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人教A版同步教材名师课件
平 面
学习目标
学 习 目 标 核心素养
了解平面的概念,掌握平面的画法和表示方法. 数学抽象
能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系. 直观想象
能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实,并能解决空间点、线、面的位置关系问题. 逻辑推理
学习目标
课程目标
1.正确理解平面的概念;
2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系;
3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实,理解三个基本事实和三个推论的地位与作用.
数学学科素养
1.数学抽象:平面概念的理解;
2.逻辑推理:点线共面、多点共线,多线共点问题;
3.直观想象:点、直线、平面之间的位置关系.
生活中有哪些事物给我们以平面的形象?
探究新知
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平静的海面
教室里的桌面、黑板面、墙面、地面
平整的纸张
平面的形象
探究新知
思考1:将一条线段向两端无限伸展得到的图形是什么?将课桌面、平静的水面向四周无限伸展得到的图形是什么?
探究新知
探究新知
思考2:直线是否有长短、粗细之分?
平面是否有大小、厚薄之别?
探究新知
一.平面
平面是从日常见到的具体平面抽象出来的理想化模型.它具有无限延展,不计大小,不计厚薄的特征.
探究新知
二.平面的画法及表示方法
(1)水平放置的平面:
(2)竖直放置的平面:
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成.
A
B
C
D
探究新知
B
C
A
B
C
A
自行车有一个脚撑就可站稳,为什么?
探究新知
思考:过空间中一点可以做几个平面?
过空间中两点呢?三点呢?
探究新知
基本事实1 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
A
C
B
存在性
唯一性
作用:确定平面的主要依据.
不再一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面,可以记成 平面ABC.
探究新知
下列条件,哪些能确定一个平面?
1、一直线和直线外一点
2、两条平行直线
3、两条相交直线
探究新知
思考
推论1.一条直线和直线外一点确定一个平面.
推论2.两条相交直线确定一个平面.
推论3.两条平行直线确定一个平面.
不共线的三点确定一个平面.
a
A
C
B
基本事实1也可以简单说成:
探究新知
如果直线 l 与平面α有一个公共点P,直线 l 是否在平面α内?
探究新知
思考
实际生活中,我们有这样的经验:把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上,可以看到,直尺的整个边缘就落在了桌面上.
桌面α
A
B
如果直线 l 与平面α有两个公共点,直线 l 是否在平面α内?
探究新知
思考
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
A
l
作用:判定直线是否在平面内.
探究新知
B
B
把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B ?
探究新知
观察长方体,你能发现长方体的两个相交平面有没有公共直线吗?
这条公共直线叫做这两个平面和平面的交线.
另一方面,相邻两个平面有一个公共点,如平面和平面有一个公共点,经过点B有且只有一条过该点的公共直线
探究新知
观察
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
作用:
①判断两个平面相交的依据.
②判断点在直线上.
P
l
探究新知
在画两个相交平面时,如果图形的一部分被另一部分遮住,可以把遮住部分画成虚线,也可以不画.
探究新知
例1、(1)用符号语言表示下面的语句,并画出图形.
平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC.
(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述,并用图形语言予以表示. α∩β=l,A∈l,AB α,AC β.
(1)符号语言表示:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.用图形表示:(如图所示).
典例讲解
解析
例1、(1)用符号语言表示下面的语句,并画出图形.
平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC.
(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述,并用图形语言予以表示. α∩β=l,A∈l,AB α,AC β.
典例讲解
解析
(2)文字语言叙述为:点A在平面α与平面β的交线l上,直线AB,AC分别在平面α,β内,图形语言表示如图所示.
方法归纳
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
例2、证明:两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.
已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.
求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.
证明:法一:(纳入平面法)
因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B,所以B∈l2.
又因为l2 α,所以B∈α.同理可证C∈α.
又因为B∈l3,C∈l3,所以l3 α.
所以直线l1,l2,l3在同一平面内.
典例讲解
例2、证明:两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.
已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.
求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.
法二:(辅助平面法)
因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.
因为A∈l2,l2 α,所以A∈α. 因为A∈l2,l2 β,所以A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.
所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
典例讲解
证明点、线共面的常用方法
(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内;
(2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
方法归纳
例3、如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D、A、Q三点共线.
因为MN∩EF=Q,
所以Q∈直线MN,Q∈直线EF,
又因为M∈直线CD,N∈直线AB,CD 平面ABCD,AB 平面ABCD.
所以M、N∈平面ABCD,
所以MN 平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.
同理,可得EF 平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.
又因为平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,
所以Q∈直线AD,即D、A、Q三点共线.
典例讲解
证明
方法归纳
(1)证明三点共线的方法
①首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3可知,这些点都在两个平面的交线上.
②选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在此直线上.
(2)证明三线共点的步骤
①说明两条直线共面且交于一点.
②说明这个点在另两个平面上,并且这两个平面相交.
③得到交线也过此点,从而得到三线共点.
例4、如图所示,E,F分别为正方体ABCD A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中点,画出平面BED1F与平面ABCD的交线.
如图所示,在平面AA1D1D内,D1F与DA不平行,分别延长D1F与DA,则D1F与DA必相交,设交点为M.
因为M∈FD1,M∈DA,FD1 平面BED1F,DA 平面ABCD,所以M∈平面BED1F∩平面ABCD.
又B∈平面BED1F∩平面ABCD,连接MB.
则直线MB=平面BED1F∩平面ABCD,
即直线MB即为所求两平面的交线.
典例讲解
解析
方法归纳
解决此类问题,必须注意两个平面不存在只有一个公共点的情形.如果有一个公共点,那么必定有无数多个公共点,且这些点恰好组成一条直线.同时要注意,找到两个平面的一个公共点,交线的具体位置还无法判定,只有找到两个公共点,才能确定这两个平面的交线,这是做几何体截面时确定交线经常用到的方法.
1.立体几何中的平面与平面几何中的平面图形的区别
(1)平面图形如三角形、正方形、梯形等,它们有大小之分,可以度量.
(2)立体几何中的平面是无大小、厚薄之分的,是不可度量的,它可以无限延展,没有边界.
(3)立体几何中的平面是理想的,绝对平的.
2.符号语言的理解
立体几何中引用集合的观点,把点看作元素,直线(平面)为点的集合.
点与直线(平面)的关系是属于或不属于关系,用符号“∈”或“ ”.
直线与平面的关系是包含或不包含关系,用符号“ ”或“ ”表示.
素养提炼
3.对基本事实1的理解
(1)基本事实1的条件是“过不在一条直线上的三点”,结论是“有且只有一个平面”.条件中的“三点”是骨干,一般不会被忽视,但“不在一条直线上”这一附加条件则易被遗忘,若无,结论就不成立了.同时要注意经过一点、两点或在同一直线上的三点可有无数个平面;过不在一条直线上的四点,不一定有平面.
(2)基本事实1中“有且只有一个”的含义要准确理解,这里的“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一.
素养提炼
4.平面的画法
(1)水平的平面的画法:画表示水平的平面的平行四边形,通常把锐角α画成,横边画成邻边的2倍.
(2)直立的平面的画法:画表示直立的平面的平行四边形,要有一组对边为铅垂线.
(3)非水平非直立的平面的面法:画表示非水平非直立平面的平行四边形,只要将锐角α画成不等于就可以.
素养提炼
当堂练习
1.若点Q在直线在平面内,则之间的关系可记作( )
A. B.
C. D.
2.两个平面若有三个公共点,则这两个平面( )
A.相交 B重合 C.相交或重合 D.以上都不对
3.下列对平面的描述语句:
①平静的太平洋面就是一个平面;
②8个平面重叠起来比4个平面重叠起来厚;
③四边形确定一个平面;
④平面可以看成空间中点的集合,它当然是一个无限集其中正确的是____.
4.设平面与平面交于直线且直线
C
B
④
C
平面、平面的画法及表示法;
点、线、面之间的位置关系;
3. 平面的基本性质:
(1)如何判定直线在平面内?
(2)哪些图形可以确定一个平面?
(3)如何判定两个平面相交?
归纳小结
归纳小结
平面的概念及表示
图形语言
平面
自然语言
符号语言
基本事实推论
作 业
P128 练习:2、4