人教A版选修二 4.2.1 等差数列的概念 课件（22张PPT）

(共22张PPT)
4.2.1 等差数列的概念1
教学目标
0
1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式及应用；
2.体会等差数列与一元一次函数的关系；
3.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养.
情景引入
1
我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2021年是牛年，从2021年开始，鸡年的年份为
2 021，2 033，2 045，2 057，2 069，2 081，…；这些年份有什么特点？
1.北京天坛圜丘坛，的地面有十板布置，最中间是圆形
的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到
外各圈的示板数依次为
9,18,27,36,45,54,63,72,81 ①
2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号
的女装上对应的尺码分别是
38,40,42,44,46,48 ②
新知探究
2
新知探究
2

新知探究
2
① 9，18，27，36，45，54，63，72，81.
② 38，40，42，44，46，48.
③ 25，24，23，22，21.
对于①，我们发现
18=9+9，27=18+9....81=72+9，
换一种写法，就是
18-9=9，27-18=9....81-72=9.
如果用{an}表示数列①，
那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9.
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。数列②—③也有这样的取值规律。
新知探究
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等差数列的概念　
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.
例如数列①②③④的公差依次为 9, 2, -0.6, -br.
等差数列的符号语言：
an－an-1 = d (d是常数, n≥2且n∈N*)或an+1－an = d (d是常数, n∈N*)
注意：
1. 判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断，即判定an+1-an 是不是同一个常数.
2. 公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，而且公差可以是正数，负数，也可以为0.
新知探究
2
[练一练]
1.常数列是等差数列.( )
2.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数,则这个数列是
等差数列.( )
提示　差都是同一个常数.
3.数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列.( )
提示　{an}不一定是等差数列，忽略了第1项.
√
×
×
新知探究
2
问：如果在数 与 中间插入一个数 ，使 ， ， 成等差数列，
那么 应满足什么条件？
由等差数列定义，有 ,所以 ，即
我们把 叫做 和 的等差中项。
和 的等差中项是它们的算术平均数。
新知探究
2
探究 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等差数列{an}的首项为a1, 公差为d, 根据等差数列的定义, 可得
an+1－an = d
等差数列的递推公式
所以 a2－a1 = d，
a3－a2 = d，
a4－a3 = d，
于是 a2= a1＋d，
a3= a2＋d = (a1＋d)＋d = a1＋2d ，
a4= a3＋d = (a1＋2d)＋d = a1＋3d ，

an= a1＋(n－1)d，(n≥2)
当n=1时，a1= a1＋(1－1)d = a1 ，也就是说，上式当n=1时也成立.
这时，我们把an= a1＋(n－1)d称为等差数列{an}的通项公式.
新知探究
2
(2)等差数列与一次函数的关系：
①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n, an)组成的集合, 这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.
②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k, b为常数), 则
f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b, …, f(n)＝nk＋b, 构成一个等差数列{nk＋b}, 其首项为________，公差为____.
(k＋b)
k
(1) 等差数列通项公式的一般形式：
通项公式　
an= a1＋(n－1)d.
an＝am＋(n－m)d (n,m∈N*) .
③等差数列{an}的单调性与公差d有关.
当d>0时，等差数列{an}为递增数列；
当d＝0时，等差数列{an}为常数列；
当d<0时，等差数列{an}为递减数列．
新知探究
2
首项a1公差d的等差数列{an}的通项公式为
练习 求下列等差数列的通项公式
（1）9，18，27，36，45，54，63，72...
（2）38，40，42，44，46，48...
（3）25，24，23，22，21.
（1）an=9+（n－1）×9=9n
（2）an=38+（n－1）×2=2n+36
（3）an=25+（n－1）×（-1）=－n+26
等差数列的通项公式的一般形式：an＝am＋（n－m）d
典型例题
3
例1.（1）已知等差数列的通项公式为求公差和首项；
（2）求等差数列8,5,2…的第20项。
典型例题
3
例2 －401是不是等差数列－5，－9，－13， ···的项？如果是，是第几项？
求等差数列通项公式的方法
(1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d写出通项公式，
这是求解这类问题的基本方法．
(2)已知等差数列中的两项，可用d＝直接求得公差，
再利用an＝am＋(n－m)d写出通项公式．
(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解．
归纳总结
典型例题
3
典型例题
3
例4(1)已知数列{an}是等差数列，设bn＝2an＋3，求证：数列{bn}也是等差数列；
证明　因为数列{an}是等差数列，可设其公差为d，则an＋1－an＝d．由bn＝2an＋3，得
bn＋1－bn＝(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d，它是一个与n无关的常数，
所以数列{bn}是等差数列．
典型例题
3
课本练习
4
4. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝ 12. 求a4.
课本练习
4
5. 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列.
课堂小结
5
等差数列
an=a1+(n-1)d
1定义:
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数
公差：d=an-an-1 (n≥2，n∈N*)
2通项公式:
推导公式:
an=am+(n－m)d
4等差中项：a，A，b成等差数列 2A=a+b
3通项公式与一次函数的关系
拓展思考
6
还有其他方法吗？
拓展思考
6