人教A版选修一 2.5.1 直线与圆的位置关系 课件（34张PPT）

(共34张PPT)
2.5 直线与圆的位置关系
及其应用
课前预习 课中探究
探究点一　直线与圆的位置关系的判定
探究点二　圆的切线
探究点三　直线与圆的相交弦问题
探究点四　利用直线与圆的方程解决实际问题
2.5.1　直线与圆的位置关系
知识要点
1
1.能用几何方法和代数方法描述直线与圆的三种位置关系.
2.能根据给定直线、圆的方程,通过研究联立方程组解的情况或通过计算圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系.
3.知道直线与圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,会用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.
教学目标
2
知识点一　直线与圆的位置关系
直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断
2
1
0
dd>r
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 　　个 　　个 　　个
几何法 计算圆心到直线的距离:d= 　 d=r 　
代 数 法 由 消元得到一元二次方程,计算方程的判别式Δ 　 　 Δ<0
Δ>0
Δ=0
课前预习
3
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交. (　 )
(2)若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解. (　 )
×
√
[解析] (1)直线与圆有公共点,也可能相切.
[解析] (2)若直线与圆相交,则必有公共点,故直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解.
课前预习
3
(3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解. (　 )
√
[解析] (3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆相离,故直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.
课前预习
3
知识点二　解决实际问题的一般步骤
(1)阅读理解,认真审题,了解问题的实际情境,把握问题的数学本质.
(2)引进数学符号,具体分析问题中的数量关系,正确建立数学模型,将实际问题转化为数学问题.
(3)利用数学方法将得到的数学问题(数学模型)予以解答,求得结果.
(4)将数学问题的结果转化为实际问题的答案.
课前预习
3
对直线与圆的位置关系及其判定的理解
备 课 素 材
(1)代数法是从方程角度考虑,运算量较大;几何法是从几何角度考虑,方法相对简单.这两种方法是判断直线与圆的位置关系的常用方法.
(2)应用几何法还可以求出圆上有4个或3个或2个或1个或0个点到直线的距离为某一定值时某些参数的值或取值范围.
(3)利用代数法判断位置关系时,不必求出方程组的实数解,只需将直线方程代入到圆的方程中,并消去一个未知数,得到一个关于x(或y)的一元二次方程,由Δ与0的大小关系判断方程解的个数,进一步判断两者的位置关系.
例1 若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100有如下位置关系:①相交,②相切,③相离,试分别求实数a的值或取值范围.
探究点一　直线与圆的位置关系的判定
解:方法一:由方程组消去y,得25x2+8ax+a2-900=0,
则Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90 000.
①当直线与圆相交时,Δ>0,即-36a2+90 000>0,解得-50②当直线与圆相切时,Δ=0,即a=50或a=-50.
③当直线与圆相离时,Δ<0,即a<-50或a>50.
课中探究
4
例1 若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100有如下位置关系:①相交,②相切,③相离,试分别求实数a的值或取值范围.
方法二:圆x2+y2=100的圆心坐标为(0,0),半径r=10, 则圆心到直线4x-3y+a=0的距离d==.
①当直线与圆相交时,d②当直线与圆相切时,d=r,即=10,解得a=50或a=-50.
③当直线与圆相离时,d>r,即>10,解得a<-50或a>50.
课中探究
4
变式 (1)已知动直线l的方程为(m+1)x+(m-1)y+2m=0,圆O:x2+y2=3,则直线l与圆O 的位置关系是 (　 )　　　 　　　　　 　　　　　
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
A
[解析] (1)直线l的方程可化为m(x+y+2)+x-y=0,由得所以直线l过定点(-1,-1).又(-1)2+(-1)2=2<3,所以定点(-1,-1)在圆O:x2+y2=3内,所以直线l与圆O的位置关系是相交.故选A.
课中探究
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(2)已知直线l:y=kx+5与圆C:(x-1)2+y2=1相离,则k的取值范围是　 　　　.
[解析] (2)方法一(几何法):由题意,圆心C到直线l的距离d=.当d>1时,直线与圆相离.由d=>1,可得k2+10k+25>k2+1,解得k>-,因此k的取值范围是.
方法二(代数法) :由方程组消去y,得(k2+1)x2+2(5k-1)x+25=0.∵直线与圆相离,∴Δ=4(5k-1)2-100(k2+1)<0,解得k>-,因此k的取值范围是.
课中探究
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[素养小结]
直线与圆的位置关系的判断方法:
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法:若直线恒过定点,则可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
课中探究
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例2 (1)[2021·浙江台州一中高二期中] 过点M(-1,2)且与圆x2+y2=5相切的直线的方程为 (　 )
A.x-2y+5=0 B.x+2y+5=0
C.2x-y-5=0 D.2x+y+5=0
探究点二　圆的切线
A
[解析] (1)因为(-1)2+22=5,所以点M在圆x2+y2=5上.又圆心为O(0,0),连接OM,则kOM==-2,故切线的斜率为,所以切线的方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0,故选A.
课中探究
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(2)由直线y=x+1上任意一点P向圆(x-3)2+y2=1引切线,切点为Q,则|PQ|的最小值为 (　 )
A.1 B.2 C. D.3
C
[解析] (2)由题意得,圆心(3,0)到直线y=x+1的距离d==2,圆的半径r=1,故|PQ|的最小值为==.
课中探究
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(3)已知点P(1,4)和圆M:x2+(y-2)2=1,求圆M过点P的切线方程.
解:∵12+(4-2)2>1, ∴点P(1,4)在圆M:x2+(y-2)2=1外.
方法一(几何法):过点P作圆M的切线,当切线斜率存在时,设切线方程为y-4=k(x-1),即kx-y-k+4=0,
可得=1,解得k=,故切线方程为3x-4y+13=0.
当切线的斜率不存在时,切线方程为x=1.
∴切线方程为3x-4y+13=0或x=1.
课中探究
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(3)已知点P(1,4)和圆M:x2+(y-2)2=1,求圆M过点P的切线方程.
方法二(代数法):过点P作圆M的切线,当切线斜率存在时,设切线方程为y-4=k(x-1), 由消去y,得(k2+1)x2-2k(k-2)x+k2-4k+3=0,由Δ=4k2(k-2)2-4(k2+1)(k2-4k+3)=0,解得k=,故切线方程为3x-4y+13=0.
当切线的斜率不存在时,切线方程为x=1.
∴切线方程为3x-4y+13=0或x=1.
课中探究
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变式 一条光线从点P(-1,2)射出,经x轴反射后与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相切于点Q,则光线从点P到点Q所经过的路程的长度为 (　 )
A. B. C. D.3
B
[解析] ∵圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1,∴圆心C的坐标为(2,3),半径为1.如图,设点P(-1,2)关于x轴的对称点为P',入射点为R,则P'(-1,-2),P',R,Q三点共线,连接P'R,P'C,CQ,则|P'C|==,∴光线从点P到点Q所经过的路程的长度为|P'Q|===.故选B.
课中探究
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[素养小结]
过一点的圆的切线方程的求法:
(1)当点在圆上时,圆心与该点的连线与切线垂直,从而求得切线的斜率,用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
(2)当点在圆外时,过该点的切线有两条,但在用设斜率的方法来解题时可能求出的切线只有一条,这时另一条切线的斜率不存在.
如图2-5-1,设点M(x0,y0)为圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点,
过点M作圆的切线,切点为P,则|MP|=.
图2-5-1
课中探究
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例3 已知圆O:x2+y2=8内有一点P0(-1,2),过点P0且倾斜角为α的直线与圆O相交于A,B两点.
(1)当α=时,求弦AB的长;
(2)当弦AB的长最短时,求直线AB的方程.
探究点三　直线与圆的相交弦问题
解:(1)方法一(几何法):当α=时,直线AB的斜率k=tan =-1,所以直线AB的方程为y-2=-(x+1), 即y=-x+1,可得圆心到直线AB的距离d=.
又半径r=2,所以弦长|AB|=2=2×=.
课中探究
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方法二(代数法):当α=时,直线AB的斜率k=tan=-1,所以直线AB的方程为y-2=-(x+1), 即y=-x+1,代入x2+y2=8,得2x2-2x-7=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=1,x1x2=-,所以|AB|=|x1-x2|==.
(2)连接OP0,当弦AB的长最短时,OP0⊥AB,
因为=-2,所以kAB=,所以直线AB的方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0.
课中探究
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变式 (1)直线3x+4y+5=0与圆x2+y2=10相交于A,B两点,则弦AB的长等于 (　 )
A.3 B.4 C.6 D.1
C
[解析] (1)因为圆x2+y2=10的半径r=,圆心(0,0)到直线3x+4y+5=0的距离d==1,所以|AB|=2=2×=6.故选C.
课中探究
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(2)已知直线l经过点P(5,5),且和圆O:x2+y2=25相交于A,B两点,弦AB的长为4,则直线l的方程是　　　　 　　　　　　.
x-2y+5=0或2x-y-5=0
[解析] (2)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=5,此时直线l与圆O相切,不符合题意,所以直线l的斜率存在,设其方程为y-5=k(x-5),即kx-y+5(1-k)=0.设H是弦AB的中点,连接OA,OH,则|OH|是圆心到直线l的距离,|OA|是圆的半径,|AH|是弦长|AB|的一半.在Rt△AHO中,|OA|=5,|AH|=|AB|=×4=2,所以|OH|==,所以=,解得k=或k=2,所以直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.
课中探究
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[素养小结]
求圆截直线所得的弦长的方法:
(1)几何法:用弦心距、半径及弦长的一半构成直角三角形的三边长,利用勾股定理求解.
(2)代数法:设交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线斜率为k,用弦长公式|AB|=|x1-x2|=求解.
课中探究
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拓展 在平面直角坐标系中,圆C经过O(0,0),A(1,1),B(4,2)三点.
(1)求圆C的方程;
(2)若经过点的直线l与圆C相交于M,N两点,且∠MCN=120°,求直线l的方程.
解:(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为圆C经过O(0,0),A(1,1),B(4,2)三点,所以解得
所以圆C的方程为x2+y2-8x+6y=0.
课中探究
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(2)圆C的方程可化为(x-4)2+(y+3)2=25, 所以圆C的圆心为C(4,-3),半径为5.
设弦MN的中点为E,连接CE,则CE⊥MN, 因为∠MCN=120°,所以∠ECN=60°,从而|CE|=, 即点C(4,-3)到直线l的距离为.
直线l经过点, 当直线l与x轴垂直时,直线l的方程为x=,点C(4,-3)到直线l的距离为,满足题意; 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y-=k,即kx-y-+=0, 所以=,解得k=-, 此时直线l的方程为8x+6y-39=0.
因此直线l的方程为x=或8x+6y-39=0.
课中探究
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备 课 素 材
1.判断直线与圆的位置关系的常用方法:(1)代数法,将圆的方程和直线的方程组成方程组,并消去一个未知数得到一个一元二次方程,利用该一元二次方程根的判别式判断;(2)几何法,依据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系进行判断.
例1 已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=4外,则直线ax+by=4与圆O的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
C
[解析] 因为点M(a,b)在圆O:x2+y2=4外,所以a2+b2>4,所以圆心到直线ax+by=4的距离d=<2,所以该直线与圆相交.
备 课 素 材
2.求圆的切线方程的常用方法:(1)待定系数法,设出切点坐标或切线的斜率,由题意列出方程(组),解得切点坐标或切线斜率,写出切线的点斜式方程,最后将点斜式化为一般式;(2)定义法,根据切线的定义求出切线方程;(3)直接法,应用常见结论,直接写出切线方程.
例2 已知圆C的圆心在第一象限内,圆C关于直线y=3x对称,与x轴相切,且截直线y=x所得的弦长为2.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若点P(-2,1),求过点P的圆C的切线方程.
备 课 素 材
解:(1)由题意,设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(a>0,b>0,r>0).
∵圆C关于直线y=3x对称,∴b=3a.
∵圆C与x轴相切,∴r=b=3a.
点C(a,b)到直线y=x的距离d===a.
∵圆C截直线y=x所得的弦长为2,∴r2=d2+()2,即9a2=2a2+7,∴a2=1,
又a>0,∴a=1,r=b=3a=3,
故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=9.
备 课 素 材
(2)当切线的斜率不存在时,其方程为x=-2,满足题意.
当切线的斜率存在时,设切线的斜率为k,则其方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.
圆C的圆心为C(1,3),半径r=3,
由=3,解得k=-,
∴切线的方程为y-1=-(x+2),即 5x+12y-2=0.
故所求切线的方程为x=-2或5x+12y-2=0.
备 课 素 材
3.已知弦长,求弦所在直线的方程或求圆的方程,往往结合相关直角三角形(直角三角形三边长分别是圆的半径r、弦长l的一半、弦心距d),并利用待定系数法求解.
例3 已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切,过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点.
(1)求圆A的方程;
(2)当|MN|=2时,求直线l的方程.
解:(1)设圆A的半径为r, 由圆A与直线l1相切,得r==2,
所以圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.
备 课 素 材
(2)①当直线l与x轴垂直时,直线l的方程为x=-2,将x=-2代入圆A的方程,可得y=2±,故|MN|=2,符合题意.
②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.设Q为MN的中点,连接AQ,AN(图略),则AQ⊥MN.
因为|MN|=2,所以|NQ|=,所以|AQ|===1.
由|AQ|==1,得k=, 所以直线l的方程为3x-4y+6=0.
综上,直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.
备 课 素 材
4.利用解析法解决实际问题和几何问题的一般思路:通过建立坐标系,将实际问题和几何问题转化为代数问题,通过代数运算,求得结果,将结果转化为所求问题的结论.
例4 为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一条公路.从基地中心O向正东方向走1 km到达储备基地边界上的点A,继续向东走7 km到达公路上的点B;从基地中心O向正北方向走8 km到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE(E在公路BC上),求D到E的最短距离.
备 课 素 材
解:以O为坐标原点,OB,OC所在的直线分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,如图, 则圆O的方程为x2+y2=1.
因为点B(8,0),C(0,8),所以直线BC的方程为+=1,即x+y=8.
当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所得的切点处且DE⊥BC时,|DE|取得最小值,最小值为-1=4-1,
故D到E的最短距离为(4-1)km.