数学人教A版（2019）必修第一册5.2.1三角函数的概念 课件（共34张ppt）

(共34张PPT)
5.2.1　三角函数的概念
第五章 　三角函数
5.2三角函数的概念
复习引入：初中我们是如何定义锐角三角函数的？
O
b
a
M
P
c
探究1：当 时，点P的坐标是什么？
当 时，点P的坐标又是什么？
当 时，点P的坐标为
当 时，点P的坐标为
当 时，点P的坐标为
它们唯一确定吗？
探究2 ：一般地，任意给定一个角 ，它的终边OP与单位圆交点P的坐标
能唯一确定吗？
点P的横、纵坐标都能唯一确定。
y
O
x
1
M
以原点O为圆心，以单位
长度为半径的圆，称为单位圆.
锐角三角函数（在单位圆中）
任意角的三角函数定义
设 是一个任意角， ， 它的终边与单位圆交于点
那么:（1） 叫做 的正弦函数，记作 ，即 ；
（2） 叫做 的余弦函数，记作 ，即 ；
（3） 叫做 的正切函数， 记作 ，即
﹒
正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.
通常将它们记为：
正弦函数
余弦函数
正切函数
x
y
o
的终边
（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点
横坐标的比值.
的横坐标，
正切就是
交点的纵坐标与
.
（2） 正弦、余弦总有意义.当
的终边在
横坐标等于0，
无意义，此时
轴上时，点P 的
（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，
三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
注意
例1 求 的正弦、余弦和正切值.
解：在直角坐标系中，作
的终边与单位圆的交点坐标为
所以
思考：若把角 改为 呢
﹒
﹒
易知
思考.如图，设 是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的
坐标为（x,y），点P与原点的距离为r。求证：
证明：如图，设角 的终边与单位圆交于点 ，
分别过点 作 轴的垂线 ，垂足分别
为 ，则
于是，
即
∽
因为 与 同号，所以
即
同理可得
设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点，
点 与原点的距离 .
那么① 叫做 的正弦，即
② 叫做 的余弦，即
③ 叫做 的正弦，即
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关.
定义推广：
只要知道角 终边上任意一点P的坐标，就可以求得角 的各个三角函数
值，并且这些函数值不会随点P位置的改变而改变。
题型一 三角函数的定义
y
x
o
利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
(3)若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．
y
x
o
+
-
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
y
x
o
y
x
o
全为+
y
x
o
记法：
一全正
二正弦
三正切
四余弦
探究：三角函数在各象限的符号
角定象限,象限定符号.
题型二 三角函数值的符号
[解析]　(1)由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，
从而α为第二、三象限角．
可知cosα，tanα异号，
从而α为第三、四象限角．
综上可知，α为第三象限角．
(2)①∵120°是第二象限角，
∴tan120°<0.
∵269°是第三象限角
∴sin269°<0，
∴tan120°·sin269°>0.
判断三角函数值在各象限符号的攻略：

解析　
(1)三角形内角的取值范围是(0，π)，
故sinA>0.
因为sinAcosB<0，
所以cosB<0，
所以B是钝角，
故三角形是钝角三角形．
(2)因为点P(tanα，cosα)在第三象限，
所以tanα<0，cosα<0，
则角α的终边在第二象限.
根据三角函数的定义，确定它们的定义域
三角函数 定义域
R
R
探
究
y
x
o
题型三 与三角函数有关的定义域问题

求解函数定义域的解题策略
(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于与三角函数有关的函数定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．

思考：
如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？
其中
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为
求 角的三角函数值 .
－32°
-390°
x
y
o
330°
-30°
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
题型四 诱导公式(一)的应用
利用诱导公式化简的步骤
(1)定形：将已知角化为k·360°＋α(k为整数，0°≤α<360°)或2kπ＋β(k为整数，0≤β<2π)的形式．
(2)转化：将原三角函数值化为角α的同名三角函数值．
(3)求值：借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的．

随堂练习
解析　因为sinA>0，
所以cosB，tanC中一定有一个小于0，
即B，C中有一个钝角．

1. 内容总结：
①三角函数的概念.
②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.
③诱导公式一.
运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
化归的思想，数形结合的思想.
2 .方法总结：
3 .体现的数学思想：
课堂小结
布置作业
课后习题1、2