人教版数学九年级下册27.2.3相似三角形的性质（3）(共15张PPT)

(共15张PPT)
一、相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
②相似三角形对应中线的比,对应角平分线的 比，对应高的比,对应周长的比都等于相似比.
③相似三角形面积的比等于相似比的平方.
二.相似三角形的判定方法
定理1 两角对应相等的两个三角形相似.
推论1 平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似;
定理2 三边对应成比例的两个三角形相似.
定理3 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;
定理4 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
1. △ABC中，∠ BAC是直角，过斜边中点M而垂直于
斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM.
求证：① △ MAD ～△ MEA
分析：已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似。
证明：①∵∠BAC=90°
M为斜边BC中点
∴AM=BM=BC/2
∴ ∠B= ∠MAD
又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90°
∠E+ ∠ADE= 90°
∠BDM= ∠ADE
∴∠B=∠E
∴∠MAD= ∠E
又 ∵ ∠DMA= ∠AME
∴△MAD∽ △MEA
1. △ABC中，∠ BAC是直角，过斜边中点M而垂直于
斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM.
求证：② AM2=MD · ME
分析：AM是△ MAD 与△ MEA 的公共边，故是对应边MD、ME的比例中项。
② ∵ △MAD∽ △MEA
∴
即AM2=MD·ME
AM
MD
=
ME
AM
思考：证明等积式的一般方法是什么
2.如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，
求证：ED2=EO · EC.
分析：欲证 ED2=EO·EC，即证：
只需证DE、EO、EC所在的三角形相似。
ED
EO
=
EC
ED
证明：∵ AB∥CD
∴ ∠C=∠A
∵ AO=OB，DF=FB
∴ ∠A= ∠B， ∠B= ∠FDB
∴ ∠C= ∠FDB
又 ∵ ∠DEO= ∠DEC
∴ △EDC∽△EOD
∴ ，即 ED2=EO · EC
ED
EO
=
EC
ED
3.过◇ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF· EG .
分析：要证明
EA2 = EF· EG ，
即 证明 成
立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：△AED∽△FEB， △AEB ∽ △GED.
证明：∵ AD∥BF AB∥BC
∴△AED ∽△FEB
△AEB ∽△GED
∴
∴
EA
EG
=
AB
DG
EF
EA
=
BE
ED
=
AB
DG
EA
EG
=
EF
EA
4.已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的
中点，ED交AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF.
分析：因△ABC∽△ABD，所以
要证 即证 ，
需证△BDF∽△DAF.
证明：∵ ∠BAC=90°
AD⊥BC
∴ ∠ABC+∠C= 90°
∠ABC+∠BAD= 90°
∴ ∠BAD= ∠C
∵ ∠ADC= 90°
E是AC的中点，
∴ED=EC
∴ ∠EDC= ∠C
∵ ∠EDC = ∠BDF
∴ ∠BDF= ∠C= ∠BAD
又∵ ∠F =∠F
∴ △BDF∽△DAF.
∴
∵ ∠BAC=90°， AD⊥BC
∴ △ABC∽△ABD
∴
∴
5.D为△ABC的底边BC的延长线上一点，直线DF 交AC于E,且∠FEA=∠AFE .求证：BD·CE=CD·BF
F
E
D
C
B
A
由BD·CE=CD·BF，得
分析：
但△DBF与 △DCE不相似
因此，需作辅助线构造相似三角形
BD
BF
CE
CD
=
5.D为△ABC的底边BC的延长线上一点，直线DF 交AC于E,且∠FEA=∠AFE .求证:BD·CE=CD·BF
F
E
D
C
B
A
G
方法一：
过点C作CG∥AB,交DF于G
则△DCG∽ △DBF
故
再证CG=CE 即可
CD
CG
BF
BD
=
F
E
D
C
B
A
G
方法二：
过点C作CG∥DF,交AB于G
故
再证FG=CE 即可
5.D为△ABC的底边BC的延长线上一点，直线DF 交AC于E,且∠FEA=∠AFE .求证BD·CE=CD·BF
BD
BF
FG
CD
=
F
E
D
C
B
A
G
5.D为△ABC的底边BC的延长线上一点，直线DF 交AC于E,且∠FEA=∠AF.求证：BD·CE=CD·BF
方法三：
过点B作BG∥DF,
交DF的延长线于G
故
再证BG=BF 即可
则△DCE∽ △DBG
DC
CE
BG
DB
=
6.如图： 已知△ABC 中，AD平分∠BAC ，EF是AD的中垂线，EF 交BC的延长线于F .求证：FD2=FC·FB
F
E
D
C
B
A
分析：
由FD2=FC·FB，得
FD
FB
FD
FC
=
但FD、FC、FB都在同一直线上，无法利用相似三角形.
由于FD=FA，替换后可形成相似三角形.
FD
FB
FD
FC
=
FA
FB
FA
FC
=
只要证△FAB∽△FCA即可.
7.已知,AB∥CD∥EF，
（1）图中有几对相似的三角形？
（2）线段AB、CD与EF有怎样的等量关系？
F
A
B
C
D
E
⊿EDC∽⊿EBA
⊿ADC∽⊿AFE
⊿BDA∽⊿EDF
证比例式（或乘积式）的常用方法
证明乘积式时，可先将乘积式改为比例式
(1)找相似三角形（或平行线）
(2)没有相似三角形（或平行线）,利用等比例转化,或利用等线段转化,或等积转化,或构造辅助线转化
不经历风雨，怎么见彩虹
没有人能随随便便成功!