【同步练习】苏科版初二数学上册 4.4 估算（巩固练习）（含解析）

4.4 估算（巩固练习）
一、单选题
1．有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．在实数：3.14159，，1.010 010 001，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．对于数字-2+，下列说法中正确的是（ ）
A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它比0小
C．它是一个无理数 D．它的相反数为2+
4．如图，点A表示的实数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
5．在四个实数，0，，中，最小的实数是（ ）
A． B．0 C． D．
6．运算后结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．定义a*b＝3a﹣b，a b＝b﹣a2，则下列结论正确的有（　　）个．
①3*2＝7．
②2 （﹣1）＝﹣5．
③（*） （ ）＝﹣．
④若a*b＝b*a，则a＝b．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，卡片的长为，宽为）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为4）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A． B． C． D．
9．若，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．根据以下程序，当输入时，输出结果为（　　）
A． B．2 C．6 D．
二、填空题
11．在实数，，4，，，中，设有a个有理数，b个无理数，则________．
12．五张背面完全相同的卡片上分别写有、、－31、、0.101001001…（相邻两个1间依次多1个0）五个实数，如果将卡片字面朝下随意放在桌子上，任意取一张，抽到有理数的概率是______．
13．25的算数平方根是______，的相反数为______．
14．如果实数+2与﹣3在数轴上对应的点分别是点A和点B，那么AB的长度为_____．
15．比较大小：_____．
16．已知，，则______，______．
17．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：，如．那么______．
18．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．
19．已知为实数，规定运算：，，，，…，．按上述方法计算：当时，的值等于______．
20．如图所示的运算序中，若开始输入的a值为21，我们发现第一次输出的结果为24．第二次输出的结果为12，…，则第2019次输出的结果为_________．
三、解答题
21．已知：a，b均为有理数，且满足．化简．
22．把下列各数填入相应的集合内．
、π、－、、、、0、－、、0.3737737773…（相邻两个3之间的7逐次加1个），
(1)有理数集合{ … }
(2)无理数集合{ … }
(3)负实数集合{ … }
23．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中m、n为有理数，x为无理数，那么m=0且n=0．
（1）如果，其中a、b为有理数，那么a=，b=；
（2）如果，其中a、b为有理数，求的平方根；
（3）若x，y是有理数，满足，求的算术平方根．
24．实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，b＝|a |＋|2 a|
(1)求b的值；
(2)已知b＋2的小数部分是m，8－b的小数部分是n，求2m＋2n＋1的平方根．
25．根据已学知识，我们已经能比较有理数的大小，下面介绍一种新的比较大小的方法：
①∵3－2＝1＞0，∴3＞2；②∵（－2）－1＝－3＜0，∴－2＜1；③∵（－2）－（－2）＝0，∴－2＝－2
像上面这样，根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法叫做作差法比较大小．
(1)请将上述比较大小的方法用字母表示出来：
若，则_________；若，则_________；若，则_________；
(2)请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）﹒
①______________；
②当时，____________；
(3)试比较与的大小，并说明理由．
26．计算：
(1)
(2)
27．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：(2+i)+(3﹣4i)＝5﹣3i．
(1)填空：i2＝_________，i4＝_________；
(2)计算：①(3+i)(3﹣i)；②(3+i)2；
(3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：
已知：(x+y)+3i＝(1﹣x)﹣yi（x，y为实数），求x，y的值．
28．“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
(1)到底有多大？
下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．
由面积公式，可得______．
因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____．
(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
29．细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．
，；
，；
，…
(1)直接写出：______．
(2)请用含有（是正整数）的等式表示上述变化规律：______=______，______；
(3)求出的值．
30．一个数值转换器，如图所示：
(1)当输入的x为81时．输出的y值是_________；
(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值；
(3)若输出的y是，请写出两个满足要求的x值．
参考答案
1．A
【分析】
根据无理数、分数的概念判断．
解：无限不循环小数是无理数，
错误．
是有理数，
错误．
是有理数，
错误．
也是无理数，不含根号，
错误．
是一个无理数，不是分数，
错误．
故选：．
【点拨】本题考查实数的概念，掌握无理数是无限不循环小数是求解本题的关键．
2．B
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：，
∴在实数：3.14159，，1.010010001…，π，中，无理数有1.010010001…，π，共2个．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．C
【分析】
根据数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义判断即可．
解：A．数轴上的点和实数是一一对应的，故该说法错误，不符合题意；
B．，故该说法错误，不符合题意；
C．是一个无理数，故该说法正确，符合题意；
D．的相反数为，故该说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键．
4．B
【分析】
根据勾股定理可求得OA的长为，再根据点A在原点的左侧，从而得出点A所表示的数．
解：如图，
∵OB=，OA=OB，
∴OA=，
∵点A在原点的左侧，
∴点A在数轴上表示的实数是-，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题考查了实数和数轴，以及勾股定理，注意原点左边的数是负数．
5．A
【分析】
根据实数比较大小的方法直接求解即可．
解：，
四个实数，0，，中，最小的实数是，
故选：A．
【点拨】本题考查了有理数大小比较：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
6．C
【分析】
根据实数的运算法则即可求解；
解：A.，故错误；
B.，故错误；
C.，故正确；
D.，故错误；
故选：C．
【点拨】本题主要考查实数的计算，掌握实数计算的相关法则是解题的关键．
7．C
【分析】
先按照定义书写出正确的式子再进行计算就可解决本题．
解：①、，故计算正确，符合题意；
②、，故计算正确，符合题意；
③、，故计算错误，不符合题意；
④、，，
∵a*b＝b*a，
，
解得：，
故计算正确，符合题意．
综上所述，正确的有：①②④，共3个．
故选：C．
【点拨】本题考查了按照定义运算的知识，严格按照定义书写出正确的式子，准确的计算是解决本题的关键．
8．B
【分析】
分别求出较大阴影的周长和较小阴影的周长，再相加整理，即得出答案．
解：较大阴影的周长为：，
较小阴影的周长为：，
两块阴影部分的周长和为：= ，
故两块阴影部分的周长和为16．
故选B．
【点拨】本题考查了图形周长，整式加减的应用，利用数形结合的思想求出较大阴影的周长和较小阴影的周长是解题的关键．
9．C
【分析】
先计算，，，，的算术平方根，并进行化简即可．
解：，，，，
．
故选C
【点拨】本题考查了算术平方根和数字的变化类规律问题，分别计算出，，，，的算术平方根是解本题的关键．
10．A
【分析】
把代入程序，算的结果小于即可输出，故可求解．
解：把代入程序，
故把x=2代入程序得
把代入程序，
输出
故选A．
【点拨】此题主要考查求一个数的算术平方根，实数大小的比较，解题的关键是根据程序进行计算求解．
11．2
【分析】
由题意先根据有理数和无理数的定义得出a、b的值，进而求出的值．
解：，4，，共有4个有理数，即，
，共有2个无理数，即，
所以．
故答案为：2．
【点拨】本题考查有理数和无理数的定义以及算术平方根的运算，熟练掌握相关定义与运算法则是解题的关键．
12．##0.4
【分析】
根据题意可知有理数有－31、，共2个，根据概率公式即可求解
解：在、、－31、、0.101001001…（相邻两个1间依次多1个0）五个实数中，－31、是有理数，
∴任意取一张，抽到有理数的概率是
故答案为：
【点拨】本题考查了实数的分类，根据概率公式求概率，理解题意是解题的关键．
13． 5 3
【分析】
根据算术平方根的定义和实数的相反数分别填空即可．
解：∵
∴25的算数平方根是5；
∵
∴的相反数为3；
故答案为：5,3．
【点拨】本题考查了实数的性质，主要利用了算术平方根，立方根的定义以及相反数的定义，熟记概念与性质是解题的关键．
14．5
【分析】
根据数轴两点间的距离，较大的数减较小的数，可得答案．
解：由题意，得
（+2）﹣（﹣3）＝+2﹣+3＝5．
故答案为：5．
【点拨】本题考查了实数与数轴，利用较大的数减较小的数,是解题关键．
15．
【分析】
先估算的大小，然后再比较无理数的大小即可．
解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点拨】本题考查了实数的比较大小，无理数的估算，解题关键是正确掌握实数比较大小的法则．
16． 12
【分析】
利用完全平方公式和平方差公式计算求值即可；
解：由题意得：，
，
，
，
故答案为：12，；
【点拨】本题考查了代数式求值，实数的混合运算，掌握乘法公式是解题关键．
17．
【分析】
根据定义新运算公式和二次根式的乘法公式计算即可．
解：根据题意可得
故答案为：．
【点拨】此题考查的是定义新运算和二次根式的化简，掌握定义新运算公式和二次根式的乘法公式是解决此题的关键．
18．4+或6﹣或2﹣．
【分析】
先求出第一次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠与C点重合的点表示的数即可．
解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：3+（3+1）＝7．
与C重合的点表示的数：3+（3﹣）＝6﹣．
第二次折叠，折叠点表示的数为：（3+7）＝5或（﹣1+3）＝1．
此时与数轴上的点C重合的点表示的数为：
5+（5﹣6+）＝4+或1﹣（﹣1）＝2﹣．
故答案为：4+或6﹣或2﹣．
【点拨】本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
19．
【分析】
将，代入进行计算，可知数列3个为一次循环，按此规律即可进行求解．
解：由题意可知，时，，，，，…，
其规律是3个为一次循环，
∵2022÷3=674，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了实数的运算，规律型：数字变化类，把代入进行计算，找到规律是解题的关键．
20．6
【分析】
根据程序图进行计算发现数字的变化规律，从而分析求解．
解：当输入a=21时，
第一次输出的结果为，
第二次输出结果为，
第三次输出结果为，
第四次输出结果为，
第五次输出结果为，
第六次输出结果为，
…
自第三次开始，奇数次的输出结果为6，偶数次的输出结果为3，
∴第2019次输出的结果是6．
故答案为：6．
【点拨】本题考查代数式求值，准确识图，理解程序图，通过计算发现数字变化规律是解题关键．
21．当x＜-2时，；当-2≤x≤1时，；当x＞1时，
【分析】
根据已知等式可得关于a和b的方程，求出a，b的值，再代入，根据x的范围分类讨论，去绝对值化简即可．
解：，a，b均为有理数，
∴，
∴，，
∴a=-4，b=1，
∴=，
当x＜-2时，==；
当-2≤x≤1时，==；
当x＞1时，==．
【点拨】本题考查了实数的运算，化简绝对值，解题的关键是根据实数的对应形式得到a和b的值．
22．(1)－，，0，(2)，π，，，，0.3737737773
(3)－，，
【分析】
（1）根据有理数的定义进行判定即可得出答案；
（2）根据无理数的定义进行判定即可得出答案；
（3）根据负实数的定义进行判定即可得出答案．
解：(1)有理数集合：{－，,0，…}
(2)无理数集合：{，π，，，，0.3737737773……}
(3)负实数集合：{－，，…}
【点拨】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键.
23．（1）2，-3；（2）±3；（3）
【分析】
（1）根据题意可得：a-2=0，b+3=0，从而可得解；
（2）把已知等式进行整理可得，从而得2a-b=9，a+b=0，从而可求得a，b的值，再代入运算即可；
（3）将已知等式整理为，从而得3x-7y=9，y=3，从而可求得x，y的值，再代入运算即可．
解：（1）由题意得：a-2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=-3，
故答案为：2，-3；
（2）∵，
∴，
∴2a-b-9=0，a+b=0，
解得：a=3，b=-3，
∴=9，
∴的平方根为±3；
（3）∵，
∴，
∴3x-7y=9，y=3，
∴x=10，
∴=10-3=7，
∴的算术平方根为．
【点拨】本题主要考查实数的运算，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的等式．
24．(1)(2)
【分析】
（1）先判断2（2）先求解再求解的值，再求解2m＋2n＋1，最后求解平方根即可．
(1)解：∵2∴a-<0，2 a<0
∴b＝-a＋a-2＝ 2
(2)∵b＋2=，8－b=8－（ 2）=10－，
∴m=－3，n=10－－6=4－
∴2m＋2n＋1=2－6+8－2＋1=3
∴2m＋2n＋1的平方根为±
【点拨】本题考查的是实数与数轴，化简绝对值，无理数的小数部分的理解，平方根的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键．
25．(1)＞，=，＜(2)＜，＞(3)，理由见详解
【分析】
（1）根据作差法可作答；
（2）利用作差法即可作答；
（3）结合整式的加减混合运算法则，利用作差法即可作答；
解：(1)∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
故答案为：＞、=、＜；
(2)①∵，
∴；
②∵，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：＜、＞；
(3)，
理由如下：
∵，
又∵，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了实数比较大小、二次根式的加减混合运算、整式的加减混合运算等知识，掌握相关的加减混合运算法则是解答本题的关键．
26．(1)(2)
【分析】
（1）根据绝对值的性质、立方根的定义进行计算；
（2）根据算术平方根的性质、绝对值的性质、立方根的定义以及乘方得到结果．
(1)解：原式
；
(2)解：原式
．
【点拨】本题考查了实数的综合运算能力，解决此题的关键是熟练掌握绝对值、算术平方根和立方根的运算．
27．(1)-1，1(2)①10；②8+6i(3)
【分析】
（1）根据题干中的计算方法即可求得答案．
（2）①先利用平方差公式将原式展开，再结合题干中的计算方法即可求得答案．
②先利用完全平方公式将原式展开，再结合题干中的计算方法即可求得答案．
（3）根据实数部分与虚数部分相等列出方程，解方程即可得出答案．
解：(1)根据题干中的计算方法，可得i2＝﹣1，i4＝1．
故答案为：﹣1；1．
(2)①（3+i）（3﹣i）
＝32﹣i2
＝9﹣（﹣1）
＝10．
②（3+i）2
＝32+2×3i+i2
＝9+6i+（﹣1）
＝8+6i．
(3)∵（x+y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，
∴，
解②，得y＝﹣3，
将y＝﹣3代入①，得x﹣3＝1﹣x，
解得x＝2，
∴．
【点拨】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
28．(1)，，，；(2)见分析
【分析】
（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；
（2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可．
解：(1)由面积公式，可得
∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即．
故答案为：，，，；
(2)小敏同学的做法，如图：
排列形式如图（3），如图：
画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示
【点拨】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键．
29．(1)(2)(3)
【分析】
（1）由给出的数据写出的长即可；
（2）由（1）…和S1、S2、S3…Sn，找出规律即可得出结果；
（3）首先求出再求和即可．
(1)解：∵；
；
…
故答案为：；
(2)，；
，；
，…
归纳总结可得：
故答案为：
(3)∵…，
∴
【点拨】本题主要考查勾股定理的理解，实数的运算规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键．
30．(1)；(2)，1；(3)，（答案不唯一）
【分析】
（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；
（3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．
(1)解：当时，取算术平方根，不是无理数，
继续取算术平方根，不是无理数，
继续取算术平方根得，是无理数，所以输出的y值为；
(2)解：当，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；
(3)解：4的算术平方根为2，2的算术平方根是，
∴，都满足要求．
【点拨】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键．