角形的面积差为（3﹣）平方厘米．
24．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O′点．
(1)那么点对应的数是______；
(2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数．解决下列问题：
①______（用“＞”或“＜”填空）；
②计算；
③若，则的值为______．
25．计算：
(1) (2)
26．[阅读材料]
∵＜＜，即2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2
∴﹣1的整数部分为1
∴﹣1的小数部分为﹣2
(1)填空：的小数部分是　　．
(2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式（﹣a）3＋（b＋4）2的值．
参考答案
1．C
【分析】
根据求一个数算术平方根和乘方运算，即可一一判定．
解：A.，故该选项不成立；
B.，故该选项不成立；
C.，故该选项成立；
D.，故该选项不成立；
故选：C．
【点拨】本题考查了一个数算术平方根和乘方运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
2．B
【分析】
根据相反数的定义，找到只有符号不同的两个数即可．
解：A、＝3，3和两数不互为相反数，故本选项错误；
B、﹣|﹣|＝﹣，﹣（﹣）＝，﹣|﹣|和﹣（﹣）两数互为相反数，故本选项正确；
C、﹣＝﹣2，＝﹣2，﹣和两数不互为相反数，故本选项错误；
D、﹣2和两数不互为相反数，故本选项错误．
故选：B．
【点拨】考查了相反数的定义：要知道，只有符号不同的两个数互为相反数．
3．A
【分析】
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
解：，，，，
故选：A
【点拨】此题主要考查了有理数大小比较的方法，化简各个数字是解答本题的关键．
4．C
【分析】
先求出，根据中点的性质得到，然后求出点C到原点的距离，即可得到点C表示的数；
解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为1和，
∴，
∵点B是线段AC的中点，
∴，
∴，
∴点C表示的数为；
故选C．
【点拨】本题主要考查了实数与数轴的关系，数轴上两点之间的距离计算，准确计算是解题的关键．
5．C
【分析】
求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．
解：∵A（1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=，
∴AC=AB=，
∴OC=，
∴点C的横坐标为：，
∵3＜＜4，
∴2＜＜3，
∴点C横坐标的取值范围是2到3之间．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出OC的长．
6．A
【分析】
根据算术平方根和立方根的意义分别进行计算，然后根据有实数的运算法则求解即可.
解：原式
；
故答案为：A.
【点拨】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握据算术平方根和立方根的意义.
7．C
【分析】
根据，，分别计算各选项，然后判断即可．
解：∵，，
∴A．，
B．，
C．，
D．,
综上所述，最小的正数是0.01，
故选：C．
【点拨】本题考查的是实数的估算与运算，熟悉各数的估算值是解答此题的关键．
8．C
【分析】
根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可．
解：∵
∴，，
∴，，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了非负数的性质和有理数的计算，解题关键是理解非负数的性质，求出字母的值．
9．B
【分析】
分别求出较大阴影的周长和较小阴影的周长，再相加整理，即得出答案．
解：较大阴影的周长为：，
较小阴影的周长为：，
两块阴影部分的周长和为：= ，
故两块阴影部分的周长和为16．
故选B．
【点拨】本题考查了图形周长，整式加减的应用，利用数形结合的思想求出较大阴影的周长和较小阴影的周长是解题的关键．
10．>
【分析】
根据进行判断得到答案．
解：∵
∴
故答案为：>．
【点拨】本题考查实数大小的判断，解题的关键是熟练掌握平方根的相关知识．
11．
【分析】
根据魔方体积求出棱长，从而利用勾股定理求出AB，结合点A表示的数得到点B表示的数，再分别求出第1次，第2次，第3次旋转后的点，找到规律即可得解．
解：∵魔方的总体积为216cm3，
∴棱长为6cm，
∴AB=BC=CD=AD==cm，
∵A表示-1，
∴B表示，
第1次旋转，该点落在，
第2次旋转，该点落在，
第3次旋转，该点落在，
…
∴第2022次旋转，该点落在=，
故答案为：，．
【点拨】本题考查了正方体的体积、实数与数轴之间的关系和勾股定理，数字型规律，解题的关键是掌握正方体的体积=棱长的立方，实数与数轴上的点是一一对应的关系．
12．-3
【分析】
先判断出是负数，再根据绝对值的性质解答．
解：，
.
故答案为.
【点拨】本题考查了实数的性质，主要利用了绝对值的性质，判断出是负数是解题的关键．
13．>
【分析】
根据无理数的估算方法，先估算，再比较大小即可．
解：∵，即，
∴，
∴，即．
故答案为：＞．
【点拨】本题考查了实数比较大小，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
14．2．
【分析】
首先计算出前5排和前1999排共有多少个数，然后除以4，根据得到的余数确定（6，3）与（2000，4），即可得到结果．
解：前5排共有1+2+3+4+5=15个数，15÷4=3……3，
∴第6排的第1个数为，
∴第6排的第3个数为，
前1999排共有1+2+3+4+……+1999==1999000，1999000÷4=499750，
∴第2000排的第1个数为1，
∴第2000排的第4个数为，
∴==2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了算术平方根与规律型：数字的变化类，根据规律判断出是第几个数是解本题的关键．
15．±1
【分析】
因为x、y为有理数，所以x+2y也是有理数，根据二次根式的性质，只有同类二次根式才能合并，所以x、2y都不能与进行合并，根据实数的性质列出关系式，分别求出x、y的值再代入计算即可求解．
解：∵x、y为有理数，
∴x+2y为有理数，
∴
解得
∴=5-4=1，1的平方根是±1．
故答案为±1．
【点拨】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是明确题意，熟悉合并同类项的法则，求出相应的x、y的值．
16．＞
【分析】
在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可．
解：=3，
，
故填：＞．
【点拨】本题考查了三角形的面积公式，在网格中当三角形的底和高不太好求时可以采用割补的方式进行求解，用大的矩形面积减去三个小三角形的面积即得到△ABD的面积．
17．2
【分析】
根据新定义得到★=，在结合新定义计算★即可得出．
解：∵<，
∴★=，
∴★（★）=★=，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了新定义下的实数运算，包括实数的大小比较等，理解题意是解题关键．
18． 256
【分析】
从绝对值来看，输出数据等于以2为底、输入数据为指数的幂．从符号来看，输入数据为奇数，输出数据为负;输入数据为偶数，输出数据为正．根据这两个特征即可得到解答．
解：设输入数据为a，输出数据为b，则由题意可得：，所以：
当输入数据是8时，输出的数据是；当输入数据是ｎ时，输出的数据是．
故答案为256；．
【点拨】本题考查数字规律的发现与应用，结合以2为底的幂进行探索是解题关键．
19．(1)(2)
【分析】
（1）先判断2（2）先求解再求解的值，再求解2m＋2n＋1，最后求解平方根即可．
(1)解：∵2∴a-<0，2 a<0
∴b＝-a＋a-2＝ 2
(2)∵b＋2=，8－b=8－（ 2）=10－，
∴m=－3，n=10－－6=4－
∴2m＋2n＋1=2－6+8－2＋1=3
∴2m＋2n＋1的平方根为±
【点拨】本题考查的是实数与数轴，化简绝对值，无理数的小数部分的理解，平方根的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键．
20．（1）2，-3；（2）±3；（3）
【分析】
（1）根据题意可得：a-2=0，b+3=0，从而可得解；
（2）把已知等式进行整理可得，从而得2a-b=9，a+b=0，从而可求得a，b的值，再代入运算即可；
（3）将已知等式整理为，从而得3x-7y=9，y=3，从而可求得x，y的值，再代入运算即可．
解：（1）由题意得：a-2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=-3，
故答案为：2，-3；
（2）∵，
∴，
∴2a-b-9=0，a+b=0，
解得：a=3，b=-3，
∴=9，
∴的平方根为±3；
（3）∵，
∴，
∴3x-7y=9，y=3，
∴x=10，
∴=10-3=7，
∴的算术平方根为．
【点拨】本题主要考查实数的运算，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的等式．
21．(1)－，，0，(2)，π，，，，0.3737737773 (3)－，，
【分析】
（1）根据有理数的定义进行判定即可得出答案；
（2）根据无理数的定义进行判定即可得出答案；
（3）根据负实数的定义进行判定即可得出答案．
解：(1)有理数集合：{－，,0，…}
(2)无理数集合：{，π，，，，0.3737737773……}
(3)负实数集合：{－，，…}
【点拨】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键.
22．(1)(2)(3)
【分析】
（1）由给出的数据写出的长即可；
（2）由（1）…和S1、S2、S3…Sn，找出规律即可得出结果；
（3）首先求出再求和即可．
(1)解：∵；
；
…
故答案为：；
(2)，；
，；
，…
归纳总结可得：
故答案为：
(3)∵…，
∴
【点拨】本题主要考查勾股定理的理解，实数的运算规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键．
23．（1）∠PDQ的大小不发生变化，总等于∠ADC；（2）四边形PDQB的而积为12平方厘米；（3）①P、Q运动了6秒时，S△CDE=S△BPE；②当秒或秒时，S△BPE与S△CDE的差为（3﹣）平方厘米．
【分析】
（1）根据SAS证DAP≌△DCQ，推出∠ADP=∠CDQ，即可求出∠PDQ=∠ADC；
（2）求出四边形PDQB的面积=四边形ABCD的面积，求出四边形ABCD的面积即可；
（2）①S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB=0，根据三角形面积公式得出方程，求出方程的解即可；
②得出S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB，或S△BPE-S△CDE=S△PDB-S△DCB，根据三角形面积公式得出方程，求出方程的解即可．
解：（1）∠PDQ的大小不发生变化，
理由是：∵∠A=∠DCB=∠DCQ=90°，由已知得出AP=CQ，
∴在△DAP和△DCQ中，
，
∴△DAP≌△DCQ（SAS），
∴∠ADP=∠CDQ，
∴∠PDQ=∠PDC+∠CDQ=∠PDC+∠ADP=∠ADC，
即∠PDQ的大小不发生变化，总等于∠ADC；
（2）∵△ADP≌△DCQ，
∴S△ADP=S△DCQ，
∴四边形PDQB的面积是：
S四边形PDQB=S四边形PDCB+S△CDQ
=S四边形PDCB+S△ADP
=S四边形ABCD
=×3×4+×3×4
=12(平方厘米)；
（2）①连接BD，
设P、Q运动了t秒时，S△CDE=S△BPE，
∵S△CDE=S△DCB-S△DEB，S△BPE=S△PDB-S△DEB，
∴S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB=0，
∵AB=BC=3，AP=t，DA=DC=4，
×3×4-×（t-3）×4=0，
解得t=6，
即P、Q运动了6秒时，S△CDE=S△BPE；
②连接BD，
设P、Q运动了t秒时，S△CDE-S△BPE=3-(平方厘米)，
∴AP=CQ=t，
∴S△CDE=S△DCB-S△DEB，S△BPE=S△PDB-S△DEB，
∴S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB，或S△BPE-S△CDE=S△PDB-S△DCB，
∵AB=BC=3，AP=t，DA=DC=4，
∴S△DCB=×3×4=6，S△PDB=×（t-3）×4=2（t-3），
∴S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB=6-2（t-3）=3-．
解得(秒)，
或S△BPE-S△CDE=S△PDB-S△DCB=2（t-3）-6=3-．
解得(秒)，
综上，当秒或秒时，S△BPE与S△CDE的差为（3﹣）平方厘米．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．
24．(1)(2)①＞；②；③5或
【分析】
（1）根据圆的周长公式计算；
（2）①2＜＜3，得 1＞1，从而比较大小；②去括号，化简绝对值，最后加减；③开平方后，解一元一次方程．
(1)解：∵直径为1个单位长度的圆，
∴周长：π，
∵从原点沿数轴向右滚动一周，
∴O′点对应的数是π，
故答案为：π；
(2)解：①2＜＜3，
∴ 1＞1，
∴＞，
故答案为：＞；
②原式=3-1+÷（4-3）
=3-1+-2
=；
③（x-2）2=9，
∴x-2=3或x-2=-3，
∴x1=5或x2=-1．
故答案为：x1=5或x2=-1．
【点拨】本题主要考查了立方根、平方根、实数与数轴、实数运算，熟练掌握这些知识点的综合应用是解题关键．
25．(1)(2)
【分析】
（1）去括号，化简绝对值，求得算术平方根，再按顺序进行计算即可；
（2）按顺序先求得立方根、去括号、根据实数的乘法法则计算，然后再进行加减运算即可；
(1)解：∵＜，
∴＜2，
原式=
=；
(2)解：原式=
=．
【点拨】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
26．(1)﹣9(2)-43
【分析】
（1）估算出的范围，可得到的整数部分，进而得到的小数部分；
（2）估算出的范围，可得到的整数部分，进而得到的小数部分，从而得到a，b的值，再求代数式的值即可．
(1)解：∵，
∴，
∴的整数部分是9，
∴的小数部分﹣9，
故答案为：﹣9；
(2)解：∵，
∴4＜＜5，
∴的整数部分是4，小数部分是﹣4，
∴a＝4，b＝﹣4，
∴原式＝（﹣4）3+（-4+4）2
＝﹣64+21
＝﹣43．
∴代数式的值为．
【点拨】本题考查了实数的大小比较，代数式求值，无理数估算知识．解题的关键在与正确的计算求值．